Math Master

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত 1 : 3 : 3 : 2 হলে, ক্ষুদ্রতম কোণ কোনটি? 

সমাধান: 
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি ৩৬০° 

এখন
x + 3x + 3x + 2x = 360
⇒ 9x = 360
∴ x = 40

ক্ষুদ্রতম কোণের মান 40°

প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের অর্ধেকের সমান। সম্পূরক কোণটির মান কত? 

সমাধান:
দুটি কোণের সমষ্টি ১৮০ হলে, তাদেরকে পরস্পরের সম্পূরক কোণ বলে । 
ধরি একটি কোণ ক 
অপরটি ১৮০ - ক
ক = (১৮০ - ক)/২
⇒২ক = ১৮০ - ক 
⇒৩ ক = ১৮০ 
⇒ ক = ৬০°

সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৬০°
= ১২০°

প্রশ্ন: চিত্রে, ∠x =?


সমাধান: 
এক সরলকোণ = ১৮০°

∠x + 40° = 180°
⇒ ∠x  = 180° - 40°
= 140°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল সমান হলে, এর বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
ধরি, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার 
পরিসীমা 4x মিটার 
ক্ষেত্রফল = x² মিটার 

x² = 4x
⇒ x = 4
অতএব, এক বাহুর দৈর্ঘ্য 4 মিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ২ গুণ। এর পরিসীমা ৬০ মিটার হলে, দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
ধরি, প্রস্থ x মিটার
দৈর্ঘ্য 2x মিটার 

2(x + 2x) = 60
⇒ 3x = 30
∴ x = 10

দৈর্ঘ্য (২ × ১০) মিটার 
= ২০ মিটার

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন?

সমাধান: 
চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়। নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ

উৎস: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি

প্রশ্ন: AB ।। CD, AB = AC এবং ∠BAC = 80° হলে, ∠DCE =?
 
সমাধান: 
∠BAC = 80°

AB = AC
∠ABC = ∠ACB = x

x + x + 80° = 180°
⇒ 2x = 100°
∴ x = 100°/2 = 50°
∠ABC = ∠ACB = 50°

AB ।। CD হলে, ∠ABC ও ∠DCE অনুরুপ কোণ 
∠ABC = ∠DCE = 50°

প্রশ্ন: যে সমকোণী ত্রিভুজে সুক্ষ্মকোণদ্বয়ের অন্তর ২০°, তার ক্ষুদ্রতম কোণ কত ডিগ্রী ? 

সমাধান:
ধরি একটি কোণ ক , অপরটি ক + ২০

ক + ক + ২০ + ৯০ = ১৮০ 

⇒ ২ ক = ৭০ 
⇒ ক = ৩৫° 

অতএব, ক্ষুদ্রতম কোণ ৩৫°

প্রশ্ন: এক সরলরেখার এক চতুর্থাংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল, ঐ সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কতগুণ?

সমাধান: 
ধরি, সরলরেখার দৈর্ঘ্য x মিটার 
সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = x² বর্গমিটার 

সরলরেখার এক-চতুর্থাংশ = x/4 মিটার 
সরলরেখার এক চতুর্থাংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = (x/4)²
= x²/16 বর্গমিটার

∴ এক সরলরেখার এক চতুর্থাংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল, ঐ সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের = x²/16/x² গুণ 
= 1/16 গুণ

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৫ মিটার ও ৮ মিটার হলে, রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্নদ্বয়ের গুণফল 
= ১/২  × ৮ × ৫
= ২০ বর্গমিটার 

প্রশ্ন: x + 10 কোণের সম্পূরক কোণ x + 20 হলে, x এর পূরক কোণ কত? 

সমাধান: 
x + 10 + x + 20 = 180
⇒ 2x  = 150
⇒ x = 75°

দুটি কোণের সমষ্টি 90° হলে, একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে। 

75° কোণের পূরক কোণ = 90° - 75°
= 15°

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি ১০ সে.মি. ও ৪ সে.মি. এবং লম্ব দূরত্ব ৬ সে.মি. হলে, ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × লম্ব দূরত্ব 
= (১/২) × ১৪ × ৬
= ৪২ বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: চিত্রে, x + y এর মান কত? 


সমাধান: 
x + 110° = 180°
⇒ x = 180° - 110°
= 70°

x = z = 70° 

y + z + 55° = 180°
⇒ 70° + y + 55° = 180° 
 ⇒ y + 125° = 180°
∴ y = 180° - 125° 
= 55°

∴ x + y = 70° + 55°
= 125°

প্রশ্ন: একটি ঘনবস্তুর মাত্রা কয়টি? 

সমাধান: 
ঘনবস্তু (Solid) কোনো জাগতিক বস্তু যে স্থান দখল করে থাকে, তা তিন দিকে বিস্তৃত।
- এ তিন দিকের বিস্তার বস্তুটির তিনটি মাত্রা (Three dimension) দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা নির্দেশ করে। সেজন্য প্রত্যেক ত্রিমাত্রিক (three-dimensional) বস্তুকে বলা হয় ঘনবস্তু (Solid)।
-যেমন, একটি ইট বা বাক্সের তিনটি মাত্রা দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা আছে। একটি বল বা গোলকেরও তিনটি মাত্রা আছে। এর তিন মাত্রার অভিন্নতা স্পষ্টভাবে বোঝা না গেলেও একে দৈর্ঘ্য-প্রস্থ-উচ্চতা বিশিষ্ট খণ্ডে বিভক্ত করা যায়। এগুলো ঘনবস্তু ।
উৎস: গণিত, এস এস সি প্রোগ্রাম, বাংলাদেশ উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয় 

প্রশ্ন: ত্রিভুজ ABC তে, ∠A = 90° হলে, ∠B + ∠C =?

সমাধান: 
ত্রিভুজের তিনকোণের সমষ্টি ১৮০°

∠A + ∠B + ∠C = ১৮০°
⇒ ৯০° +  ∠B + ∠C = ১৮০°
⇒ ∠B + ∠C = ১৮০° - ৯০°
∴ ∠B + ∠C = ৯০°