Math Master

প্রশ্ন: 4^{a + 1} = 64 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
4^{a + 1} = 64
⇒ (2²)^{a + 1} = 2⁶
⇒ 2^{2a + 2} = 2⁶
⇒ 2a + 2 = 6
⇒ 2a = 6 - 2
⇒ 2a = 4
⇒ a = 4/2
∴ a = 2

প্রশ্ন: log2 + log4 + log8 + ....... ধারাটির প্রথম 8 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log 2 + log 4 + log 8 + ....... + প্রথম 8 টি পদ
= log 2 + log 2² + log 2³ + ....... + প্রথম 8 টি পদ
= log 2 + 2 log 2 + 3 log 2 + ....... + প্রথম 8টি পদ
= (1 + 2 + 3 + ............ + 8)log 2 
= [{8(8 + 1)}/2] log 2 
= (4 × 9)log 2 
= 36 log2

প্রশ্ন: (x/y)^{x - 5} = (y/x)^{x - 7} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(x/y)^{x - 5} = (y/x)^{x - 7}
⇒ (x/y)^{x - 5} = 1/(y/x)^{x - 7}
⇒ (x/y)^{x - 5} · (x/y)^{x - 7} = 1
⇒ (x/y)^{x - 5 + x - 7} = 1
⇒ (x/y)^{2x - 12} = (x/y)⁰
⇒ 2x - 12 = 0
⇒ 2x = 12
⇒ x = 12/2
∴ x = 6

প্রশ্ন: log₂8 + log₂32 + log₂128 = কত?
= log₂2³ + log₂2⁵ + log₂2⁷
= 3 log₂2 + 5 log₂2 + 7 log₂2
= (3 × 1) + (5 × 1) + (7 × 1)   [log_aa = 1]
= (3 + 5 + 7)
= 15

প্রশ্ন: 7^x + 13 . 7^x + 35 . 7^x = 1 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
7^x + 13 . 7^x + 35 . 7^x = 1
⇒ 7^x(1 + 13 + 35) = 1
⇒ 7^x . 49 = 1
⇒ 7^x . 7² = 1
⇒ 7^{x + 2} = 7⁰
⇒ x + 2 = 0
∴ x = - 2

প্রশ্ন: log₂(log₅625) এর মান কত?

সমাধান:
log₂(log₅625)
= log₂(log₅5⁴)
= log₂(4log₅5)
= log₂4
= log₂2²
= 2 log₂2
= 2

প্রশ্ন: 5^{x + 9} = 25^{x + 2} হলে x এর মান কত?

সমাধান:
5^{x + 9} = 25^{x + 2}
⇒ 5^{x + 9} = (5²)^{x + 2}
⇒ 5^{x + 9} = 5^{2x + 4}
⇒ x + 9 = 2x + 4
⇒ 9 - 4 = 2x - x
⇒ 5 = x
∴ x = 5

প্রশ্ন: 256 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
256 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম = log₂256
= log₂2⁸
= 8 log₂2  [log_aa = 1]
= 8 × 1
= 8

প্রশ্ন: (6^{x - 1}) · (36^{x + 2}) = 216 , তবে 6^x এর মান কত?

সমাধান:
(6^{x - 1}) · (36^{x + 2}) = 216
⇒ (6x - 1) · 6^{2(x + 2)} = 216
⇒ (6^{x - 1}) · (6^{2x + 4}) = 6³
⇒ 6^{x - 1 + 2x + 4} = 6³
⇒ x - 1 + 2x + 4 = 3
⇒ 3x + 3 = 3
⇒ 3x = 3 - 3
⇒ 3x = 0
⇒ x = 0

∴ 6^x
= 6⁰
= 1

প্রশ্ন : 4logx + 4logy = log 16 হলে xy এর মান কত?

সমাধান:
4log x + 4log y = log16
⇒ logx⁴ + logy⁴ = log2⁴
⇒ logx⁴y⁴ = log2⁴
⇒ (xy)⁴ = 2⁴
⇒ xy = 2

প্রশ্ন: 343(√7)^2x = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
343(√7)^2x = 1
⇒ (√7)^2x = 1/343
⇒ (√7)^2x = 1/7³
⇒ (√7)^2x = 1/(√7)⁶
⇒ (√7)^2x = (√7)^{- 6}
⇒ 2x = - 6
⇒ x = (- 6/2)
∴ x = - 3

প্রশ্ন: log₁₀8 = a হলে, log₁₀(1/80) এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀(1/80)
= log₁₀1 - log₁₀80
= - log₁₀(8 × 10)
= - (log₁₀8 + log₁₀10)
= - (log₁₀8 + 1)
= - (a + 1)

প্রশ্ন: x√(0.16) = 2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
x√(0.16) = 2
⇒ x√(16/100) = 2
⇒ x × (4/10) = 2
⇒ x = 2 × (10/4)
⇒ x = 5
∴ x = 5

প্রশ্ন: log₁₀(x + 7) = log₁₀x + log₁₀7 হলে, x = কত?

সমাধান:
log₁₀(x + 7) = log₁₀x + log₁₀7
⇒ log₁₀(x + 7) = log₁₀(x × 7)
⇒ log₁₀(x + 7) = log₁₀7x
⇒ x + 7 = 7x
⇒ 6x = 7
∴ x = 7/6

প্রশ্ন: a^{- 4} - 0.0001 = 0 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
a^{- 4} - 0.0001 = 0
⇒ a^{- 4} = 0.0001
⇒ 1/a⁴ = 1/10000
⇒ (1/a)⁴ = (1/10)⁴
⇒ 1/a = 1/10
∴ a = 10

প্রশ্ন: যদি log_x2 = a এবং log_x6 = b হয়, তাহলে log_x72= কত?

সমাধান:
log_x72
= log_x(2 × 36)
= log_x(2 × 6²)
= log_x2 + log_x6² 
= log_x2 + 2log_x6
= a + 2b [মান বসিয়ে]

প্রশ্ন: 16^{n - (1/4)} = 128 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
16^{n - (1/4)} = 128
⇒ (2⁴)^{n - (1/4)} = 2⁷
⇒ 2^{4n - 1} = 2⁷
⇒ 4n - 1 = 7
⇒ 4n = 7 + 1
⇒ 4n = 8
⇒ n = 8/4
∴ n = 2

প্রশ্ন: log_√216 = কত?

সমাধান:
log_√216
= log_√22⁴
= log_√2(√2)⁸
= 8 log_√2√2
= 8 × 1 
= 8

প্রশ্ন: log_x(5/3) = - 1/2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(5/3) = - 1/2
⇒ x^{- 1/2} = 5/3
⇒ 1/x^1/2 = 5/3
⇒ x^1/2 = 3/5
⇒ (x^1/2)² = (3/5)²
x = 9/25