প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ - ২০২৫

প্রশ্ন: ৩৪৩ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
৩৪৩ = ৭ × ৭ × ৭ = ৭^৩

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রত্যেক মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে।

এখানে ৭ এর ঘাত ৩ (বিজোড়)।
তাই ৭ দ্বারা আরও গুণ করতে হবে।
অর্থাৎ, ৩৪৩ × ৭ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ সংখ্যাটিকে ৭ দ্বারা গুণ করতে হবে।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা:
 p/q আকারে প্রকাশযোগ্য সংখ্যা যা p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q≠ 0। উদাহরণ: √(25) = 5, 5/1 = 5, 5/6, 1/2 ইত্যাদি।

অমূলদ সংখ্যা:
 এমন সংখ্যা যা p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না (p ও q পূর্ণসংখ্যা ও q≠ 0)। উদাহরণ: √2 ≈ 1.414213......, √3 ≈ 1.732...... ইত্যাদি।

এখানে,
ক) e = 2.71828.........
এটি একটি অমূলদ ধ্রুবক।
∴ অমূলদ সংখ্যা।

খ) √3 = 1.732050................
এটি একটি অমূলদ সংখ্যা
∴ অমূলদ সংখ্যা।

গ) 1/√7
√7 অমূলদ, ফলে 1/√7 ও অমূলদ।
∴অমূলদ সংখ্যা।

ঘ) √5/√180 = √5/√(36 × 5)
= √5/(6√5)
= 1/6
এটি p/q আকারে আছে, যেখানে p = 1 , q = 6
∴ এটি মূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: (০.০০৪)/(০.১ × ০.৪) = কত?

সমাধান:
(০.০০৪)/(০.১ × ০.৪)
= (০.০০৪)/(০.০৪)
= (৪/১০০০)/(৪/১০০)
= ১/১০
= ০.১

প্রশ্ন: চারটি সাইরেন একত্রে বেজে যথাক্রমে ২০, ২৫, ৩০ ও ৪০ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে সাইরেনগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
২০ = ২^২ × ৫
২৫ = ৫^২
৩০ = ২ × ৩ × ৫
৪০ = ২^৩ × ৫

∴ ল.সা.গু. =  ২^৩ × ৩ × ৫^২ = ৬০০ সেকেন্ড

আমরা জানি,
৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট।

সময় = ৬০০/৬০ মিনিট
= ১০ মিনিট।

∴ ১০ মিনিট পরে সাইরেনগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: ৮ টি সংখ্যার গড় ৪৫। এর সাথে ৪ টি সংখ্যা যোগ করা হলো। সংখ্যা ৪ টির গড় ৩০। সমষ্টিগত ভাবে ১২টি সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 ৮টি সংখ্যার গড় ৪৫
∴ ৮ টি সংখ্যার সমষ্টি (৪৫ × ৮) = ৩৬০

এবং
৪ টি সংখ্যার সমষ্টি = (৪ × ৩০) = ১২০

∴ (৮ + ৪) বা ১২ টি সংখ্যার সমষ্টি = (৩৬০ + ১২০) = ৪৮০

∴ ১২ টি সংখ্যার গড় = (৪৮০/১২) = ৪০

প্রশ্ন: ০.০০৪০৯৬ এর বর্গমূল নির্ণয় করুণ।

সমাধান:
√০.০০৪০৯৬
= √(৪০৯৬/১০০০০০০)
= √(৬৪^২/১০০০^২)
= ৬৪/১০০০
= ০.০৬৪

প্রশ্ন: ১০টি সংখ্যার গড় ৫৬। প্রথম চারটি সংখ্যার গড় ৭৫ এবং শেষ পাঁচটি সংখ্যার গড় ৪০। পঞ্চম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১০টি সংখ্যার গড় = ৫৬
∴ ১০টি সংখ্যার সমষ্টি (৫৬ × ১০) = ৫৬০

প্রথম ৪টি সংখ্যার গড় = ৭৫
প্রথম ৪টি সংখ্যার সমষ্টি = (৭৫ × ৪) = ৩০০

শেষ ৫টি সংখ্যার গড় = ৪০
শেষ ৫টি সংখ্যার সমষ্টি = (৫ × ৪০) = ২০০

এখন,
১০টি সংখ্যার মোট সমষ্টি = (প্রথম ৪টির সমষ্টি + পঞ্চম সংখ্যা + শেষ ৫টির সমষ্টি)

∴ পঞ্চম সংখ্যা = (মোট সমষ্টি -  প্রথম ৪টির সমষ্টি - শেষ ৫টির সমষ্টি)
= ৫৬০ - ৩০০ - ২০০
= ২৬০ - ২০০
= ৬০

অতএব, পঞ্চম সংখ্যাটি হলো ৬০।

প্রশ্ন: দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল (৪/২৭)। একটি ভগ্নাংশ (২/৩) হলে, অপর ভগ্নাংশ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল (৪/২৭)
একটি ভগ্নাংশ (২/৩)

∴ অপর ভগ্নাংশ = দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ÷ একটি ভগ্নাংশ 
= (৪/২৭) ÷ (২/৩)
= (৪/২৭) × (৩/২)
= ২/৯

∴ অপর ভগ্নাংশ = ২/৯

প্রশ্ন: একটি সাইকেলের সামনের চাকার পরিধি ৪ মিটার এবং পেছনের চাকার পরিধি ৫ মিটার। কমপক্ষে কত দূরত্ব অতিক্রম করলে সামনের চাকা পেছনের চাকা অপেক্ষা ১২ বার বেশি ঘুরবে?

সমাধান:
সামনের চাকা পেছনের চাকার চেয়ে ১ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে চাকা দুটির পরিধির অর্থাৎ ৪ ও ৫ এর ল.সা.গু এর সমান।
 ∴ ৪ ও ৫ এর ল.সা.গু = ২০

১ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব ২০ মিটার
∴ ১২ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব (১২ × ২০) মিটার = ২৪০ মিটার

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে,
ক) ১২ এবং ১৫: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৩ এবং ১।
তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

খ) ২১ এবং ৩৫: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৭ এবং ১।
তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

গ) ২৫ এবং ৩২:
২৫ = ৫×৫
৩২ = ২×২×২×২×২
২৫ এবং ৩২ এর মধ্যে ১ ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক নেই।
∴ ২৫, ৩২ সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা।

ঘ) ১২ এবং ২৭: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৩ এবং ১।
তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

অতএব, সঠিক উত্তর হলো ২৫, ৩২।

প্রশ্ন: পিতা ও তার দুই সন্তানের বয়সের গড় ৩২ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২২ বছর হলে, পিতার বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় ৩২ বছর
∴ পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি (৩২ × ৩) বছর = ৯৬ বছর

আবার,
দুই সন্তানের বয়সের গড় = ২২ বছর
∴ দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি (২২× ২) বছর = ৪৪ বছর

∴ পিতার বয়স = (৯৬ - ৪৪) বছর = ৫২ বছর।

প্রশ্ন: ৩/৭ এর লব এবং হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান ২/৩ হয়?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে,
(৩ + x)/(৭ + x) = ২/৩
⇒ ৩x + ৯ = ২x + ১৪
⇒ ৩x - ২x = ১৪ - ৯
∴ x = ৫

∴ সংখ্যাটি ৫

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ১০৫ এবং সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত ৫ : ৭ হলে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার অনুপাত = ৫ : ৭
তাদের ল.সা.গু = ১০৫

মনে করি,
একটি সংখ্যা = ৫ক
অপর সংখ্যা = ৭ক

∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ৩৫ক

প্রশ্নমতে,
৩৫ক = ১০৫
⇒ ক = ১০৫/৩৫
∴ ক = ৩

∴ সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি = ৫ক + ৭ক
= ১২ক
= ১২ × ৩
= ৩৬

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটির ভাজক সংখ্যা সবচেয়ে বেশি?

সমাধান:
৬৮ সংখ্যাটির ভাজকগুলো হলো: ১, ২, ৪, ১৭, ৩৪, ৬৮

৮০ সংখ্যাটির ভাজকগুলো হলো: ১, ২, ৪, ৫, ৮, ১০, ১৬, ২০, ৪০, ৮০

১২৫ সংখ্যাটির ভাজকগুলো হলো: ১, ৫, ২৫, ১২৫

২২৫ সংখ্যাটির ভাজকগুলো হলো: ১, ৩, ৫, ৯, ১৫, ২৫, ৪৫, ৭৫, ২২৫

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে ৮০ সংখ্যাটির ভাজক সবচেয়ে বেশি অর্থাৎ ১০ টি।

প্রশ্ন: ভাজক ভাগফলের এক পঞ্চমাংশ এবং ভাগশেষ ভাজকের অর্ধেক। ভাগফল ১৪০ হলে, ভাজ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভাগফল = ১৪০

ভাজক ভাগফলের এক পঞ্চমাংশ
∴ ভাজক = ভাগফল × (১/৫) = ১৪০ × (১/৫) = ২৮

ভাগশেষ ভাজকের অর্ধেক
∴ ভাগশেষ = ভাজক × (১/২) = ২৮ × (১/২) = ১৪

আমরা জানি,
ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ
= (২৮ × ১৪০) + ১৪
= ৩৯২০ + ১৪
= ৩৯৩৪
∴ ভাজ্য = ৩৯৩৪

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ৪/৭ অংশ কালো এবং বাকি অংশ হলুদ। খুঁটির কালো এবং হলুদ অংশের দৈর্ঘ্যের পার্থক্য ৯ মিটার হলে সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য = ১ অংশ

খুঁটির কালো অংশ = ৪/৭ অংশ
খুঁটির হলুদ অংশ = ১ - (৪/৭) অংশ
 = (৭ - ৪)/৭ অংশ
= ৩/৭ অংশ

কালো এবং হলুদ অংশের দৈর্ঘ্যের পার্থক্য = (৪/৭) - (৩/৭) অংশ
 = (৪ - ৩)/৭ অংশ
= ১/৭ অংশ

প্রশ্নমতে,
১/৭ অংশ = ৯ মিটার
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = (৭×৯)/১ মিটার
= ৬৩ মিটার

প্রশ্ন: আকাশের 9 ইনিংস পর্যন্ত যে গড় রান ছিল, দশম ইনিংসে 100 রান করার পর সেই গড় 8 রান বেড়ে যায়। তার নতুন গড় রান কত?

সমাধান:
ধরি,
9 টি ইনিংসের গড় ছিল x রান
তাহলে 9 ইনিংসের মোট রান = 9x

দশম ইনিংসে তিনি 100 রান করেন
∴ দশম ইনিংসের পর মোট রান =  9x+100
∴ নতুন গড় = x + 8

শর্তমতে,
10(x + 8) = 9x+100
⇒ 10x + 80 = 9x + 100
⇒ 10x - 9x = 100 - 80
∴ x = 20

অতএব, নতুন গড় = 20 + 8 = 28

প্রশ্ন: কোন একটি সংখ্যার অর্ধেকের সঙ্গে 8 যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির তিনগুণ থেকে 77 বিয়োগ করলে একই উত্তর পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = P

শর্তমতে,
(P/2) + 8 = 3P - 77
⇒ 3P - (P/2) = 77 + 8
⇒ (6P - P)/2 = 85
⇒ 5P/2 = 85
⇒ 5P = 85 × 2
⇒ 5P = 170
⇒ P = 170/5
∴ P = 34

∴ সংখ্যাটি 34 ।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে ৭/২৪, ৫/৩২ এবং ৮৩/১৬ কে ভাগ করলে প্রত্যেক ক্ষেত্রে ভাগফল পূর্ণসংখ্যা হবে?

সমাধান:
নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৭/২৪, ৫/৩২ এবং ৮৩/১৬ এর গ.সা.গু.।

ভগ্নাংশগুলোর লব ৭, ৫, ৮৩ এর গ.সা.গু. = ১
এবং হর ২৪, ৩২, ১৬ এর ল.সা.গু. = ৯৬

∴ ভগ্নাংশগুলোর গ.সা.গু = লবগুলোর গ.সা.গু/হরগুলোর ল.সা.গু.
= ১/৯৬

অতএব, নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ১/৯৬।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রকৃত ভগ্নাংশ?

সমাধান:
প্রকৃত ভগ্নাংশ: যে ভগ্নাংশের লব হর অপেক্ষা ছোট তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।

এখানে,
১.৮ = ১৮/১০ = ৯/৫ [অপ্রকৃত ভগ্নাংশ]
১.০৫ = ১০৫/১০০ = ২১/২০ [অপ্রকৃত ভগ্নাংশ]
১.৯ = ১৯/১০ [অপ্রকৃত ভগ্নাংশ]
০.০৮ = ৮/১০০ = ২/২৫ [প্রকৃত ভগ্নাংশ]

∴ প্রকৃত ভগ্নাংশ = ২/২৫

প্রশ্ন: ২০ জন শিক্ষার্থীর গড় বয়স ১০ বছর। যদি শিক্ষকের বয়স অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তবে গড় ২ বৃদ্ধি পায়। শিক্ষকের বয়স কত?

সমাধান:
২০ জন শিক্ষার্থীর গড় বয়স ১০ বছর
২০ জন শিক্ষার্থীর মোট বয়স (১০ × ২০) = ২০০ বছর

যদি শিক্ষকের বয়স অন্তর্ভুক্ত করা হয়,
তাহলে, ২০ জন শিক্ষার্থী + ১ জন শিক্ষক = ২১ জন

২১ জনের গড় বয়স ১২ বছর
২১ জনের মোট বয়স = (২১ × ১২) = ২৫২ বছর

∴ শিক্ষকের বয়স = (২৫২ - ২০০) = ৫২ বছর

প্রশ্ন: P ও Q উভয়ই বিজোড় সংখ্যা হলে কোনটি জোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
দুইটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সর্বদাই জোড় সংখ্যা হয়।

ধরি,
বিজোড় সংখ্যা দুইটি P = 5 এবং Q = 7,

ক) PQ = (5 × 7) = 35 (বিজোড় সংখ্যা),
খ) PQ + 2 = (5 × 7) + 2 = 35 + 2 = 37 (বিজোড় সংখ্যা),
গ) P + Q = (5 + 7) = 12 (জোড় সংখ্যা) এবং
ঘ) P + Q + 1 = (5 + 7 + 1) = 13 (বিজোড় সংখ্যা)।

∴ (P + Q) জোড় সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: সর্বমোট কত সংখ্যক গাছ হলে একটি বাগানে ২৫, ৩৫, ৪৫ ও ৬০ সারিতে গাছ লাগালে একটিও কম বা বেশি হবে না?

সমাধান:
২৫, ৩৫, ৪৫ ও ৬০ এর ল.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় গাছের সংখ্যা।

এখানে,
২৫ = ৫ × ৫
৩৫ = ৫ × ৭
৪৫ = ৩ × ৩ × ৫
৬০ = ২ × ২ × ৩ × ৫

∴ ২৫, ৩৫, ৪৫ ও ৬০  এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ × ৫ × ৭ = ৬৩০০

∴ সর্বমোট ৬৩০০ টি গাছ লাগাতে হবে।

প্রশ্ন: (.০০৯/?) = .০১ হলে, প্রশ্নবোধক চিহ্নের স্থানে কত বসবে?

সমাধান:
মনে করি,
(.০০৯/P) = .০১
⇒ P = ০.০০৯/০.০১
= P = ০.৯

প্রশ্ন: ৫ জন সদস্যের একটি পরিবারের গড় বয়স ১৮ বছর। যদি কনিষ্ঠ সদস্যের বয়স ১০ বছর হয়, তবে কনিষ্ঠ সদস্যের জন্মের সময় পরিবারের গড় বয়স কত ছিল?

সমাধান:
৫ জন সদস্যের গড় বয়স ১৮ বছর
৫ জন সদস্যের মোট বয়স = (১৮ × ৫) = ৯০ বছর

 ১০ বছর আগে (কনিষ্ঠ সদস্যের জন্মের সময়), পরিবারের সদসসদের মোট বয়স = {৯০ - ১০ - (১০ × ৪)}
= (৯০ - ৫০) = ৪০ বছর

 যেহেতু তখন কনিষ্ঠ সদস্যের জন্ম হচ্ছে, তাই বাকি ৪ জন সদস্যের গড় বয়স ছিল = (৪০ ÷ ৪) = ১০ বছর

প্রশ্ন: যদি P একটি জোড় সংখ্যা হয়, তাহলে (5P + 6) থেকে বড় ক্ষুদ্রতম জোড় সংখ্যা এবং (3P + 13) থেকে ছোট বৃহত্তম জোড় সংখ্যার পার্থক্য কত?
সমাধান:
5P + 6 এর চেয়ে বড় ক্ষুদ্রতম জোড় সংখ্যা = 5P + 6 + 2 = 5P + 8
 3P + 13 এর চেয়ে ছোট বৃহত্তম জোড় সংখ্যা = 3P + 13 -1 = 3P + 12

∴ পার্থক্য = 5P + 8 - (3P + 12)
= 5P + 8 - 3P - 12
= 2P - 4

প্রশ্ন: চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হতে কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৪, ৬ ও ১২ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০
৪, ৬ ও ১২ এর ল.সা.গু = ১২

এখন,
১০০০ ÷ ১২ ⇒
ভাগফল = ৮৩
 ভাগশেষ = ৪

নির্ণেয় লঘিষ্ঠ সংখ্যা = ৪

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?
(৩/২), (৭/৩), (৫/৪), (৭/২)

সমাধান:
(৩/২) = ১.৫

(৭/৩) = ২.৩৩.........

(৫/৪) = ১.২৫

(৭/২) = ৩.৫

যেহেতু ১.২৫< ১.৫ < ২.৩৩...... < ৩.৫
∴ (৫/৪) < (৩/২) < (৭/৩) < (৭/২)

∴ বৃহত্তম ভগ্নাংশ = (৭/২)

প্রশ্ন: ৫টি আপেল এবং ৪টি আমের গড় মূল্য ৪০ টাকা। ৭টি আপেল এবং ৮টি আমের গড় মূল্য ৫০ টাকা। ২৪টি আপেল এবং ২৪টি আমের মোট মূল্য কত?

সমাধান:
৫টি আপেল এবং ৪টি আমের গড় মূল্য ৪০ টাকা
৫টি আপেল এবং ৪টি আমের মোট মূল্য (৪০ × ৯) = ৩৬০ টাকা

আবার,
৭টি আপেল এবং ৮টি আমের গড় মূল্য ৫০ টাকা
৭টি আপেল এবং ৮টি আমের মোট মূল্য (৫০ × ১৫) = ৭৫০ টাকা

∴ (৫ + ৭) বা ১২ টি আপেল ও (৪ + ৮) বা ১২ টি আমের মোট মূল্য = (৩৬০ + ৭৫০) = ১১১০ টাকা

তাহলে, (১২ × ২) বা ২৪ টি আপেল ও (১২ × ২) বা ২৪ টি আমের মোট মূল্য = (১১১০ × ২) বা ২২২০ টাকা

প্রশ্ন: এমন একটি ধনাত্মক সংখ্যা নির্ণয় করুণ, যা তার বর্গের থেকে ৫৬ কম।

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
ক^২ - ক = ৫৬
⇒ ক^২- ক - ৫৬ = 0
⇒ ক^২ - ৮ক + ৭ক - ৫৬ = 0
⇒ ক(ক - ৮) + ৭(ক - ৮) = 0
⇒ (ক - ৮) (ক + ৭) = 0
হয়,
(ক - ৮) = ০
∴ ক = ৮ [ধনাত্মক সংখ্যা]
অথবা
(ক + ৭) = ০
⇒ ক = - ৭ [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

নির্ণেয় সংখ্যাটি ৮ ।

প্রশ্ন: কোনো কারখানায় যদি আরো ১৪ টি মেশিন যোগ করা হয়, তবে মেশিনগুলোকে ১২, ১৮, ২৪ ও ৩৬ সংখ্যক সারিতে সাজানো সম্ভব হবে। কারখানায় শুরুতে কতটি মেশিন ছিল?
সমাধান:
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩

∴ ১২, ১৮, ২৪ ও ৩৬ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৭২
অর্থাৎ, মেশিন সংখ্যা = ৭২ - ১৪ = ৫৮

∴ কারখানায় শুরুতে ৫৮ টি মেশিন ছিল।

প্রশ্ন: কোনো ব্যক্তি তার সম্পত্তির ১/৩ অংশ স্ত্রীকে, ১/৪ অংশ পুত্রকে, ও ১/৫ অংশ মেয়েকে দান করলেন। তাঁর অবশিষ্ট সম্পত্তির মূল্য ৭৮,০০০ টাকা। মোট সম্পত্তির মূল্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোনো ব্যক্তি তার স্ত্রীকে দিলেন সম্পত্তির ১/৩ অংশ
কোনো ব্যক্তি তার পুত্রকে দিলেন সম্পত্তির ১/৪ অংশ
কোনো ব্যক্তি তার মেয়েকে দিলেন সম্পত্তির ১/৫ অংশ

∴ কোনো ব্যক্তি তার সম্পত্তির মোট দান করলেন = {(১/৩) + (১/৪) + (১/৫)} অংশ
= (২০ + ১৫ + ১২)/৬০ অংশ
= (৪৭/৬০) অংশ

∴ অবশিষ্ট রইলো = ১ - (৪৭/৬০) অংশ
= (৬০ - ৪৭)/৬০  অংশ
= ১৩/৬০ অংশ

এখন,
(১৩/৬০) অংশ সম্পত্তির মূল্য = ৭৮,০০০ টাকা
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ সম্পত্তির মূল্য (৭৮,০০০ × ৬০)/১৩ টাকা
= (৬০০০ × ৬০) টাকা
= ৩৬০০০০ টাকা

∴ মোট সম্পত্তির মূল্য ৩৬০০০০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি ওয়ার্কশপে সকল শ্রমিকের গড় বেতন ৮,০০০ টাকা। ৭ জন টেকনিশিয়ানের গড় বেতন ১২,০০০ টাকা এবং বাকিদের গড় বেতন ৬,০০০ টাকা। ওয়ার্কশপে মোট শ্রমিকের সংখ্যা কত?

সমাধান:
৭ জন টেকনিশিয়ানের গড় বেতন ১২,০০০ টাকা
৭ জন টেকনিশিয়ানের মোট বেতন (১২,০০০ × ৭) = ৮৪০০০ টাকা

মনে করি,
বাকি শ্রমিকের সংখ্যা x
x জন শ্রমিকের গড় বেতন ৬০০০ টাকা
x জন শ্রমিকের মোট বেতন = (৬০০০ × x) = ৬০০০x টাকা

মোট শ্রমিকের সংখ্যা = (৭ + x) জন

(৭ + x) জন শ্রমিকের গড় বেতন ৮,০০০ টাকা
(৭ + x) জন শ্রমিকের মোট বেতন ৮,০০০ × (৭ + x) টাকা

প্রশ্নমতে,
৮,০০০ × (৭ + x) = ৮৪০০০ + ৬০০০x
⇒ ৫৬০০০ + ৮০০০x = ৮৪০০০ + ৬০০০x
⇒ ৮০০০x - ৬০০০x = ৮৪০০০ - ৫৬০০০
⇒ ২০০০x = ২৮০০০
⇒ x = ২৮০০০/২০০০
∴ x = ১৪

∴ মোট শ্রমিকের সংখ্যা = (৭ + ১৪) জন = ২১ জন

প্রশ্ন: ৭৫ থকে ১২০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কতটি?

সমাধান:
৭৫ থকে ১২০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭, ১০১, ১০৩, ১০৭, ১০৯, ১১৩ ।

অর্থাৎ,  ৭৫ থেকে ১২০ এর মধ্যে মোট ৯টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে।

প্রশ্ন: যদি ৭৫ টি সংখ্যার গাণিতিক গড় গণনা করা হয়, তবে তা হয় ৩৫। যদি প্রতিটি সংখ্যা ৫ বৃদ্ধি করা হয়, তবে নতুন সংখ্যাগুলোর গড় কত হবে?

সমাধান:
৭৫ টি সংখ্যার গাণিতিক গড় ৩৫
৭৫টি সংখ্যার সমষ্টি = (৭৫ × ৩৫) = ২৬২৫

প্রতিটি সংখ্যা ৫ করে বাড়ালে মোট বৃদ্ধি পায় = (৭৫ × ৫) = ৩৭৫

∴ নতুন সমষ্টি = (২৬২৫ + ৩৭৫) = ৩০০০

∴ নতুন গড় = ৩০০০ ÷ ৭৫ = ৪০