Math Master

প্রশ্ন: অষ্টভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (2n - 4) × 90° 
(যেখানে, n = বহুভুজের বাহুর সংখ্যা)

∴ অষ্টভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = {(2 × 8) - 4} × 90° 
= (16 - 4) × 90°
= 12 × 90°
= 1080° ।

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 5 : 7 হলে বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
১ম বৃত্তের  ব্যাসার্ধ = 5r 
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 7r 
∴ ১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π (5r)² = 25πr² 
২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π (7r)² = 49πr² 

∴ ১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল/২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 25πr²/49πr²
= 25/49

∴ ১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল : ২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 25 : 49 ।

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণকে কী বলা হয়?  

সমাধান: 
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস ধরে বৃত্ত অঙ্কন করলে তা সমকৌণিক শীর্ষ বিন্দু দিয়ে যাবে। 
- কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ। 
- কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থূলকোণ। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ গুলো পরস্পর সমান। 
- অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ। 
- বৃত্তের পরিধি ও বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমানুপাতিক। 

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ হবে-

সমাধান: 
 সুষম ষড়ভুজটির- 
প্রতিটি বহিঃস্থকোণের পরিমাপ = (৩৬০/৬)° 
= ৬০° 

∴ প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ = (১৮০ - ৬০)° 
= ১২০° । 

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ২০% কমে তাহলে উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত ভাগ কমবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ১০০ 
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২
= π(১০০)^২
= ১০০০০π

আবার, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২০% কমলে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (১০০ - ২০) = ৮০
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২
= π(৮০)^২
= ৬৪০০π
∴ ক্ষেত্রফল কমে = ১০০০০π - ৬৪০০π
= ৩৬০০π

∴ ১০০০০π থেকে ক্ষেত্রফল কমে = ৩৬০০π
∴ ১০০ থেকে ক্ষেত্রফল কমে = (৩৬০০π × ১০০)/১০০০০π
= ৩৬% । 

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৭ : ২ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
অন্তঃস্থ কোণ = ৭ক
∴ বহিঃস্থ কোণ = ২ক

প্রশ্নমতে, 
৭ক + ২ক = ১৮০° 
⇒ ৯ক = ১৮০° 
∴ ক = ২০° 
∴ বহিঃস্থ কোণ = (২ × ২০)°
= ৪০° 

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৪০°
= ৯ টি ।

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘোরে। ১ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রী ঘুরবে? 

সমাধান: 
৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে = ৯০ বার 
∴ ১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে = ৯০/৬০ বার 
= ৩/২ বার 
= ১.৫ বার 

এখন, 
গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে = ৩৬০° 
∴ গাড়ির চাকা ৩/২ বার ঘুরে অতিক্রম করে = (৩৬০× ৩)°/২
= ৫৪০° ।

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ ৫৫° হলে, কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রঃস্থ কোণের অর্ধেক। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণ বৃত্তঃস্থ কোণের দ্বিগুণ। 

এখন, 
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ = ৫৫° হলে, 
কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে = (৫৫° × ২) 
= ১১০° 

∴ কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ = ১১০° ।

প্রশ্ন: যদি একটি বহুভুজের বহিঃস্থ কোণ ৪০° হয়, তাহলে সেই বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বহিঃস্থ কোণ = ৪০° 
∴ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/৪০°
= ৯ 

আমরা জানি, 
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২ 
∴ বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা = {৯(৯ - ৩)}/২ 
= (৯ × ৬)/২ 
= ২৭ টি । 

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত ন্যূনতম কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে? 

সমাধান: 
- একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত ন্যূনতম দুইটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে। 
কারণ, ত্রিভুজের বাহু অবশ্যই বৃত্তের দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে উহা ছেদক হবে। 
- আবার, একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত সর্বোচ্চ ৬টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে। 

প্রশ্ন: একটি সমবাহু অষ্টভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ কত ডিগ্রি হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, 
বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (2n - 4) × 90° 
(যেখানে, n = বহুভুজের বাহুর সংখ্যা)

∴ অষ্টভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = {(2 × 8) - 4} × 90° 
= (16 - 4) × 90°
= 12 × 90°
= 1080° 

∴ প্রতিটি কোণ = 1080°/8 
=135° ।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 60 সে.মি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত সে.মি? 

সমাধান: 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সে.মি
বৃত্তের ব্যাস = 2r সে.মি
বৃত্তের পরিধি =2πr সে.মি

প্রশ্নমতে, 
বা, 2πr - 2r = 60 
বা, 2r(π - 1) = 60 
বা 2r{(22/7) - 1} = 60 
বা 2r{(22 - 7)/7} = 60 
বা, 2r(15/7) = 60 
বা, 30r/7 = 60 
বা, r = (60 × 7)/30 
∴ r = 14 সে.মি

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 14 সে.মি ।

প্রশ্ন: সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে, 
অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180° 
∴ সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (6 - 2) × 180°
= 4 × 180°

∴ অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ = 2 (4 × 180)°
= 8 × 180° 
= 8 × 2 সমকোণ 
= 16 সমকোণ ।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধকে যদি r থেকে বৃদ্ধি করে (r + n) করা হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল দ্বিগুণ হয়। r-এর মান কত? 

সমাধান: 
ব্যাসার্ধ r হলে ক্ষেত্রফল = πr²
এবং ব্যাসার্ধ (r + n) হলে ক্ষেত্রফল = π(r + n)²

প্রশ্নমতে, 
2 × πr² = π (r + n)²
বা, 2r² = (r + n)²
বা, √2 r = r + n 
বা, √2 r - r = n 
বা, r (√2 - 1) = n 
∴ r = n/(√2 - 1)

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ১৫০° হলে, তার বাহুর সংখ্যা কত? 

সমাধান:
মনে করি,
বাহুর সংখ্যা = ক

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজে মোট উৎপন্ন অন্তঃস্থ কোণ = {(ক - ২)১৮০}/ক 
∴ {(ক - ২)১৮০}/ক = ১৫০
বা, ১৮০ক - ৩৬০ = ১৫০ক 
বা, ১৮০ক - ১৫০ক = ৩৬০ 
বা, ৩০ক = ৩৬০ 
বা, ক = ৩৬০/৩০ 
∴ ক = ১২ 

∴ বাহুর সংখ্যা = ১২ ।

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা’কে কী বলা হয়? 

সমাধান: 
 - বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের কোনো বিন্দুর দূরত্বকে ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে। 
- বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে। 
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে। 
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। 
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে। 
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 9 : 10 : 12 : 14 : 15 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত = 9 : 10 : 12 : 14 : 15
∴ পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাতের যোগফল = (9 + 10 + 12 + 14 + 15) 
= 60

আমরা জানি,
একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (5 - 2) × 180°
= 540° 

∴  বৃহত্তম কোণের মান = 540° × (15/60) 
= 135°  ।