Math Master

প্রশ্ন: a - b = 4, ab = 221 হলে, a² + b² = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - b = 4
এবং ab = 221

প্রদত্ত রাশি = a² + b²
= (a - b)² + 2ab
= (4)² + 2 × 221
= 16 + 442
= 458

প্রশ্ন: p² - 27p - 520 এর একটি উৎপাদক (p + 13) হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
p² - 27p - 520
= p² - 40p + 13p - 520
= p(p - 40) + 13(p - 40)
= (p - 40)(p + 13)

প্রশ্ন: x² - 1 - 9x = 0 হলে, {x + (1/x)}² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - 1 - 9x = 0
⇒ x² - 1 = 9x
⇒ (x² - 1)/x = 9x/x
⇒ (x²/x) - (1/x) = 9
⇒ x - (1/x) = 9

∴ প্রদত্ত রাশি = {x + (1/x)}²
= {x - (1/x)}² + 4 · x · (1/x)
= (9)² + 4
= 81 + 4
= 85

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 2x² - 2x - 24 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
2x² - 2x - 24
= 2(x² - x - 12)
= 2(x² - 4x + 3x - 12)
= 2{x(x - 4) + 3(x - 4)}
= 2(x - 4)(x + 3)

প্রশ্ন: 4a + (4/a) = 8 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
4a + (4/a) = 8
⇒ 4{a + (1/a)} = 8
⇒ a + (1/a) = 8/4
⇒ a + (1/a) = 2
⇒ (a² + 1)/a = 2
⇒ a² + 1 = 2a
⇒ a² - 2a + 1 = 0
⇒ (a + 1)² = 0
⇒ a + 1 = 0
∴ a = 1

প্রশ্ন: যদি p + p^{- 1} = 6 হয়, তবে p³ + p^{- 3} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + p^{- 1} = 6
⇒ p + (1/p) = 6
⇒ {p + (1/p)}³ = 6³
⇒ p³ + (1/p³) + 3 · p · (1/p) {p + (1/p)} = 216
⇒ p³ + (1/p³) + 3 × 6 = 216
⇒ p³ + (1/p³) = 216 - 18
⇒ p³ + (1/p³) = 198
∴ p³ + p^{- 3} = 198

প্রশ্ন: x² - 4x + 1 = 0 হলে, x³ + (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - 4x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = 4x
⇒ x + (1/x) = 4

∴ প্রদত্তরাশি = x³ + (1/x)³
= {x + (1/x)}³ - 3x.(1/x){x + (1/x)}
= (4)³ - 3(4)
= 64 - 12
= 52

প্রশ্ন: x³ - 6x² + 11x - 6 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6
∴ f(1) =  (1)³ - 6 . (1)² + 11 . (1) - 6
= 1 - 6 + 11 - 6
= 12 - 12
= 0
∴ (x - 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।

এখন,
x³ - 6x² + 11x - 6
= x³ - x² - 5x² + 5x + 6x - 6
= x²(x - 1) - 5x(x - 1) + 6(x - 1)
= (x -1)(x² - 5x + 6)

প্রশ্ন: a + b = √7 এবং a - b = √6 হলে, 8ab (a² + b²) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = √7
এবং a - b = √6

∴ প্রদত্ত রাশি = 8ab (a² + b²)
= 4ab × 2(a² + b²)
= {(a + b)² - (a - b)²}{(a + b)² + (a - b)²}
= {(√7)² - (√6)²}{(√7)² + (√6)²}
= (7 - 6)(7 + 6)
= 1 × 13
= 13

প্রশ্ন: নিচের কোন বহুপদীর একটি উৎপাদক (a - 3)?

সমাধান:
a = 3 হলে,
a³ - 4a + 3
= 3³ - 4 × 3 + 3
= 27 - 12 + 3
= 18 ≠ 0

a³ + a - 24
= 3³ + 3 - 24
= 27 + 3 - 24
= 6 ≠ 0

a³ + 3a - 36
= 3³ + 3 × 3 - 36
= 27 + 9 - 36
= 0

3a² + 2a - 31
= (3 × 32) + (2 × 3) - 31
= 27 + 6 - 31
= 2 ≠ 0

প্রশ্ন: যদি a³ - b³ = 387 এবং a - b = 3 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)
⇒ 387 = 3³ + 3ab × 3
⇒ 387 = 27 + 9ab
⇒ 387 - 27 = 9ab
⇒ 360 = 9ab
⇒ ab = 360/9
∴ ab = 40

প্রশ্ন: নিচের কোনটি (4p² - 6p - 40) এবং (p² + 2p - 24) এর একটি সাধারণ উৎপাদক?

সমাধান:
১ম রাশি:
4p² - 6p - 40
= 4p² - 16p + 10p - 40
= 4p(p - 4) + 10(p - 4)
= (p - 4)(4p + 10)

২য় রাশি:
p² + 2p - 24
= p² + 6p - 4p - 24
= p(p + 6) - 4(p + 6)
= (p - 4)(p + 6)

প্রশ্ন: b এর মান কত হলে 25a² - ab + 16 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
25a² - ab + 16
= (5a)² - 2 · 5a · 4 + 4²  [ধরি, b = 2 × 5 × 4 = 40]
= (5a - 4)²

∴ b = 40 হলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: x + y = 12, x - y = 2 হলে, 4xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 12
x - y = 2

আমরা জানি,
4xy = (x + y)² - (x - y)²
= 12² - 2²
= 144 - 4
= 140

প্রশ্ন: a + (1/a) = 2 হলে, 1/(a⁸ - a⁴ + 1) এর মান কত?

সমাধান:
a + (1/a) = 2
⇒ (a² + 1)/a = 2
⇒ a² + 1 = 2a
⇒ a² - 2a + 1 = 0
⇒ (a - 1)² = 0
⇒ a - 1= 0
∴ a = 1

এখন,
1/(a⁸ - a⁴ + 1)
= 1/(1⁸ - 1⁴ + 1)
= 1/(1 - 1 + 1)
= 1/1
= 1

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 48x³ + 162y³ এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
48x³ +162y³
= 6(8x³ + 27y³)
= 6{(2x)³+ (3y)³}
= 6(2x + 3y) {(2x)² - 2x × 3y + (3y)²}
= 6(2x + 3y)(4x² - 6xy + 9y²)

প্রশ্ন: a + b + c = 12 এবং ab + bc + ca = 44 হলে, a² + b² + c² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 12
ab + bc + ca = 44

আমরা জানি,
a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)
⇒ a² + b² + c² = (12)² - (2 × 44)
⇒ a² + b² + c² = 144 - 88
⇒ a² + b² + c² = 56

প্রশ্ন: নিচের কোনটি (9a² - 24ab + 16b² - 25c²) এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
9a² - 24ab + 16b² - 25c²
= (3a)² - 2 · 3a · 4b + (4b)² - (5c)²
= (3a - 4b)² - (5c)²
= (3a - 4b - 5c)(3a - 4b + 5c)

প্রশ্ন: a + (1/a) = 3 হলে, a⁶ + (1/a⁶) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + (1/a) = 3

∴ প্রদত্ত রাশি = a⁶ + (1/a⁶)
= (a³)² + (1/a³)²
= {a³ + (1/a³)}² - 2 · a³ · (1/a³)
= [{a + (1/a)}³ - 3 · a · (1/a){a + (1/a)}]² - 2
= {(3)³ - 3 · 3}² - 2
= (27 - 9)² - 2
= (18)² - 2
= 324 - 2
= 322

প্রশ্ন: (x + 7)(x - 3) + 9 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
(x + 7)(x - 3) + 9
= x² - 3x + 7x - 21 + 9
= x² + 4x - 12
= x² + 6x - 2x - 12
= x(x + 6) - 2(x + 6)
= (x + 6)(x - 2)