Math Master

- ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে পরিসীমা বলে।
- ত্রিভুজের বাহুগুলাে দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে ত্রিভুজক্ষেত্র বলে।
- ত্রিভুজের যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে। 
- যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা।

বাহুভেদে ত্রিভুজ তিন প্রকার:
- সমবাহু,
- সমদ্বিবাহু ও
- বিষমবাহু।।

আবার
কোণভেদেও ত্রিভুজ তিন প্রকার:
- সূক্ষ্মকোণী,
- স্থূলকোণী ও
- সমকোণী।

দেওয়া আছে, 
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৬ মিটার ও ৮ মিটার
আমরা জানি
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২)(দুই কর্ণের গুনফল)
                           = (১/২)(১৬ x ৮)
                           = ৬৪ বর্গ মিটার 


বর্গক্ষেত্রের  ক্ষেত্রফল = ৬৪ বর্গ মিটার 
তাহলে বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ৮ মিটার
বর্গের পরিসীমা = (৪ x ৮) মিটার
                        = ৩২ মিটার

আমরা জানি, 
কোনাে ত্রিভুজের একটি বাহু অপর একটি বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর।

মনে করি,
ΔABC এ AC > AB।
সুতরাং ∠ ABC > ∠ ACB

 

তিনবাহুর দৈর্ঘ্য a = ৬ মিটার, b = ৪ মিটার ও c= ৮ মিটার

ত্রিভুজটির পরিসীমা (2s) = ৬ + ৪ + ৮ = ১৮ মিটার
∴ অর্ধ-পরিসীমা (s) = ১৮/২ = ৯ মিটার
ক্ষেত্রফল = √{s(s - a) (s - b) (s - c)} বর্গমিটার  [ a, b , c যথাক্রমে ৩ বাহুর দৈর্ঘ্য]
                 = √{৯(৯ - ৬) (৯ - ৪) (৯ - ৮)
                 = √(৯ × ৩ × ৫ × ১) 
                  = √১৩৫বর্গমিটার
 

দেওয়া আছে, 
∠A = 36°, ∠B = 72°

 ∠C = {180° – (72°+36°)} = 72°
কোন ত্রিভুজের ২টি কোণ সমান হলে তার ২টি বাহুও সমান হয়।
সুতরাং, ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
আবার,
যেহেতু ত্রিভুজটির তিনটি কোণই সূক্ষকোণ তাই ত্রিভুজটি একটি সূক্ষকোণী ত্রিভুজ।

ত্রিভুজটির অপর কোণ দুটির সমষ্টি = ১৮০° - ৯২° =  ৮৮° 

অপর কোণদ্বয় = ৮৮°/২ = ৪৪°

 

BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলে যদি ∠ACD=120° হয় তবে  ∠ACB=60° 
AB=AC বলে ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভূজ।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় সমান হয় বলে ∠ABC= 60°
আমরা জানি
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = 180°
বা, ∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°
  60° + 60° + ∠BAC =180° 
120°+ ∠BAC =180° 
∴∠BAC=60°

বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬০মি. 
 বর্গের ক্ষেত্রফল = (৬০ × ৬০) বর্গ মিটার 
                          = ৩৬০০ বর্গ মিটার 

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ৩৬০০ বর্গ মিটার 
ত্রিভুজটির উচ্চতা ৯০ মি. 

আমরা জানি,
(১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
(১/২) × ভূমি × ৯০ = ৩৬০০
ভূমি = (৩৬০০ × ২)/৯০ 
ভূমি = ৮০ মিটার।

• আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের মান 60°।
• সুতরাং একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ উভয় পাশে 180° - 60° = 120° কোণ উৎপন্ন করে।
• সুতরাং বহিঃস্থ কোণ দুটির অন্তরফল = 120° - 120° = 0°

প্রশ্নটিতে ভুল আছে তাই বাতিল করে দেয়া হল।

ধরি
সমকোণী ত্রিভুজের এক বাহু = x
তাহলে অপর বাহু = x + 3

∴ (x + 3)² + x² = 15²
x² + 2.x.3 + 3² + x² = 225
x² + 6x + 9 + x² = 225 
2x² + 6x - 216 = 0 
x² + 3x - 108 = 0
x² + 12x - 9x - 108 = 0
x(x + 12) - 9(x + 12) = 0
(x + 12) (x - 9) = 0
x = 9, -12
দৈর্ঘ্য ঋনাত্নক হতে পারে না
অতএব x = 9 সে.মি
তাহলে অপর বাহু = 9 + 3 = 12 সে.মি

মনেকরি,
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = x সে. মি.
বর্গের ক্ষেত্রফল = x  × x সে. মি.
                         = x² 


  আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 40 সে.মি
  আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ 3x/2 সে.মি

প্রশ্নমতে, 
(3x/2) × 40 = 3x² 
60x = 3x²
x = 20 

বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য =20 সে. মি.

বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১২২৫ বর্গ সে.মি. 
বর্গাকার বাগানের একবাহুর দৈর্ঘ্য = √১২২৫ সে.মি. 
                                                   = ৩৫ সে.মি.

বর্গাকার বাগানের পরিসীমা = (৩৫ × ৪) সে.মি. 
                                          = ১৪০ সে.মি.

 বেড়ার দৈর্ঘ্য = ১৪০ সে.মি.

ত্রিভুজের যেকোনাে দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি এর তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।
মনে করি,
ABC একটি ত্রিভুজ।
BC ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহু।
তাহলে, AB + AC > BC

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা)
                                    = 9 × 4
                                    = 36 মি.

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ক মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ক^২ বর্গ মি.
ক^২ = 36
ক = √36 = 6

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2ক
                                     = 6√2 মি.

 
ত্রিভুজ সংক্রান্ত কিছু অনুসিদ্ধান্তঃ
১) ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় স্থুলকোণ হবে।
৩) সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হবে।

∠ RPS = 30° + 40° = 70°