Math Master

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর ৩; লব থেকে ২ বিয়োগ ও হরের সাথে ২ যোগ  করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা ২/৯ এর সমান। ভগ্নাংশটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, লব ক
হর ক + ৩ 

প্রশ্নমতে, 
(ক - ২)/(ক + ৩ + ২) = ২/৯
⇒ (ক - ২)/(ক + ৫) = ২/৯
⇒ ৯(ক - ২) = ২(ক + ৫) 
⇒ ৯ক - ১৮ = ২ক + ১০ 
⇒ ৯ক - ২ক = ২৮
⇒ ৭ক = ২৮
∴ ক = ৪

লব ৪
হর = ৪ + ৩
= ৭
ভগ্নাংশটি ৪/৭

প্রশ্ন: 2x + 3y = 23 এবং x - y = 4 হলে, (x, y)=?

সমাধান: 
2x + 3y = 23

x - y = 4
⇒ 3x - 3y = 12

2x + 3y + 3x - 3y = 23 + 12
⇒ 5x = 35 
∴ x = 7 

7 - y = 4
⇒  y = 7 - 4
= 3

∴ (x, y) = (7, 3)

প্রশ্ন: 2x + √2 = 3x - 4 - 3√2 হলে, x =? 

সমাধান: 
2x + √2 = 3x - 4 - 3√2 
⇒ 3x - 2x = √2 + 4 + 3√2
∴ x = 4 + 4√2

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল ৪৫ এবং ভাগফল ৫ হলে, সংখ্যা দুটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি, বড় সংখ্যাটি x এবং ছোট সংখ্যাটি y

xy = ৪৫ 
x/y = ৫ 

সমীকরণ দুটি গুণ করে পাই,
xy × (x/y) = ৪৫ × ৫
⇒ x² = ২২৫
∴ x = ১৫

বড় সংখ্যাটি ১৫
ছোট সংখ্যাটি = ৪৫/১৫
= ৩ 

∴ সংখ্যা দুটির যোগফল = ১৫ + ৩
= ১৮

প্রশ্ন: (x - 4) = (x - 4)/x হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
(x - 4) = (x - 4)/x
⇒ x(x - 4) = x - 4
⇒ x(x - 4) - (x - 4) = 0
⇒ (x - 4) (x - 1) = 0
∴ x - 4 = 0
⇒ x = 4

x - 1 = 0
⇒ x = 1

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: 5(3 - 2y) ≤ 3(4 - 3y) হলে-

সমাধান: 
5 (3 - 2y) ≤ 3 (4 - 3y)
⇒ 15 - 10y ≤ 12 - 9y 
⇒ 15 - 12 ≤ 10y - 9y 
⇒ 3 ≤ y
∴ y ≥ 3

প্রশ্ন: বনভোজনে যাওয়ার জন্য একটি বাস ২৪০০ টাকায় ভাড়া করা হলো এবং সিদ্ধান্ত গৃহীত হলো যে, প্রত্যেক যাত্রী সমান ভাড়া দিবে। ১০ জন যাত্রী অনুপস্থিত থাকায় মাথাপিছু ভাড়া ৮ টাকা বৃদ্ধি পেল। বাসে কতজন যাত্রী গিয়েছিল? 

সমাধান: 
ধরি, প্রথমে যাত্রী ছিল x জন 

প্রশ্নমতে, 
(২৪০০/x - ১০) - (২৪০০/x) = ৮
⇒ (১/x - ১০) - (১/x) = ৮/২৪০০
⇒  (১/x - ১০) - (১/x) = ১/৩০০ 
⇒ x - x + ১০/x (x - ১০) = ১/৩০০
⇒ x (x - ১০) = ৩০০০
⇒ x² - ১০x - ৩০০০ = ০
⇒ x² - ৬০x + ৫০x - ৩০০০ = ০
⇒ x (x - ৬০) + ৫০ (x - ৬০) = ০
∴ x = - ৫০; যা গ্রহণযোগ্য নয় 
x = ৬০ জন।

বাসে যাত্রী গিয়েছিল = ৬০ - ১০ জন 
= ৫০ জন 

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল 192 বর্গমিটার। মেঝের দৈর্ঘ্য 4 মিটার কমালে ও প্রস্থ 4 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। মেঝের প্রস্থ কত? 

সমাধান: 
ধরি,
মেঝের দৈর্ঘ্য x মিটার, প্রস্থ y মিটার 
xy = 192
⇒ x = 192/y 

(x - 4) (y + 4) = 192
⇒ xy - 4y + 4x - 16 = 192
⇒ 192 - 4y + 4x - 16 = 192
⇒ 4x - 4y = 16
⇒ x - y = 4
⇒ (192/y) - y = 4
⇒ (192 - y²)/y = 4
⇒ y² + 4y - 192 = 0
⇒ y² + 16y - 12y - 192 = 0
⇒ y (y + 16) - 12 (y + 16) = 0
⇒ (y + 16) (y - 12) = 0
∴ y = -16 ; প্রস্থ ঋণাত্মক হতে পারে না। 

y = 12 
অতএব, প্রস্থ 12 মিটার

প্রশ্ন: √(2a - 3)  = 5 হলে, a এর মান কত? 

সমাধান: 
√(2a - 3)  = 5
⇒ √(2a - 3)² = 5²
⇒  (2a - 3) = 5²
⇒ 2a - 3 = 25
⇒ 2a = 28
∴ a = 14

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে প্রত্যেকে তার সহপাঠীর সংখ্যার সমান টাকা চাঁদা দেওয়ায় মোট 420 টাকা চাঁদা উঠল। প্রত্যেকে কত টাকা করে চাঁদা দিলেন? 

সমাধান: 
ধরি, ছাত্রছাত্রী আছে x জন 
প্রত্যেকের সহপাঠীর সংখ্যা x - 1 জন 

প্রশ্নমতে, 
x (x - 1) = 420 
⇒ x2 - x = 420 
⇒ x2 - x - 420 = 0 
⇒ x2 - 21x + 20x  420 = 0
⇒ x (x - 21) + 20 (x - 21) = 0
⇒ (x - 21) (x + 20) = 0
∴ x - 21 = 0
x = 21

বা x = - 20 ; ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়। 

অতএব, ছাত্রছাত্রী আছে ২১ জন। 
চাঁদা দেয়া হয়েছে = ২১ - ১ টাকা 
= ২০ টাকা