Math Master

 প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n² - 1)
ধারাটির প্রথম 8টি পদের সমষ্টি= 8(8² - 1)
                                              = 8(64 - 1)
                                              = 8 × 63
                                              = 504

গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a = 1
গুণোত্তর ধারার সাধারণ অনুপাত r = (1/2)/1 = 1/2

 ধারাটির ছয়টি পদের যোগফল = {a(1 - r⁶)}/(1 - r)
                                               = 1{1 - (1/2)⁶}/(1 - 1/2)
                                               = {1 - 1/64}/(2 - 1)/2
                                               = {(64 - 1)/64}/1/2
                                               = (63/64) × (2/1)
                                               = 63/32

এখানে
ধারাটির প্রথম পদ a = 1
সাধারণ অন্তর d = 2
এবং পদসংখ্য = 2n - 1

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার 2n - 1 সংখ্যক পদের সমষ্টি
= {(2n - 1)/2}{2. a + ( 2n - 1 -1)d}
= {(2n - 1)/2}{2. 1 + (2n - 2).2}
= {(2n - 1)/2}(2  + 4n - 4)
= {(2n - 1)/2}(4n - 2)
= {(2n - 1)/2} × (4n - 2)
= {(2n - 1)/2}×2(2n - 1)
= (2n - 1)²

বিকল্প :
1 + 3 + 5 + 7 + ……… ধারাটির n টি পদের সমষ্টি = n²
1 + 3 + 5 + 7 + ……… ধারাটির 2n - 1 টি পদের সমষ্টি = (2n - 1)²

সমান্তর ধারার ১ম পদ a
সাধারণ অন্তর d

সমান্তর ধারার14 তম পদ 45 হলে, 
a + (14 - 1)d = 45
a + 13d = 45

প্রথম 27 টি পদের সমষ্টি
= (27/2){2a + (27 - 1)d}
= (27/2){2a + 26d)
= (27/2) × 2(a + 13d)
= 27 × 45
= 1215

এখানে,
১ম পদ a  = - 1/√2
সাধারণ অনুপাত (r)  = 1/(- 1/√2)   
                             = - √2

ধরি,
n তম পদ = 16

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{(n - 1)}
16 = (- 1/√2)(- √2)^{(n - 1)}
- 16√2 = (- √2)^{(n - 1)}
 (- √2)⁹ =  (- √2)^{(n - 1)}
9 = n - 1
n = 9 + 1
n = 10
-------------------
লাইভ প্রশ্নে ভুল ছিলো। - 1/√2 এর পরিবর্তে 1/√2 ছিলো।
প্রশ্নে ভুল থাকায় উত্তর বাতিল করা হয়েছে।

এখানে,
১ম পদ a = 1
সাধারণ অন্তর d  = - 5 - 1 = - 6

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d 
12 তম পদ = a + (12 - 1)d 
                    = 1 + 11 (- 6)
                   = 1 - 66 
                   = - 65

আমরা জানি
1³ + 2³ + 3³ + ...........+ n³ ={n(n + 1)/2}²
1³ + 2³ + 3³ + ............. + 15³ ={15(15 + 1)/2}²
                                               = {(15 × 16)/2}²
                                               = (120)²
                                               = 14400

এখানে
১ম পদ a = 5,
সাধারণ অন্তর d =11 - 5 = 6

আমরা জানি,
 n তম পদ = a + (n - 1)d
বা, 59 = 5 +(n - 1)×(6)
বা, 59 =5 + 6n - 6
বা, 59 = 6n - 1
বা 6n = 59 + 1
বা  6n = 60
বা n = 60/6
   n  = 10

গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ, a
সাধারণ অনুপাত, r
এখানে,
তৃতীয় পদ, ar² = 12..................(1) এবং
ষষ্ঠ পদ, ar⁵ = 96....................(2)

 (2) ÷ (1) করে পাই,
ar⁵/ar² = 96/12
বা, r³ = 8
বা, r³ = 2³
বা, r = 2

r এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
ar² = 12
বা, a × 4 = 12
বা, a = 3

আমরা জানি,
1² + 2² + 3² + ............... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/ 6
1² + 2² + 3² + ............... + 15² = 15(15 + 1)(2 × 15 + 1)/6
                                                = 15 × 16  × 31/6
                                                =1240 

    1 + 2 + 3 + ......... + n = 66
⇒ n(n + 1)/2 = 66
⇒ n(n + 1) = 132
⇒ n² +  n = 132
⇒ n² + n - 132 = 0
⇒ n² + 12n - 11n - 132 = 0
⇒ n(n + 12) - 11(n + 12) = 0

হয়                         অথবা
n - 11 = 0                n + 12 = 0 
n = 11                     n = - 12 [গ্রহণযোগ্য নয়, কেননা n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না]

ধরি
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a 
গুণোত্তর ধারার সাধারণ অনুপাত r 

দেয়া আছে,
চতুর্থ পদ  = 2 
নবম পদ  = 8√2

ar^{4 - 1} = ar³ = 2 ...............(1)
ar^{9 - 1} = ar⁸ = 8√2............(2)

(2) ÷ (1)
ar⁸/ar³  = 8√2/2
r⁵ = 4√2
r⁵ = (√2)⁵
r = √2

n তম পদ n + 2^{n + 1}
পঞ্চম পদ = 5 + 2^{5 + 1} = 5 + 2⁶ = 5 + 64 = 69
ষষ্ঠ পদ = 6 + 2^{6 + 1} = 6 + 2⁷ = 6 + 128 = 134
 
ষষ্ঠ পদ ও সপ্তম পদের পার্থক্য = 134  - 69 = 65

কোনো ধারার n তম পদ 2n - 4 হলে,
ধারাটির ১ম পদ = 2 × 1 - 4 = 2 - 4 = - 2
ধারাটির ২য় পদ = 2 × 2 - 4= 4 - 4 = 0
ধারাটির ৩য় পদ = 2 × 3 - 4 = 6 - 4= 2
ধারাটির ৪র্থ পদ = 2 × 4 - 4 = 8 - 4 = 4
ধারাটির ৫ম পদ = 2 × 5 - 4 = 10 - 4 = 6
........................................................................
ধারাটিঃ  -2, 0, 2, 4,.........................

১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2 . 

∴ n পদের সমষ্টি = a.(rⁿ - 1)/(r - 1)
                          = 2.(2ⁿ -1)/(2 - 1)
                          = 2.(2ⁿ - 1)

শর্তমতে,
2.(2ⁿ-1) = 510
বা, (2ⁿ - 1) = 255
বা, 2ⁿ = 256
বা, 2ⁿ = 2⁸
∴ n = 8

সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর d = 10
6 তম পদ = 52
6 তম পদ =a + (6 - 1)d
52 = a + 5d
52 = a + 5 × 10 
52 = a + 50 
52 - 50 = a
2 = a
a = 2 

15 তম পদ = a +(15 - 1)d
                  = 2 + 14 × 10
                  = 2 + 140 
                  = 142 

দেওয়া আছে,
প্রদত্ত ধারার প্রথম পদ, a = 6
দ্বিতীয় পদ = x
তৃতীয় পদ = y
এবং চতুর্থ পদ = 162

মনে করি,
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r

ধারাটির চতুর্থ পদ = ar^4-1
6r³ = 162
বা, r³ = 162/6
বা, r³ = 27
বা, r³ = 3³
বা, r = 3


তৃতীয় পদ, b = ar^{3 - 1}
= ar²
= 6.3²
= 6.9
= 54

১ম পদ,a = 9 
সাধারণ অন্তর, d = 7 - 9 = - 2

ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যােগফল,
(n/2){2 × 9 + (n - 1)(- 2)} = - 144
⇒ (n/2){18 - 2n + 2} = - 144
⇒ (n/2){20 - 2n} = - 144
⇒ (n/2) × 2(10 - n) = - 144
⇒ n(10 - n) = - 144
⇒ 10n - n² = - 144
⇒ n² - 10n - 144 = 0
⇒ n² - 18n + 8n - 144 = 0
⇒ n(n - 18) + 8(n - 18) = 0
⇒ (n - 18)(n + 8) = 0
হয়                                অথবা 
n - 18 = 0                      n + 8 = 0
n = 18                           n = - 8  [গ্রহণযোগ্য নয়, কেননা n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না]

দেয়া আছে,
 n তম পদ = {1 - (- 1)ⁿ}/2
20তম পদ = {1 - (- 1)²⁰}/2
                 = (1- 1)/2
                 = 0/2 
                 = 0