১৯তম জুডিসিয়াল সার্ভিস (BJS) প্রস্তুতি

প্রশ্ন: x + y = 5, x² + y² = 13 হলে, x³ + y³ -এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 5
x² + y² = 13

এখানে,
x² + y² = 13
⇒ (x + y)² - 2xy = 13
⇒ 5² - 2xy = 13
⇒ 2xy = 25 - 13
⇒ 2xy = 12
⇒ xy = 12/2
∴ xy = 6

∴ x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy (x + y)
= (5)³ - 3 × 6 × 5
= 125 - 90
= 35

প্রশ্ন: a + b + c = 6 এবং a²+ b²+ c² = 14 , ab + bc + ca = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 6 
a² + b²+ c² = 14

আমরা জানি, 
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
বা, 6² = 14 + 2(ab + bc + ca)
বা, 36 = 14 + 2(ab + bc + ca)
বা, 2(ab + bc + ca) = 36 - 14
বা, 2(ab + bc + ca) = 22
বা, ab + bc + ca = 22/2
∴ ab + bc + ca = 11

প্রশ্ন: 49a² + 42a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:

49a² + 42a

= 49a² + 42a + 9 - 9

= (7a)² + 2 ×(7a) × (3)+ (3)² - 9

= (7a + 3)² - 9

সুতরাং, 49a² + 42a এর সাথে 9 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: যদি a = x² + z² , b = y² + z² , c = x² + y² হয়, তবে  a + b - c এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = x² + z²
b = y² + z²
c = x² + y²

∴ a + b - c = x² + z² + y² + z² - (x² + y²)
= x² + z² + y² + z² - x² - y²
= 2z²

প্রশ্ন: যদি x = 5a + 7b + 9c,  y = b - 3a - 4c,  z = c - 2b + a হয়, তবে  (x + y + z) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 5a + 7b + 9c
y = b - 3a - 4c
z = c - 2b + a

∴  x + y + z = 5a + 7b + 9c + b - 3a - 4c + c - 2b + a
= 3a + 6b + 6c
= 3(a + 2b + 2c)

প্রশ্ন: p = 7a + 5b + 6c, q = 3a - b + 9c এবং r = - 3c + 6b + 4a হলে,  2p - 3q + 5r মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p = 7a + 5b + 6c
q = 3a - b + 9c
এবং r = - 3c + 6b + 4a

∴ 2p - 3q + 5r = 2(7a + 5b + 6c) - 3(3a - b + 9c) + 5(- 3c + 6b + 4a)
= 14a + 10b + 12c - 9a + 3b - 27c + 20a + 30b - 15c
= 25a + 43b - 30c

প্রশ্ন: x - y = 2 এবং xy = 15 হলে, (x²  + y²) (x³ - y³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 2
এবং xy = 15

১ম রাশি = x² + y²
= (x - y)² + 2xy
= 2² + 2 × 15
= 4 + 30
= 34 

২য় রাশি =  x³ - y³
= (x - y)³ + 3xy(x - y)
= (2)³ + 3 × 15 × 2
= 8 + 90
= 98 

∴ (x²  + y²) (x³  - y³)
= 34 × 98
= 3332 

প্রশ্ন: যদি x + y = m, x - y = n হয়, তাহলে 2xy = কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে
x + y = m
x - y = n

আমরা জানি
4xy = (x + y)² - (x - y)²
⇒ 4xy = m² - n²
⇒ 4xy/2 = (m² - n²)/2
⇒ 2xy = (m² - n²)/2

প্রশ্ন: (√5 + 1)y + 4 = 4√5 হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
(√5 + 1)y + 4 = 4√5
⇒ (√5 + 1)y = 4√5 - 4
⇒ (√5 + 1)y = 4(√5 - 1)
⇒ y = {4(√5 - 1)}/(√5 + 1)
⇒ y = {4(√5 - 1) (√5 - 1)}/{(√5 + 1) (√5 - 1)}
⇒ y = 4{(√5)² - 2√5 + 1}/{(√5)² - 1}
⇒ y = {4(6 - 2√5)}/4
∴ y = 6 - 2√5

প্রশ্ন: p² + 12p + 36 কে (p + 3) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:

ধরি,
f(p) = p² + 12p + 36

∴ f(- 3) = (- 3)² + 12(- 3) + 36
= 9 - 36 + 36
= 9

∴ ভাগশেষ 9 হবে।

প্রশ্ন: যদি x + (1/9x) = 2 হয়, তবে 27x³ + (1/27x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/9x) = 2
বা, 3x + (3/9x) = 6  [উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে]
বা, 3x + (1/3x) = 6
বা, {3x + (1/3x)}³ = 6³
বা, (3x)³ + (1/3x)³ + 3 × 3x × (1/3x) {3x + (1/3x)} = 216
বা, 27x³ + (1/27x³) + 3 × 6 = 216
বা, 27x³ + (1/27x³) + 18 = 216
বা, 27x³ + (1/27x³) = 216 - 18
∴ 27x³ + (1/27x³) = 198

প্রশ্ন: x² - 4x + 3 এবং x² - 5x + 6 এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:

১ম রাশি = x² - 4x + 3
= x² - 3x - x + 3
= x(x - 3) - 1(x - 3)
= (x - 3)(x - 1)

২য় রশি = x² - 5x + 6
= x² - 2x - 3x + 6
= x(x - 2) - 3(x - 2)
= (x - 2)(x - 3)

নির্ণেয় ল.সা.গু = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

প্রশ্ন: যদি a + b = √5 এবং a − b = √3 হয়, তাহলে  a² + b² -এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
a + b = √5
a - b = √3

প্রদত্ত রাশি: a² + b²

আমরা জানি,
2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²
বা, 2(a² + b²) = (√5)² + (√3)² [মান বসিয়ে]
বা, 2(a² + b²) = 5 + 3
বা, 2(a² + b²) = 8
বা, a² + b² = 8/2
বা, a² + b² = 4

প্রশ্ন: x² - √7x + 1 = 0 হলে, x⁶ + (1/x)⁶ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
x² - √7x + 1 = 0
⇒ x - √7 + 1/x = 0 [x দ্বারা উভয় পক্ষকে ভাগ করে]
⇒ x + 1/x = √7

∴ (x⁶ + (1/x)⁶
= (x³)² + (1/x³)²
= {x³ + (1/x³)}² - 2.x³.1/x³
= {(x + (1/x)³ - 3. x .1/x (x + 1/x)}² - 2
= {(√7)³ - 3.√7}² - 2
= (7√7 - 3√7)² -2
= (4√7)² - 2
= 112 - 2
= 110

প্রশ্ন: x² - 3x, x² - 9, x² - 4x + 3 এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:

১ম রাশি = x² - 3x
= x(x - 3)

২য় রাশি = x² - 9
= x² - 3²
= (x + 3)(x - 3)
               
৩য় রাশি = x² - 4x + 3
= x² - 3x - x + 3
= x(x - 3) - 1(x - 3)
= (x - 3)(x - 1)

নির্ণেয় ল.সা.গু = x(x - 3)(x - 1)(x + 3)
= x(x² - 9) (x - 1)

প্রশ্ন: যদি a + b = 3 এবং ab = 2 হয়, তবে a³+ b³ + 4(a - b)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 a + b = 3
 এবং ab = 2

∴ প্রদত্ত রাশি = a³ + b³ + 4(a - b)²
= (a + b)³ - 3ab (a + b) + 4{(a + b)² - 4ab}
= (3)³ – 3 × 3 × 2 + 4 (3² - 4.2) [মান বসিয়ে]
=27 - 18 + 4(9 - 8)
= 27 - 18 + 4 × 1
= 27 - 18 + 4
= 13 

:. নির্ণেয় মান 13

প্রশ্ন: A = x² - xy + y² , B = x² + xy + y² হলে, AB এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = x² - xy + y²
B = x² + xy + y²

∴ AB = (x² - xy + y²) × (x² + xy + y²)
= (x² + y² - xy)(x² + y² + xy)
= (x² + y²)² - (xy)²
=(x²)² + 2x²y² + (y²)² - x²y²
= x⁴ + 2x²y² + y⁴ - x²y²
= x⁴ + x²y² + y⁴ 

প্রশ্ন: P = x² - 8abx + 15a²b²,  Q = x - 3ab হলে, (P ÷ Q) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = x² - 8abx + 15a²b²
Q = x - 3ab

∴ (P ÷ Q) = (x² - 8abx + 15a²b²) ÷ (x - 3ab)
= (x² - 3abx - 5abx + 15a²b²) ÷ (x - 3ab)
= {x(x - 3ab) - 5ab(x - 3ab)} ÷ (x - 3ab)
= (x - 3ab)(x - 5ab) ÷ (x - 3ab)
= (x - 3ab)(x - 5ab) × 1/(x - 3ab)
= (x - 5ab)

প্রশ্ন: P = x² - 9, Q = x² + 7x + 12, R = 3x + 9 হলে, P, Q ও R এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = x² - 9
Q = x² + 7x + 12
R = 3x + 9

∴ P = x² - 9
= x² - 3²
= (x + 3) (x - 3)

∴ Q = x² + 7x + 12
= x² + 4x + 3x + 12
= x(x + 4) + 3(x + 4)
= (x + 4) (x + 3)

∴ R = 3x + 9
= 3(x + 3)

∴ P, Q ও R এর গ.সা.গু = (x + 3)

প্রশ্ন: x = 1 + √5 হলে, x³ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 x = 1 + √5

∴ x³ = (1 + √5)³
= 1³ + 3 × 1² ×√5 + 3 ×1 × (√5)² + (√5)³
= 1 + 3√5 + 3 × 5 + 5√5
= 16 + 8√5 

প্রশ্ন: p√3 + p√3 এর বর্গ কত?

সমাধান:

p√3 + p√3
= 2p√3

এখন বর্গ করে পাই-
= (2p√3)²
= (2√3p)²
= 12p²
∴ p√3 + p√3 এর বর্গ =  12p²

প্রশ্ন: যদি 4a² + (1/a)² = 4 হয়, তবে 8a³ + (1/a)³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে ,
4a² + (1/a)² = 4
⇒ (2a)² + (1/a)² = 4
⇒ {2a + (1/a)}² - 2 × 2a  × (1/a) = 4
⇒ {2a + (1/a)}² = 4 + 4
⇒ {2a + (1/a)}² = 8
 ∴ 2a + (1/a) =√8 = 2√2

এখন, 
8a³ + (1/a)³
= (2a)³ + (1/a)³
= {2a + (1/a)}³- 3 × 2a × (1/a) {2a + (1/a)}
= (2√2)³ - 6 × 2√2
= 16√2 - 12√2
= 4√2

প্রশ্ন: x² - 8x + 15,  x² - 25, x² + 2x - 15 এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
১ম রাশি = x² - 8x + 15
= x² - 8x + 15
= x² - 3x - 5x + 15
= x(x - 3) - 5(x - 3)
= (x - 3) (x - 5)

২য় রাশি = x² - 25
= x² - 5²
= (x - 5) (x + 5)

৩য় রাশি = x² + 2x - 15
= x² + 5x - 3x - 15
= x(x + 5) - 3(x + 5)
= (x + 5) (x - 3)

নির্ণেয় গ.সা.গু = 1

প্রশ্ন: x² - 2x + 1 = 0 হলে, (x⁴ + 2x² + 1)/x² এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:

x² - 2x + 1 = 0  
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ x - 1 = 0
⇒ x = 1 

 এখন,
(x⁴ + 2x² + 1)/x²
 = (1⁴ + 2 × 1² + 1)/1²
= (1 + 2 + 1)/1
= 4

প্রশ্ন: 2a + (2/a) = 12 হলে, a² + (1/a²) এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
2a + (2/a) = 12
বা, 2{a + (1/a)} = 12
বা, a + (1/a) = 12/2
∴ a + (1/a) = 6

এখন,
 a² + (1/a²)
= {a + (1/a)}² - {2 × a × (1/a)}
= 6² - 2
= 36 - 2
= 34

প্রশ্ন: x² + y² + z² = 29, xy + yz + zx = 26 হলে, (x + 2y)² + (y + 2z)² + (z + 2x)² এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
x² + y² + z² = 29
এবং xy + yz + zx = 26

প্রদত্ত রাশি = (x + 2y)² + (y + 2z)² + (z + 2x)²
= x² + 2x × 2y + (2y)² + y² + 2y × 2z + (2z)² + z²+ 2z × 2x + (2x)²
= x²  + 4xy + 4y² + y²  + 4yz + 4z² + z²  + 4xz + 4x²
= 5x² + 5y² + 5z² + 4xy + 4yz + 4xz
= 5(x²  + y²  + z² ) + 4(xy + yz + zx)
= (5 × 29) + (4 × 26)
= 145 + 104
= 249

প্রশ্ন: যদি x = a + b, y = b + c, z = c + a হয়, তবে (x - y + z) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = a + b
y = b + c
z = c + a

∴ (x - y + z) = (a + b) - (b + c) + (c + a)
= a + b - b - c + c + a
= 2a

প্রশ্ন: x = 3 হলে, 9x² - 24x + 16 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 x = 3 

প্রদত্ত রাশি = 9x² - 24x + 16
= 9. (3)² - 24 × 3 + 16
= 81 - 72 + 16
= 9 + 16
= 25

প্রশ্ন: A = x³ - 3x² - 10x, B = x³ + 6x² + 8x হলে, A ও B এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

∴ A = x³ - 3x² - 10x
= x(x² - 3x - 10)
= x(x² - 5x + 2x - 10)
= x{x(x - 5) + 2(x - 5)}
= x(x + 2)(x - 5)

∴ B = x³ + 6x² + 8x
= x(x² + 6x + 8)
= x(x² + 4x + 2x + 8)
= x{x(x + 4) + 2(x + 4)}
= x(x + 2)(x + 4)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = x(x + 2)

প্রশ্ন: x + y = 4; xy = 3 হলে, x⁵ + y⁵ এর মান কত?

সমাধান:

x + y = 4
⇒ (x + y)² = 4²
⇒ (x - y)² + 4xy = 16
⇒ (x - y)² + 4 × 3 = 16
⇒ (x - y)² = 16 - 12
⇒ (x - y)²= 4
⇒ (x - y) = √4
∴ (x - y) = 2

এখন,
x + y = 4 ................ (1)
x - y = 2 ....................... (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
x + y + x - y = 4 + 2
⇒ 2x = 6
⇒ x = 6/2
∴ x = 3
x এর মান (1) সমীকরণে বসিয়ে পাই,
3 + y = 4
⇒ y = 4 - 3
∴ y = 1

এখন,
x⁵ + y⁵
= (3)⁵ + (1)⁵
= 243 +1
= 244