৫১তম বিসিএস ফাইনাল মডেল টেস্ট ও রিভিশন

a = 3,
b = 1 হলে
a + b,
a² + b²,
ab + 1 জোড় সংখ্যা
এবং a²b² বিজোড় সংখ্যা 

মনেকরি,
ক্রমিক সংখ্যাদ্বয় x, x + 1
∴ (x + 1)² - x² = 999
বা, x² + 2x + 1 - x² = 999
বা, 2x = 999 - 1
বা, 2x = 998
বা, x = 499
∴ x + 1 = 499 + 1 = 500
যা নির্ণেয় বড় সংখ্যাটি।

এখানে,
৫|৫, ৮, ২০
  ৪|১, ৮, ৪
     ১, ২, ১
∴ ল.সা.গু. = ৫ × ৪ × ১ × ২ × ১ = ৪০
∴ চকোলেট সংখ্যা = ৪০ + ৩
= ৪৩ টি

মনেকরি,
সংখ্যাদ্বয় ২a, ৩a
∴ ল.সা.গু. = ৬a
প্রশ্নমতে,
   ৬a = ৫৪
∴ a = ৯
∴ অন্তর = ৩a - ২a
= a
= ৯

মনেকরি,
সংখ্যাটি a,
∴ a এর ২০% = ৩/৫
বা, ২০a/১০০ = ৩/৫
বা, a = (৩ × ১০০)/(৫ × ২০)
= ৩

এখানে, r = ৪% = ৪/১০০,
p = ৫০০০,
I = ৮০০,
n = ?
এখন,
I = pnr
বা, n = I/pr
= (৮০০ × ১০০)/(৫০০০ × ৪)
= ৪ বছর

p = ৮০০০০০,
r = ৫% = ৫/১০০,
n = ২
∴ ২ বছর পরে জনসংখ্যা হবে c = p(১ + p)ⁿ
= ৮০০০০০ × (১ + ৫/১০০)^২
= ৮০০০০০ × ১০৫/১০০ × ১০৫/১০০
= ৮,৮২,০০০ জন

সংখ্যা ২টি ৩x, ৮x
∴ (৩x + ২)/(৮x + ২) = ২/৫
বা, ১৬x + ৪ = ১৫x + ১০
বা, ১৬x - ১৫x = ১০ - ৪
∴ x = ৬
∴ বড় সংখ্যাটি = ৮x
= ৮ × ৬
= ৪৮

মনেকরি,
৪টি লিচুর ক্রয়মূল্য = a টাকা
∴ ১টি লিচুর ক্রয়মূল্য = a/৪ টাকা
আবার,
৫টি লিচুর বিক্রয়মূল্য = a টাকা
∴ ১টি লিচুর বিক্রয়মূল্য = a/৫ টাকা
∴ ক্ষতি = a/৪ - a/৫
= (৫a - ৪a)/২০
= a/২০
∴ ক্ষতির হার = (a × ৪ × ১০০)/(২০ × a)
= ২০%

ধরি, বাজার দর = ১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য = ১০০ × ৮০%
= ৮০টাকা
∴ লাভ = ১০০ টাকা - ৮০ টাকা
= ২০ টাকা
∴ লাভের হার = (২০ × ১০০)/৮০
= ২৫ টাকা

 x² + y² = 50
বা, (x + y)² - 2xy = 50
বা, 8² - 2xy = 50
64 - 50 = 2xy
বা, 2xy = 14
∴ xy = 7

x = √3 + √2 হলে
1/x = √3 - √2
∴ x + 1/x = 2√3
x - 1/x = 2√2
∴ x² - 1/x² = (x + 1/x)(x - 1/x)
= 2√3.2√2
= 4√6

a + a^-1 = 2
বা, a + 1/a = 2
বা, a² + 1 = 2a
বা, a² - a + 1 = a
বা, 1/(a² - a + 1) = 1/a
বা, 2a/(a² - a + 1) = 2a/a
∴ 2a/(a² - a + 1) = 2

x² - x - 72
= x² - 9x + 8x - 72
= x(x - 9) + 8(x - 9)
= (x - 9)(x + 8)

f(x) = ax² + 3x - a,
∴ 2x - 1,
f(x) এর একটি উৎপাদক
∴ f(1/2) = 0
বা, a(1/2)² + 3.1/2 - a = 0
বা, a/4 + 3/2 - a = 0
বা, a + 6 - 4a = 0
বা, -3a = -6
∴ a = 2

সমীকরণের নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (-1)² - 4.1.(-6)
= 1 + 24
= 25 > 0
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
b2 - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
b2 - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
b2 - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
b2 - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

3/(y - 1) = 4/(y + 2)
বা, 4y - 4 = 3y + 6
4y - 3y = 6 + 4
∴ y = 10

x² - x - 6 ≤ 0
বা, x² - 3x + 2x - 6 ≤ 0
বা, x(x - 3) + 2(x - 3) ≤ 0
বা, (x - 3)(x + 2) ≤ 0



চিত্র থেকে পাই সমাধান সেট -2 ≤ x ≤ 3

ধরি,
x = -5,
y = -2
∴ x² - y² = 25 - 4
= 21
এবং y² - x² = -21
x + y = -7,
x - y = -3
∴ x² - y² বৃহত্তম

log_x(1/16) = -4
বা, x^-4 = 1/16
বা, 1/x⁴ = 1/16
বা, x⁴ = 16
বা, x⁴ = 2⁴
∴ x = 2

log_√5625 = log_√5(√5)⁸
= 8log_√5√5
= 8.1
= 8

log_3√21/324 = log_3√21/(3√2)⁴
= log_3√2(3√2)^-4
= -4log_3√23√2
= -4.1
= -4

(81)^{x - 1} = 3^{3x + 1}
বা, (3⁴)^{x - 1} = 3^{3x + 1}
বা, 3^{4x - 4} = 3^{3x + 1}
4x - 4 = 3x + 1
4x - 3x = 1 + 4
∴ x = 5

(3.2ⁿ - 4.2^{n - 2})/(2ⁿ - 2^{n + 1})
= (3.2ⁿ - 2².2ⁿ.2^-2)/(2ⁿ - 2ⁿ.2)
= {2ⁿ(3 - 2^{2 - 2})}/{2ⁿ(1 - 2)}
= (3 - 2⁰)/-1
= -(3 - 1)
= -2

১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর - d
∴ ৭ম পদ = a + ৬d = ৬০ ...... (১)
১২তম পদ = a + ১১d = ১০৫ ... (২)
২নং - ১নং হতে পাই,
৫d = ৪৫
∴ d = ৯
১নং থেকে পাই,
a + ৬.৯ = ৬০
বা, a = ৬০ - ৫৪
∴ a = ৬

১ম পদ, a = ১
সাধারণ অন্তর, d = ৩
nতম পদ = a + (n - ১)d = ৭৬
বা, ১ + (n - ১).৩ = ৭৬
বা, ৩(n - ১) = ৭৫
বা, n - ১ = ২৫
∴ n = ২৬
∴ সমষ্টি = (২৬/২){২ × ১ + (২৬ - ১)৩}
= ১৩(২ + ৭৫)
= ১০০১

১^২ + ২^২ + ৩^২ + ...... + ২৪^২ = {২৪(২৪ + ১)(২.২৪ + ১)}/৬
= (২৪ × ২৫ × ৪৯)/৬
= ৪ × ২৫ × ৪৯
= ৪৯০০

ধরি,
১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
∴ ২য় পদ = ar^2-1 = ar = -48 ...... (1)
৫ম পদ = ar⁴ = 3/4 ...... (2)
২নং ÷ ১নং হতে পাই,
r³ = 3/4 × (-1/48) = (-1/64)
r³ = {-(1/4)}³
∴ r = -(1/4)

১ম পদ, a = ১/৫
সাধারণ অনুপাত, r = ১/২৫ × ৫/১ = ১/৫
∴ অনন্ত ধারাটির সমষ্টি = a/(১ - r)
= (১/৫)/{১ - (১/৫)}
= (১/৫)/(৪/৫)
= ১/৫ × ৫/৪
= ১/৪

মনেকরি,
কোণদ্বয় = 2x, 3x
∴ 2x + 3x = 90°
বা, 5x = 90°
বা, x = 18°
∴ বৃহত্তম কোণটি = 3 × 18°
= 54°
এবং এই কোণটির সম্পূরক কোণ = 180° - 54°
= 126°

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = a,
প্রস্থ = b
∴ পরিসীমা 2(a + b) = 34
বা, a + b = 17 ...... (1)
আবার,
a² + b² = 13²
বা, (a + b)² - 2ab = 169
বা, 17² - 169 = 2ab
বা, 2ab = 289 - 169
বা, ab = 120/2
∴ ab = 60

ধরি, ব্যাসার্ধ = r
∴ 2πr = 176 ...... (1)
πr² = 616 ......... (2)
২নং ÷ ১নং দ্বারা পাই,
πr²/2πr = 616/176
বা, r/2 = 3.5
বা, r = 7
∴ ব্যাস 2r = 14 cm

প্রশ্নে ভুল রয়েছে।
r = 7 হলে বৃত্তের পরিধি 176 বা ক্ষেত্রফল 616 কোনটিই হয় না।
তাই উত্তর বাতিল করা হয়েছে।

ধরি, ব্যাসার্ধদ্বয় r₁, r₂
∴ আয়তনদ্বয়ের অনুপাত,
{(4/3)π(r₁)³}/{(4/3)π(r₂)³} = 27/8
বা, (r₁)³/(r₂)³ = 3³/2³
বা, r₁/r₂ = 3/2
∴ r₁ : r₂ = 3 : 2

ইংরেজিতে অকৃতকার্য হয় = ৩৫%
বাংলায় অকৃতকার্য হয় = ২০%
উভয় বিষয়ে অকৃতকার্য হয় = ১২%
যেকোনো এক বিষয়ে অকৃতকার্য হয় = (৩৫ + ২০ - ১২)%
= ৪৩%
∴ উভয় বিষয়ে কৃতকার্য হয় = (১০০ - ৪৩)%
= ৫৭%

যেহেতু গানিতিক গড় = 4
∴ 6 × 4 = 3 + k + 2 + 8 + m + 3
বা, 24 = k + m + 16
বা, k + m = 8
এখন, k + m = 8 = 1 + 7 = 2 + 6 = 3 + 5 = 4 + 4
k, m, এর মান 1, 7 ধরে পাই,
3, 1, 2, 8, 7, 3 = 1, 2, 3, 3, 7, 8
এখন, মধ্যক = 6/2 তম এবং (6/2 + 1) তম পদের গড়।
∴ মধ্যক = (৩য় পদ + ৪র্থ পদ)/2
= (3 + 3)/2
= 3

নীল মার্বেল সংখ্যা = 6টি
সবুজ মার্বেল সংখ্যা = 7টি
মোট মার্বেল সংখ্যা = (6 + 7) = 13টি
∴ মার্বেল একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা = (⁶C₃ + ⁷C₃)/¹³C₃
= (20 + 35)/286
= 55/286
= 5/26