নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: a^x = n হলে নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?

সমাধান:
a^x = n হলে x = log_an হয়।

প্রশ্ন: 1 + 4 + 7 + 10 + ..........… ধারার 29তম পদ কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ a = 1
সাধারন অন্তর d = 3

আমরা জানি
n তম পদ = a + (n - 1)d
২৯ তম পদ = 1 + (29 - 1)3
= 85

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 20 টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1)
প্রথম 20টি পদের সমষ্টি = 20(20 + 1)
= 20 × 21
= 420 

প্রশ্ন: a^m. aⁿ = a^{(m + n)} কখন হবে?

সমাধান:
m ও n ধনাত্মক হলে
a^m. aⁿ = a^{(m + n)} হয়।

প্রশ্ন: log₁₀m = a এবং log₁₀n = b হলে, log₁₀(m^an^b) = কত হবে?

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর ১০ এবং ৬ষ্ঠ পদটি ৫২ হলে ২০তম পদটি-

সমাধান:
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে n তম পদ = a + (n-1)d
এখানে, ৬ষ্ঠ পদ ৫২
∴ a + (৬ - ১) × ১০ = ৫২
বা, a + ৫০ = ৫২
বা, a = ২

∴ ২০তম পদ = ২ + (২০ - ১) ×‌ ১০
= ২ + ১৯০
= ১৯২

প্রশ্ন:

সমাধান:

= log_e((a³b³/c³) × (b³c³/d³) × (c³d³/a³)) - log_e (b²c)³
= log_eb⁶c³ - log_eb⁶c³
= 0

প্রশ্ন: (√৬৪)^৩ এর মান কত?

সমাধান:
(√৬৪)^৩
= ৮^৩
= ৫১২

প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার m তম পদ n ও n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান: 
মনে করি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

১ম শর্তমতে,
m তম পদ a + (m - 1)d = n
বা, ‍a + md - d = n .......................(1)
২য় শর্তমতে,
n তম পদ a + (n - 1)d = m
বা, a + nd - d = m ........................ (2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
a + md - d = n
 a + nd - d = m
md - nd = n - m
বা, d (m - n) = n - m
বা,  d = - (m - n)/(m - n)
∴ d = - 1

∴ ধারাটির সাধারণ অন্তর = - 1

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ........... + 9³ = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
1³ + 2³ + 3³ + ............ + n³ = {(n(n + 1)/2}² = {n²(n + 1)²}/4

∴ 1³ + 2³ + 3³ + ........... + 9³ = {9² (9 + 1)²}/4
= {81 × 100}/4
= 81 × 25
= 2025 

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 + ............................ ধারাটির কোন পদ 302?

সমাধান:
5 + 8 + 11 + 14 + ............................
এটি একটি সমান্তর ধারা,
যার প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3 

ধরি,
ধারাটির n তম পদ 302

n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 302 = 5 + (n - 1)3
⇒ 302 = 5 + 3n - 3
⇒ 3n + 2 = 302
⇒ 3n = 302 - 2
⇒ 3n = 300
⇒ n = 300/3
∴ n = 100

প্রশ্ন: log2 + log4 + log8 + log16 + ................ ধারাটির প্রথম বিশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম বিশটি পদের সমষ্টি
= log2 + log4 + log8 + log16 +............... + প্রথম বিশটি পদের সমষ্টি
= log2¹ + log2² + log2³ + log2⁴ +............... + প্রথম বিশটি পদের সমষ্টি
= 1log2 + 2log2 + 3log2 + 4log2 + ............... + প্রথম বিশটি পদের সমষ্টি
= log2 (1 + 2 + 3 + 4 + ............... + 20)
= log2 {20(20 + 1)/2}
= log2 (10 × 21)
= log2 × 210
= 210log2

প্রশ্ন: যদি 2^{2x + 1} = 128 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
2^{2x + 1} = 128
⇒ 2^{2x + 1} = 2⁷
⇒ 2x + 1 = 7
⇒ 2x = 6
∴ x = 3

প্রশ্ন: 400 এর কত ভিত্তিক লগ 4 এর সমান?

সমাধান:
ধরি,
ভিত্তি a
প্রশ্নমতে,
log_a400 = 4
বা, a⁴ = 400
বা, a⁴ = (20)²
বা, a⁴ = (4 × 5)²
বা, a⁴ = 2⁴ (√5)⁴
বা, a⁴ = (2√5)⁴
∴ a = 2√5

∴ ভিত্তি a = 2√5

প্রশ্ন: 7 + 13 + 19 + 25 + ..... ধারাটির 21 তম পদ কোনটি?

সমাধান:
ধারাটি একটি সমান্তর ধারা যার,
প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 13 - 7 = 6

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
= 7 + (21 - 1) × 6
= 7 + 20 × 6
= 127

প্রশ্ন:

সমাধান:

⇒ (5^1/2)^{x + 1} = (5^1/3)^{2x - 1}
⇒ 5^{(x + 1)/2} = 5^{(2x - 1)/3}
⇒ (x + 1)/2 = (2x - 1)/3
⇒ 4x - 2 = 3x + 3
⇒ 4x  - 3x = 3 + 2
∴ x = 5

প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার p তম পদ q এবং q তম পদ p হলে (p + q) তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
p তম পদ = q 
q তম পদ  = p

ধারাটির p-তম পদ = a + (p - 1)d
ধারাটির q-তম পদ = a + (q - 1)d

প্রশ্নমতে,
a + (p - 1)d = q ……………(1)
a + (q - 1)d = p …………….(2)

(1) নং থেকে (2)নং সমীকরন বিয়োগ করে পাই,
a + (p - 1)d - a - (q - 1)d = q - p
বা, d(p - 1- q + 1) = q - p
বা, d(p - q) = - (p - q)
d = -1

সুতরাং, (p + q)তম পদ =
a + (p + q - 1)d
= a + (p - 1)d + qd
= q + qd 
= q + q(- 1)
= q - q
= 0

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ৩য় পদটি 20 এবং ষষ্ঠ পদটি 160 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
১ম পদটি = a,
সাধারন অনপাত = r
∴ ৩য় পদ = ar² = 20 ...... (1)
এবং ষষ্ঠ পদ = ar^{6 - 1} = ar⁵ = 160 ....... (2)

(2) নং ÷ (1) নং ⇒
r³ = 8
বা, r³ = 2³
∴ r = 2

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, তার প্রথম 23 পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ধারাটির প্রথম পদ, a 
সাধারণ অন্তর, d
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
12 তম পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

প্রশ্নমতে, a + 11d = 77

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n-1)d}
সুতরাং প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = (23/2) {2a + (23-1)d}
= (23/2) (2a + 22d)
= (23/2) × 2 (a + 11d)
= 23 × (a + 10d)
= 23 × 77
= 1771

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 32 এবং 16 হলে ধারাটির 10তম পদ কত?

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 32
ধারাটির দ্বিতীয় পদ, ar^{2 -1} = ar = 16

অতএব সাধারণ অনুপাত, r = 16/32 = 1/2

∴ 10তম পদ ar^{10 - 1} = 32 (1/2)⁹
  = (2⁵ × 1)/2⁹
 = 1/2⁴
  = 1/16

প্রশ্ন: a^1/8 = √3 হলে a = কত? 

সমাধান: 
a^1/8 = √3
(a^1/8)⁸ =(√3)⁸
a = (3^1/2)⁸
a = 3⁴
a = 81

প্রশ্ন: (1/√2) + 1 + √2 + .................. ধারাটির কোন পদ 8√2 হবে?

সমাধান:
ধারাটি গুণোত্তর ধারা।
কারণ এদের সাধারণ অনুপাত r = ২য় পদ/১ম পদ = 1/(1/√2) = √2
১ম পদ a = 1/√2
∴ n তম পদ = ar^{n - 1}

শর্তমতে,
ar^{n - 1} = 8√2
⇒ (1/√2) × (√2)^{n - 1} = 8√2
⇒ (√2)^{n - 2} = 8√2
⇒ (√2)^{n - 2} = 2³ × √2
⇒ (√2)^{n - 2} = (√2)^{6 + 1}
⇒ n - 2 = 7
∴ n = 9

প্রশ্ন: কোনো অনুক্রমের n তম পদ = {1 - (- 1)⁵ⁿ}/2 হলে 9তম পদ কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
 n তম পদ = {1 - (- 1)5n}/2
9তম পদ = {1 - (- 1)⁴⁵}/2
  = (1 + 1)/2
 = 2/2 
 = 1

প্রশ্ন: 1 + 1/3 + 1/9 + ........ ধারাটির প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
এবং সাধারণ অনুপাত, r = 1/3 < 1
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,
S_n = {a.(1 - rⁿ)}/(1 - r) ; যখন r < 1

∴ ধারাটির প্রথম ৮ টি পদের সমষ্টি
S₈ = 1{1 - (1/3)⁸} / {(1 - (1/3)}
= {1 - (1/6561) / (2/3)
= (6560/6561) × (3/2)
= 3280/2187

প্রশ্ন: কোন ধারার n তম পদ 2n + 1 হলে, ধারটি হবে- 

সমাধান:
কোনো ধারার n তম পদ 2n + 1 হলে,
ধারাটির ১ম পদ = 2 × 1 + 1 = 2 + 1  = 3
ধারাটির ২য় পদ = 2 × 2 + 1 = 4 + 1  = 5
ধারাটির ৩য় পদ = 2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7
ধারাটির ৪র্থ পদ = 2 × 4 + 1 = 8 + 1 = 9
ধারাটির ৫ম পদ = 2 × 5 + 1 = 10 + 1 = 11
........................................................................
ধারাটিঃ  3, 5, 7, 9,.........................

প্রশ্ন: ১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
1 থেকে n পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n + 1)/2

১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = {৯৯ × (৯৯ + ১)}/২
= (৯৯ × ১০০)/২
= ৯৯ × ৫০
= ৪৯৫০

প্রশ্ন: 2 - 2 + 2 - 2 + ............. ধারাটির (2n + 4) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
ধরি 
১ম পদ = 2
সাধারণ অনুপাত r = - 2/2 = - 1 

গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি a(1 - rⁿ)/(1- r)
গুণোত্তর ধারার (2n + 4) সংখ্যক পদের সমষ্টি 
= 2{1 - (- 1)^{(2n + 4)}}/{1 - (- 1)}
= 2{1 - 1}/{1 + 1}
= (2 × 0)/2
= 0/2
= 0

প্রশ্ন: যদি 3^{x + 2} = 81 হয়, তবে 3^{x - 2} = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3^{x + 2} = 81
⇒ 3^{x + 2} = 3⁴
⇒ x + 2 = 4
⇒ x = 4 - 2
∴ x = 2

∴ 3^{x - 2} = 3^{2 - 2}
= 3⁰
= 1

প্রশ্ন: 63.70 এর লগের পূর্ণক নির্ণয় করুন।

সমাধান:
যেকোনো সংখ্যা N কে বৈজ্ঞানিক আকারে প্রকাশ করে পাওয়া যায়, N = a ×10ⁿ, যেখানে N > 0, 1≤ a ≤ 10 এবং n ∈ Z
যেমন: ৫০০ = ৫ × ১০^২
৩৩৩৩ = ৩.৩৩৩ × ১০^৩
০.২৫ = ২.৫ × ১০^-১

N = a × 10ⁿ
⇒ log₁₀N = log₁₀(a × 10ⁿ) [উভয় পক্ষে 10 ভিত্তিতে লগ নিয়ে]
⇒ log₁₀N = log₁₀a + log₁₀10ⁿ
⇒ log₁₀N = log₁₀a + nlog₁₀10
⇒ log₁₀N = n + log₁₀a [ log10 10 = 1]
∴ log₁₀N= n + log₁₀a
logN = n + loga [ভিত্তি 10 উহ্য রেখে]
এখানে, n কে বলা হয় logN এর পূর্ণক। অর্থাৎ, কোন সংখ্যাকে বৈজ্ঞানিক আকারে প্রকাশ করার পর ১০ এর যে ঘাত পাওয়া যায় সেই ঘাতকে পূর্ণক বলে।

প্রদত্ত সংখ্যাটি,
63.70
= 6.370 × 10¹
∴ 63.70 এর লগের পূর্ণক 1

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে 5ম পদটি 11 এবং প্রথম 5টি পদের যোগফল 35 হলে, ১ম পদটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
প্রথম পদ = a

দেওয়া আছে, 
5ম পদ = 11
∴ a + (n - 1)d = 11
⇒ a + 4d = 11

এখন,
5টি পদের যোগফল = 35
⇒ (5/2){2a + (5 - 1)d} = 35
⇒ 2a + 4d = 14
⇒ a + (a + 4d) = 14
⇒ a + 11 = 14
⇒ a = 3
 

প্রশ্ন: 2, a + 1, 18 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে a = ?

সমাধান:
অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ
⇒ (a + 1)/2= 18/(a + 1)
⇒ (a + 1)² = 36
⇒ a + 1 = 6
⇒ a = 6 - 1
∴ a = 5

প্রশ্ন: 3^{x - 5} = 9a^{x - 7} হলে 2^x এর মান কত?

সমাধান: 
3^{x - 5} = 9a^{x - 7} 
⇒ 3^{x - 5}/9 = a^{x - 7}
⇒ 3^{x - 5}/3² = a^{x - 7}
⇒ 3^{x - 7} = a^{x - 7}
⇒ 3^{x - 7}/a^{x - 7}= 1
⇒ (3/a)^{x - 7} = (3/a)⁰
⇒ x - 7= 0
∴ x = 7

এখন
2⁷
= 128

প্রশ্ন: 81 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₃81
= log₃3⁴
= 4log₃3 [∵ log_am^r = rlog_am]
= 4 × 1 [∵ log_aa = 1]
= 4