Math Master

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত 1 : 3 : 3 : 5 হলে, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
কোণগুলো যথাক্রমে a, 3a, 3a, 5a

আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = 360°
বা, a + 3a + 3a + 5a = 360°
বা, 12a = 360°
বা, a = 360°/12
∴ a = 30°

∴ বৃহত্তম কোণের পরিমাণ = 5 × 30° = 150°

প্রশ্ন: কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের একটি ৭০ ডিগ্রি হলে অপর কোণটি কত ডিগ্রি হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি = ১৮০ ডিগ্রি

দেওয়া আছে,
একটি কোণ = ৭০ ডিগ্রি

∴ অপর কোণটি = ১৮০ - ৭০ = ১১০ ডিগ্রি

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ৪√২ হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √২ × বাহু

প্রশ্নমতে,
√২ × বাহু = ৪√২
বা, বাহু = ৪√২/√২ = ৪

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৪^২ = ১৬ বর্গ একক

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৩২০ বর্গমিটার এবং দৈর্ঘ্য ২০ মিটার। বাগানের পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
বা, ৩২০ = ২০ × প্রস্থ
বা, প্রস্থ = ৩২০/২০
∴ প্রস্থ = ১৬ মিটার

এখন,
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(২০ + ১৬)
= ৭২ মিটার

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 17 মিটার ও 11 মিটার এবং তাদের উচ্চতা 4 মিটার। ঐ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের যোগফল) × উচ্চতা
= (1/2) × (17 + 11) × 4
=  (1/2) × 28 × 4
= 56 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪০০ মিটার। এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ কি.মি.?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = ক মিটার
তাহলে, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ক মিটার

প্রশ্নমতে,
৪ক = ৪০০
∴ ক = ১০০ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ক^২ বর্গমিটার
= ১০০^২ বর্গমিটার
= ১০০০০ বর্গমিটার
= ১০০০০/১০০০০০০ বর্গ কি.মি.
= ০.০১ বর্গ কি.মি.

প্রশ্ন: AOB একটি সরলরেখা, যার ∠AOC = (2p + 48)° এবং ∠BOC = (3p - 8)° হলে, p এর মান কত?

সমাধান:

এখানে,
∠AOC + ∠BOC = 180° [যেহেতু, এক সরলকোণ = ১৮০°]
⇒ 2p° + 48° + 3p° - 8° = 180°
⇒ 5p° = 180° - 40°
∴ p° = 140°/5 = 28°

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি জমির দৈর্ঘ্য 25% বৃদ্ধি পেলে, ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত রাখতে প্রস্থ হ্রাস করতে হবে-

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = 100 মিটার
প্রস্থ = 100 মিটার
তাহলে, ক্ষেত্রফল = 100 × 100 = 10000 বর্গমিটার

25% বৃদ্বিতে, নতুন দৈর্ঘ্য = 100 + 25 = 125 মিটার
আবার ধরি, নতুন প্রস্থ = a মিটার

প্রশ্নমতে,
125a = 10000
⇒ a = 10000/125
∴ a = 80 মিটার

∴ প্রস্থ হ্রাস করতে হবে = 100 - 80 = 20 মিটার বা 20%

প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি বাগানের ক্ষেত্রফল ১ হেক্টর। বাগানটির পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
বাগানটির এক পাশের দৈর্ঘ্য = √(১০০০০)
= ১০০ মিটার

∴ বাগানটির পরিসীমা = ৪ × এক পাশের দৈর্ঘ্য
= ৪ × ১০০
= ৪০০ মিটার

প্রশ্ন: একটি সামন্তরিকের উচ্চতা ভূমির দ্বিগুণ এবং ক্ষেত্রফল ১২৮ বর্গমিটার। ক্ষেত্রটির ভূমি ও উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
সামন্তরিকের ভূমি = ক মিটার
তাহলে, সামন্তরিকের উচ্চতা = ২ক মিটার

∴ সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ক × ২ক
= ২ক^২ বর্গমিটার

শর্তমতে,
২ক^২ = ১২৮
বা, ক^২ = ১২৮/২
বা, ক^২ = ৬৪
∴ ক = ৮

∴ ভূমি = ৮ মিটার
∴ উচ্চতা = ২ × ৮ = ১৬ মিটার

প্রশ্ন: বৃত্তঃস্থ ABCD চতুর্ভুজের ∠A = ৮৫° হলে, ∠C = ?

সমাধান:

বৃত্তঃস্থ চতুর্ভূজের ক্ষেত্রে,
∠A + ∠C = ১৮০°
∴ ∠C = ১৮০° - ৮৫°
বা, ∠C = ৯৫°

প্রশ্ন: দুইটি বিন্দু দিয়ে কয়টি সরলরেখা আঁকা যায়?

সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত পাঁচটি স্বীকার্য হলো:
স্বীকার্য-১: দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
স্বীকার্য-২: যেকোনো সরল রেখাংশের প্রান্তদ্বয়কে উভয়দিকে
যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করা যায়।
স্বীকার্য-৩: যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ
নিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
স্বীকার্য-৪: সকল সমকোণ পরস্পর সমান।
স্বীকার্য-৫: একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম, সেদিকে মিলিত হয়।

উৎস: গণিত, এস এস সি প্রোগ্রাম, বাংলাদেশ উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ৪ মিটার বেশি। ঘরটির পরিসীমা ৩২ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = ক মিটার
তাহলে, দৈর্ঘ্য = (ক + ৪) মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = ক(ক + ৪) বর্গমিটার

দেওয়া আছে,
পরিসীমা = ৩২ মিটার
বা, ২{(ক + ৪) + ক} = ৩২
বা, ২(২ক + ৪) = ৩২
বা, ৪ক + ৮ = ৩২
বা, ৪ক = ৩২ - ৮
বা, ক = ২৪/৪
∴ ক = ৬

∴ ক্ষেত্রফল = ৬(৬ + ৪) = ৬০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 2 : 3 এবং ক্ষেত্রফল 75 বর্গসেমি হলে, কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = 2 : 3
ধরি, কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 2a এবং 3a

প্রশ্নমতে,
(1/2) × 2a × 3a = 75
⇒ 6a²/2 = 75
⇒ 3a² = 75
⇒ a² = 75/3
⇒ a² = 25
∴ a = 5

∴ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য  (2 × 5) = 10 সেমি এবং (3 × 5) = 15 সেমি।