১৪০ দিনে ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি

ধরি, কোনটি x,
x এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - x
শর্তমতে,
২(১৮০° - x) = x
বা, ৩৬০° - ২x = x
বা, ৩x = 360°
∴ x = 120°

মনে করি,
ত্রিভুজের কোণত্রয় x, ৩x/২, x/২
শর্তমতে,
x + ৩x/২ + x/২ = ১৮০°
বা, (২x+৩x+x)/২ = ১৮০°
বা, ৬x = ২ × ১৮০°
∴ x = (২ × ১৮০°)/৬
বা, x = ৬০°

α + β + γ
= (১৮০° - C) + (১৮০° - B) + (১৮০° - A)
= ৫৪০° - (A + B + C)
= ৫৪০° - ১৮০°
= ৩৬০°

ধরি,
ভূমি = a, লম্ব = b এবং
অতিভূজ c = ১৩

∴ পরিসীমা a + b + c = ৩০
বা, a + b = ৩০ - c = ৩০ - ১৩ = ১৭
বা, (a + b)² = ১৭^২
বা, a² + b²+ 2ab = ২৮৯
বা, c² + 2ab = ২৮৯ [পিথাগোরাসের সূত্রানূসারে]
বা, ১৩^২ + ২ab = ২৮৯
বা, ২ab = ২৮৯ - ১৬৯ = ১২০
বা, ab = ৬০
বা, (১/২)ab = ৩০
∴ ১/২ × ভুমি × উচ্চতা = ৩০ বর্গ সে. মি.

ABC সমবাহু ত্রিভূজে AB = BC = CA = ২ সে. মি.
AD মধ্যমা
∴ AD ⊥ BC এবং CD = ১ সে. মি.
∴ AC² = AD² + CD²
বা, AD = √(AC² - CD²)
= √(২^২ - ১^২)
= √৩

দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ক্ষেত্রফল
বা, ৮ × প্রস্থ = ৪৮
∴ প্রস্থ = ৬
∴ AB = ৬, BC = ৮
∴ কর্ণ AC = √(AB²+ BC²
= √(৬^২ + ৮^২)
= √(৩৬ + ৬৪)
= ১০

ধরি,
১ম বর্গের ক্ষেত্রফল ১৬a
২য় বর্গের ক্ষেত্রফল ৯a

∴ ১ম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪√a
২য় বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩√a

∴ ১ম বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৪√২√a = ৪√২a
২য় বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৩√২√a = ৩√২a

∴ কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = ৪√২a:৩√২a = ৪ঃ৩

ধরি,
দৈর্ঘ্য = ৪x, প্রস্থ = ৩x
∴ পরিসীমা = ২(৪x+৩x) = ১৪x

এবং কর্ণ = √{(৪x)^২ + (৩x)^২}
= √(২৫x^২)
= ৫x

∴ পরিসীমাঃকর্ণ = ১৪x:৫x = ১৪ঃ৫

কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৮ সে. মি.
∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = ৮/√২ সে. মি.
∴ ক্ষেত্রফল = (৮/√২)^২
= ৬৪/২
=৩২ বর্গ সে. মি.

ধরি,
অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = a সে. মি.
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, 24 = 1/2 × a × 6
বা, 3a = 24
∴ a = 8

একই চাপের (AD) উপর দন্ডায়মান সকল বৃত্তস্থ কোন সমান।

ব্যাসার্ধ r হলে, ব্যাস = ২r এবং পরিধি = ২πr
∴ ব্যাস ও পরিধির অনুপাত = ২r:২πr
= ১/π
= ১/২২/৭
= ৭/২২

বৃত্তঃস্থ চতুর্ভূজের ক্ষেত্রে,
<A + <C = ১৮০°
∴ <C = ১৮০° - ৯৫°
বা, <C = ৮৫°

বর্গের ক্ষেত্রফল = ১৬ বর্গ সে. মি.
∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪ সে. মি.
বৃত্তের ব্যাস = বর্গের কর্ণ = ৪√২ সে. মি.
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ২√২ সে. মি.
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = Π(২√২)^২= ৮Π ব্যাসার্ধ

ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 5√3
∴ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 5
∴ আয়তন = 5³
= 125

৪০০ পৃষ্ঠা = ২০০ পাতা
∴ বইয়ের পুরুত্ব = ২০০ × ০.১
= ২০ মি.মি.
= ২ সে. মি.
∴ আয়তন = ২৫ × ২০ × ২
= ১০০০ ঘন সে. মি.

ব্যাস = ৪ সে. মি.,
৫০% বৃদ্ধিতে ব্যাস = (১৫০/১০০) × ৪ সে. মি. = ৬ সে. মি.
এক্ষেত্রে, ব্যাসার্ধ = ৩ সে. মি.
আয়তন = ৪/৩ × π × ৩^৩
= ৩৬π

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = a হলে, দৈর্ঘ্য = ৩a
এখন, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বর্গের ক্ষেত্রফল = ২৭^২ বা, ৩a × a = ৭২৯
বা, a^২ = 243
∴ a = ১৫.৫৯ মি.
∴ পরিসীমা = ২(৩a+a)
= ৮a
= ৮ × ১৫.৫৯
= ১২৪.৭১ মি.

EF || BC বিধায় ∠AFE, ∠ACB অনুরূপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান

অপর সমান কোণদ্বয়ের সমষ্টি = ১৮০° - ৯৮°
= ৮২
∴ একটি কোণ = ৪১°

অর্ধ বৃত্তস্থ কোন = ৯০°
∴ এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৯০°
= ৯০°

x অক্ষের ছেদ বিন্দুতে y = 0
∴ x + y - 5 = 0 সমীকরন থেকে পাই,
x = 5
∴ স্থানাংক (5,0)

AD || BC এবং AE ছেদক
∴ ∠DAB = ∠CBE
ফলে, ∠B = ১৮০° - ∠CBE
= ১৮০° - ∠DAB
= ১৮০° - ৭৫°
= ১০৫°

বৃত্তের সমান জ্যা কেন্দ্র হতে সমদূরবর্তী 
∴ AB = CD হলে x = y

ব্যাসার্ধ r ও উচ্চতা h হলে,
বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh = 100 ......... (1)
আয়তন = πr²h = 150 ............ (2)

(2) নং ÷ (1) নং করে পাই,
πr²h/2πrh = 150/100
বা, r = 300/100
= 3