প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: নিচের কোন কোণের জন্য sinθ = cosθ হবে?

সমাধান:
sin45° = 1/√2
cos45° = 1/√2

∴ 45° কোণের জন্য sinθ = cosθ হবে।

প্রশ্ন: কোন শর্তের জন্য cos²θ + sin²θ = 1 হয়?

সমাধান:
cos²θ + sin²θ = 1 সমীকরণটি যে কোনো θ এর জন্য সত্য।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৮ মিটার এবং দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান: 
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ  = ৮
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১৫

আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(৮^২ + ১৫^২)
= √(৬৪ + ২২৫)
= √২৮৯
= ১৭

প্রশ্ন: tanθ নিচের কোনটির সমান?

সমাধান:
sinθ/cosθ = tanθ
cosθ/sinθ = cotθ
1/sinθ = cosecθ
1/cosθ = secθ

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ট্যাংকের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার, প্রস্থ ৫ মিটার, এবং গভীরতা ৪ মিটার হলে, তার ধারণক্ষমতা কত?

সমাধান:
আয়তাকার ট্যাংকের ধারণক্ষমতা বলতে তার আয়তনকে বুঝানো হয়েছে।

আয়তাকার ট্যাংকের আয়তন = ১০ × ৫ × ৪ ঘনমিটার 
= ২০০ ঘনমিটার 

প্রশ্ন: যদি sinA = 3/5, তাহলে cosA = কত?

সমাধান:
cosA = √(1 - sin²A)
= √{1 - (3/5)²}
= √(1 - 9/25)
= √{(25 - 9)/25}
= √(16/25)
= 4/5

প্রশ্ন: একটি কোণকের উচ্চতা ১০ সে.মি. এবং ভূমির ব্যাস ৬ সে.মি. হলে, তার আয়তন কত?

সমাধান:
ধরি,
কোণকের ব্যাসার্ধ, r = ৬/২ = ৩ সে.মি.
কোণকের উচ্চতা, h = ১০ সে.মি. 

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন = (১/৩)πr²h.
= (১/৩) × (২২/৭) × ৩^২ × ১০
= ৯৪.২ ঘনমিটার

প্রশ্ন: যদি sin⁡x + cos⁡x = 1 হয়, তবে sin⁡2x এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sin2x = 2sinx.cosx

দেওয়া আছে,
sin⁡x + cos⁡x = 1
বা, (sin⁡x + cos⁡x)² = 1²
বা, sin²x + cos²x + 2sinx.cosx = 1
বা, 1 + 2sinx.cosx = 1
বা, 2sinx.cosx = 0
∴ sin2x = 0

প্রশ্ন: একটি ঘনকের ধারের দৈর্ঘ্য ৮ সে.মি. হলে, তার সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ঘনকের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের = ৬ × বাহু^২
= ৬ × ৮^২
= ৬ × ৬৪
= ৩৮৪ বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: tan⁡A + cot⁡A = 2, এই সমীকরণ থেকে sin⁡A এর মান নির্ণয় করুন?

সমাধান:
tan⁡A + cot⁡A = 2
বা, sinA/cosA + cosA/sinA = 2
বা, (sin²A + cos²A)/(sinA.cosA) = 2
বা, 1 = 2sinA.cosA
বা, sin2A = 1
বা, sin2A = sin90°
বা, 2A = 90°
∴ A = 45°

∴ sinA = sin45° = 1/√2

প্রশ্ন: একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. হলে, তার পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
গোলকের ব্যাসার্ধ r = 7 সে.মি.

আমরা জানি,
গোলকের পৃষ্ঠের  ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক
= 4 × (22/7) × 7² বর্গ সে.মি.
= 616 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: যদি A + B + C = 180° হয়, তবে sin⁡(A + B) এর মান কী হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A + B + C = 180°
∴ A + B = 180° - C

sin⁡(A + B) = sin(180° - C)
= sinC

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 21 সে.মি. হলে, তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 21 সে.মি.

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= (22/7) × 21²
= 1386

প্রশ্ন: একটি ভবনের পাদদেশ থেকে 75 মিটার দূরে ভূতলস্থ কোনো বিন্দুতে ভবনের ছাদের উন্নতি কোণ 30° হলে, ভবনের উচ্চতা নির্ণয় করুন।

সমাধান:

মনে করি,
ভবনের উচ্চতা AB = h মিটার,
ভবনের পাদদেশ থেকে BC = 75 মিটার দূরে ভূতলম্ব C বিন্দুতে ভবনের ছাদের A বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 30°
এখন 
tan∠ACB = AB/BC
বা, tan30° =h/75
বা,1/√3 = h/75
বা, h = 75/√3
বা, h = (75 ×√3)/(√3 ×√3)
বা, h = (75 ×√3)/3
বা, h = 25√3 

ভবনের উচ্চতা 25√3 = 43.30 মিটার

প্রশ্ন: কোন বর্গের ক্ষেত্রফল ২৮৯ বর্গমিটার হলে, এর পরিসীমা কত?

সমাধান: 
বর্গের ক্ষেত্রফল ২৮৯ বর্গমিটার
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a = √২৮৯ = ১৭ মিটার 
বর্গের পরিসীমা = ৪a মিটার 
= (৪ × ১৭) মিটার 
= ৬৮ মিটার

প্রশ্ন: tan^{- 1}(1) এর মান কী?

সমাধান:
ধরি,
x = tan^{- 1}(1)
বা, tanx = 1
বা, tanx = tan45°
বা, x = 45°
∴ tan^{- 1}(1) = 45°

প্রশ্ন: সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 5 সে.মি. এবং উচ্চতা 12 সে.মি. হলে সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান: 
সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ r = 5 সে.মি.
সিলিন্ডারের ভূমির উচ্চতা h = 12 সে.মি.

সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh 
=  2 × π × 5 × 12
= 120π

প্রশ্ন: একটি সিঁড়ি একটি দেওয়ালে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে, মেঝে থেকে দেওয়ালের উচ্চতা 8 মিটার এবং সিঁড়ির সাথে মেঝের উৎপন্ন কোণ 60°। সিঁড়িটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

দেওয়ালের উচ্চতা h = 8 মিটার
সিঁড়ির সাথে মেঝের উৎপন্ন কোণ θ = 60°
সিঁড়ির দৈর্ঘ্য = x মিটার

sinθ = h/x
বা, sin60° = 8/x
বা, √3/2 = 8/x
বা, x = 16/√3
∴ x = 9.24

প্রশ্ন: 1° সমান কত রেডিয়ান?

সমাধান:
রেডিয়ান:
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে।

আমরা জানি,
180° = π রেডিয়ান
∴ 1° = π/180 রেডিয়ান

প্রশ্ন: ১ ইঞ্চি = কত সেন্টিমিটার?

সমাধান:
১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সেন্টিমিটার
১ মিটার = ৩৯.৩৭ ইঞ্চি
১ মিটার = ১০০ সেন্টিমিটার

প্রশ্ন: tanθ = a/b হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
tanθ = a/b হলে

 
cosecθ = অতিভুজ/ লম্ব
= √(a² + b²)/a

প্রশ্ন: নিচের কোনটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র?

সমাধান:
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র = {(1/2)(a + b) h}

এখানে,
- a এবং b হচ্ছে দুটি সমান্তরাল বাহু 
- h হচ্ছে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব।

∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র = (১/২)(সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব)