প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: যদি দুইটি বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয় স্পর্শকের একই পার্শ্বে থাকে তখন বৃত্তদ্বয় ______ হয়।

সমাধান:

দুইটি বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক যদি বৃত্ত দুইটিকে একই বিন্দুতে স্পর্শ করে তবে ঐ বিন্দুতে বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে স্পর্শ করে বলা হয়।
- বৃত্ত দুইটির অন্তঃস্পর্শ বলা হয় যদি কেন্দ্রদ্বয় স্পর্শকের একই পার্শ্বে থাকে
- বৃত্ত দুইটির বহিঃস্পর্শ বলা হয় যদি কেন্দ্রদ্বয় স্পর্শকের বিপরীত পার্শ্বে থাকে। 

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য √40 সে.মি. হলে, বর্গক্ষেত্রটির  ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান: 
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি. হলে 
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 সে.মি.

 বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য a√2 = √40 সে.মি. হলে,
 বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √40/√2 
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (√40/√2)² = 40/2 = 20 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত বহি:স্থভাবে স্পর্শ করে। একটির ব্যাসার্ধ 6 সে.মি. ও অপরটির ব্যাস 8 সে.মি. হলে বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরুত্ব কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6 সে. মি. 
দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাস = 8 সে. মি.
∴ দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 8/2 সে. মি.
= 4 সে.মি.

বৃত্ত দুটি কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ + দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= (6 + 4) সে. মি.
= 10 সে. মি.

প্রশ্ন:

∠BAC এবং ∠CAD পরস্পর ______ কোণ?
সমাধান:
সন্নিহিত কোণ: যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও এদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মির বিপরীত পাশে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে।


চিত্রে, A বিন্দুটি ∠BAC ও ∠CAD এর শীর্ষবিন্দু। A বিন্দুতে ∠BAC ও ∠CAD উৎপন্নকারী রশ্মিগুলোর মধ্যে AC সাধারণ রশ্মি। কোণ দুইটি সাধারণ রশ্মি AC এর বিপরীত পাশে অবস্থিত।
∠BAC এবং ∠CAD পরস্পর সন্নিহিত কোণ।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি ৮০ মিটার এবং উচ্চতা ৪৫ মিটার। ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি = ৮০ মিটার
ত্রিভুজাকৃতি জমির উচ্চতা = ৪৫ মিটার 

∴ ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল = ১/২ × (ভূমি × উচ্চতা) বর্গমিটার 
= ১/২ × (৮০ × ৪৫) বর্গমিটার 
= ১৮০০ বর্গমিটার 

প্রশ্ন: একটি ঘনকের প্রতিটি ধার 6 সে.মি. হলে, কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকটির প্রত্যেক ধার a একক হলে, ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য  a√3 একক

দেওয়া আছে,
ঘনকের ধার, a = 6 সে.মি.
∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য
= 6√3 সে.মি.

প্রশ্ন: চর্তুভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
চর্তুভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩

ধরি,
চতুর্ভুজের চারটি কোণ  x°, ২x°, ২x°, ৩x°

আমরা জানি, চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি ৩৬০°

শর্তমতে,
x° + ২x° + ২x° + ৩x° = ৩৬০°
বা, ৮x° = ৩৬০°
বা, x° = ৪৫°

∴ বৃহত্তম কোণের পরিমাণ = ৩ × ৪৫° = ১৩৫°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান হলে তাদের পরিসীমার অনুপাত কত হবে?

সমাধান: 
বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = a

প্রশ্নমতে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
বা, πr² = a²
বা, a = r√π

সুতরাং বৃত্তের পরিসীমা : বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 2πr : 4a
= 2πr : 4 × r√π
= π : 2√π
= √π  : 2

প্রশ্ন: কোনো সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি a, উচ্চতা b এবং অতিভুজ c হলে কোনটি সঠিক? 

সমাধান:
দেয়া আছে,
 ত্রিভুজের ভূমি a, উচ্চতা b এবং অতিভুজ  c 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে আমরা পাই,
অতিভুজ² = উচ্চতা² + ভূমি²
c² = b² + a²

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চর্তুভুজের একটি কোণ ৭৫° হলে বিপরীত কোণটির মান কত?

সমাধান: 
বৃত্তস্থ চতুর্তুজের দুটি বিপরীত কোণের সমষ্টি = ১৮০°
একটি কোণ ৭৫° হলে, অপরটি = (১৮০ - ৭৫) = ১০৫°

প্রশ্ন: নিচে ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজটি আঁকা সম্ভব নয়? 

সমাধান: 
 ত্রিভুজের যে কোনো দুটি বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর
∴ ২ + ৩ = ৫
অর্থ্যাৎ ২, ৩ ও ৫ সে.মি দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব না।

প্রশ্ন: x = siny হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
sinθ  এর সর্বোচ্চ মান 1
∴ x = 1

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ∠QPR = 41° হলে, ∠QOR কোণের মান কত?
 

সমাধান:
আমরা জানি,
একই চাপের ওপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
চিত্রটিতে, কেন্দ্রস্থ কোণ ∠QOR, বৃত্তস্থ কোণ ∠QPR = 41°

∴∠QOR = (2 × 41°) = 82°

প্রশ্ন: একটি রম্বসের দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 40 সে.মি. ও 60 সে.মি. হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গসে.মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের একটি কর্ণ 40 সে.মি.
রম্বসের অপর কর্ণ 60 সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= 1/2 × 40 × 60
= 1200 বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান: 
আমরা জানি,
tanθ = 1/cotθ 
cotθ = 1/tanθ
tanθ = sinθ/cosθ
cotθ = cosθ/sinθ

প্রশ্ন: ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 ও  8 সে.মি এবং এর ক্ষেত্রফল 40 বর্গ সে.মি হলে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব

তাহলে,
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (২ × ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল)/সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি
= (2 × 40)/(12 + 8)
= 80/20
= 4 সে.মি.

প্রশ্ন: PQR ত্রিভুজের QR বাহুকে S পর্যন্ত বাড়ানো হলো। ∠PRS = 115° হলে, ∠QPR + ∠PQR =?

সমাধান:

ত্রিভুজ PQR এ  QR বাহুকে S পর্যন্ত বাড়ানো হলো। উৎপন্ন কোণ ∠PRS = 115°

বহি:স্থ ∠PRS = ∠QPR + ∠PQR
= 115°

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি -

সমাধান:
বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র।
কারণ বৃত্তের ভেতর সামান্তরিক আকলে এর বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ হয়ে যায়।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ২√২ ফুট হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a = ২√২ ফুট
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য  = √২ × ২√২ ফুট
= ৪ ফুট 

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ সংলগ্ন কোণ দুটির প্রত্যেকটি -

সমাধান:
৯০ ডিগ্রি এর চেয়ে ছোটো কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অন্য দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০ ডিগ্রী অর্থাৎ, এরা সূক্ষ্মকোণ।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ৯৬ সে.মি.। বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৪ : ৫ : ৭ হলে, সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৪ক সে.মি., ৫ক সে.মি. এবং ৭ক সে.মি.

শর্তমতে,
৪ক + ৫ক + ৭ক = ৯৬
বা, ১৬ক = ৯৬
∴ ক = ৬

সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য = (৪ × ৬) সে.মি.
= ২৪ সে.মি.