Bank Math Master

Question: If ⁶P_r = 120, what is the value of r?

Solution:
আমরা জানি, ⁿP_r = n!/(n - r)!
দেওয়া আছে,
⁶P_r = 120
⇒ 6!/(6 - r)! = 120
⇒ 720/(6 - r)! = 120 (কারণ 6! = 720)
⇒ (6 - r)! = 720/120
⇒ (6 - r)! = 6
⇒ (6 - r)! = 3!   (কারণ 3! = 3 × 2 × 1 = 6)
⇒ 6 - r = 3
⇒ r = 6 - 3
∴ r = 3

Question: Today is Friday. After 58 days, it will be:

Solution:
আমরা জানি যে সপ্তাহের প্রতিটি দিন 7 দিন পর পুনরাবৃত্তি হয়।
58 ÷ 7 = 8 (ভাগশেষ 2)
অর্থাৎ, (7 × 8) = 56 দিন পর আবার শুক্রবার হবে।
∴ 58 দিন পর হবে (শুক্রবার + 2 দিন) = রবিবার।

Question: An accurate clock shows 10:00 AM. Through how many degrees will the hour hand rotate when the clock shows 4:00 PM?

Solution: 
10:00 AM থেকে 4:00 PM পর্যন্ত অতিবাহিত সময় = 6 ঘণ্টা।

আমরা জানি,
ঘণ্টার কাঁটা 12 ঘণ্টায় ঘোরে 360°
∴ 1 ঘণ্টায় ঘোরে = 360°/12 = 30°
∴ 6 ঘণ্টায় ঘোরে = 6 × 30° = 180°

অতএব, 10:00 AM থেকে 4:00 PM পর্যন্ত ঘণ্টার কাঁটাটি 180° ঘুরবে।

Question: If ⁿC₁₀ = ⁿC₈ , what is the value of ⁿC₂ = ?

Solution:
আমরা জানি,
যদি ⁿC_a = ⁿC_b হয়, তবে হয় a = b অথবা a + b = n হবে।

এখানে,
ⁿC₁₀ = ⁿC₈
⇒ 10 + 8 = n
⇒ n = 18

∴ ⁿC₂ = ¹⁸C₂
= 18!/(2!(18 - 2)!)
= 18!/(2! × 16!)
= (18 × 17 × 16!)/(2 × 1 × 16!)
= (18 × 17)/2
= 9 × 17
= 153

Question: A 40-meter cable is attached from the top of a vertical pole down to the ground. If the cable makes an angle of 30 degrees with the ground, find the height of the pole.

 Solution:
 
ধরি, উচ্চতা(Height), AB = h
দেয়া আছে, AC = 40m
∠ACB = 30°

∴ sin30°= AB/AC
⇒ 1/2 = h/40
⇒ h = 40 × 1/2
∴ h = 20 m

Question: How many permutations of nine different digits may be made?

Solution:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ভিন্ন জিনিস বা অক্ষর থেকে সবগুলি নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা (Permutation) হলো n!
এখানে মোট অক্ষর সংখ্যা, n = 9
∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 9!

Question: Which of the following is a leap year?

Solution:
অধিবর্ষ বা লিপ ইয়ার নির্ণয়ের দুটি প্রধান নিয়ম রয়েছে:
১. সাধারণ বছর: বছরটি 4 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হতে হবে।
২. শতাব্দী বছর (100 দ্বারা বিভাজ্য): বছরটি 400 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হতে হবে।

এখন,
ক) 1900 সাল (শতাব্দী বছর): 1900 ÷ 400 দ্বারা বিভাজ্য নয় (ভাগশেষ 300)। ⇒ অধিবর্ষ নয়।

খ) 2000 সাল (শতাব্দী বছর): 2000 ÷ 400 = 5 (ভাগশেষ 0)। ⇒ অধিবর্ষ।

গ) 2022 সাল: এটি 4 দ্বারা বিভাজ্য নয়। (2022 ÷ 4 ⇒ ভাগশেষ 2)। ⇒ অধিবর্ষ নয়।

ঘ) 2010 সাল: এটি 4 দ্বারা বিভাজ্য নয়। (2010 ÷ 4 ⇒ ভাগশেষ 2)। ⇒ অধিবর্ষ নয়।

অতএব, 2000 সালটি অধিবর্ষ।

Question: What is the angle between the hour and minute hands of a clock when it is 20 minutes past 9?

Solution:
20 minutes past 9 অর্থাৎ, 9টা 20 মিনিট।
= 9 + (20/60) ঘন্টা
= 9 + 1/3
= 28/3 ঘন্টা

আমরা জানি,
ঘণ্টার কাঁটা 12 ঘণ্টায় 360° ঘোরে।
∴ 1 ঘণ্টায় ঘোরে = 360°/12 = 30°
∴ 28/3 ঘন্টায় ঘোরে = (30° × 28)/3 = 280°

আবার,
মিনিটের কাঁটা 60 মিনিটে 360° ঘোরে।
∴ 1 মিনিটে ঘোরে = 360°/60 = 6°
∴ 20 মিনিটে ঘোরে = 20 × 6° = 120°

∴ ঘড়ির কাঁটা দুটির মধ্যবর্তী কোণ = | 280° - 120° | = 160°

Question: At a conference, everyone shakes hands with everybody else. If there were 105 handshakes, how many people were at the conference?

Solution:
ধরি, কনফারেন্সে x সংখ্যক লোক ছিল।
দুজন ব্যক্তির মধ্যে একটি হ্যান্ডশেক হয়, যা Combination দিয়ে প্রকাশ করা যায়।

প্রশ্নমতে,
^xC₂ = 105
⇒ x!/(2!(x - 2)!) = 105
⇒ {x(x - 1)(x - 2)!}/{2 × 1 × (x - 2)!} = 105
⇒ x(x - 1)/2 = 105
⇒ x(x - 1) = 210
⇒ x² - x - 210 = 0
⇒ x² - 15x + 14x - 210 = 0
⇒ x(x - 15) + 14(x - 15) = 0
⇒ (x - 15)(x + 14) = 0

হয় x - 15 = 0 অথবা x + 14 = 0
∴ x = 15 অথবা x = -14

যেহেতু লোকসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 15

অতএব, কনফারেন্সে 15 জন লোক ছিল।

Question: A pole 120 meters long breaks into two parts without complete separation and makes an angle of 30° with the ground. Find the length of the broken part of the pole.

Solution:

খুঁটির মোট দৈর্ঘ্য = 120 মিটার
ধরি,ভাঙা অংশটির দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ অবশিষ্ট অংশটির দৈর্ঘ্য = (120 - x) মিটার
মই ভূমির সাথে কোণ তৈরি করে, θ = 30°

আমরা জানি,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ
⇒ sin 30° =(120 - x)/x
⇒ 1/2 = (120 - x)/x
⇒ x = 2(120 - x)
⇒ x = 240 - 2x
⇒ 3x = 240
∴ x = 80 মিটার

অতএব, খুঁটির ভাঙা অংশটির দৈর্ঘ্য = 80 মিটার।

Question: In how many ways can the letters of the word 'ENGINEERING' be arranged such that the first letter is always 'R'?

Solution:
'ENGINEERING' শব্দটিতে মোট 11টি বর্ণ রয়েছে।

শর্ত: প্রথম স্থানে 'R' স্থির।
এখন বাকি 11 - 1 = 10টি স্থানে বাকি বর্ণগুলোকে সাজাতে হবে।
বাকি 10টি বর্ণের মধ্যে পুনরাবৃত্ত অক্ষর:
E (3 বার), N (3 বার), G (2 বার), I (2 বার)।

∴ বাকি ১০টি বর্ণের বিন্যাস সংখ্যা = 10!/(3! × 3! × 2! × 2!)
= 3,628,800/(6 × 6 × 2 × 2)
= 3,628,800/144
= 25,200

∴ প্রথম অক্ষর 'R' রেখে 'ENGINEERING' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা হলো 25,200.

Question: Through what angle does the minute hand of a clock turn in 12 minutes?

Solution:
আমরা জানি,
মিনিটের কাঁটা 60 মিনিটে ঘোরে 360° 
∴ 1 মিনিটে ঘোরে 360°/60 = 6° 
∴ 12 মিনিটে ঘোরে (12 × 6°) = 72° 

অতএব, মিনিটের কাঁটা 12 মিনিটে 72° ঘুরবে।

Question: In how many ways can the letters of the word "AUTHOR" be arranged such that the vowels are only in the odd positions?

Solution:
এখানে
মোট বর্ণ আছে 6টি
স্বরবর্ণ অর্থাৎ Vowel আছে (A, O, U) 3টি
ব্যঞ্জনবর্ণ অর্থাৎ Consonant আছে (T, H, R) 3টি

স্বরবর্ণ 3টি বিজোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3! = 6
বাকি 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ 3টি জোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3! = 6

∴ স্বরবর্ণগুলোকে কেবল বিজোড় স্থানে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6 × 6
= 36

অতএব, AUTHOR শব্দটিকে স্বরবর্ণগুলোকে কেবল বিজোড় স্থানে রেখে মোট 36 উপায়ে সাজানো যাবে।

Question: In how many ways can 4 guests from a group of 7 guests be seated around a circular table?

Solution:
7 জন থেকে 4 জন নির্বাচন করার উপায়:
⁷C₄ = 7!/(4! × 3!)
= (7 × 6 × 5)/(3 × 2 × 1)
= 210/6 = 35

4 জন ব্যক্তিকে একটি গোলাকার টেবিলে সাজানোর উপায় = (4 -1)!
= 3!
= 6

∴ মোট উপায় = 35 × 6 = 210

Question: A photographer who is 1.6 meters tall is standing 20 meters away from a tower. If the angle of elevation from his eye to the top of the tower is 45°, what is the height of the tower?

Solution:

এখানে,
ফটোগ্রাফারের উচ্চতা, CD = 1.6 মিটার
এখানে, CD = EB
টাওয়ারের উচ্চতা, = AB

এখন,
tan∠C = AE/CE
⇒ tan45° = AE/20
⇒ 1 = AE/20
∴ AE = 20

∴ AB = AE + BE
= 20 + 1.6
= 21.6 m

Question: There are 8 multiple-choice questions in an examination, and each question has 4 options. In how many ways can these questions be answered?

Solution:
একটি বহু নির্বাচনী প্রশ্নে উত্তর দেওয়ার সম্ভাব্য উপায় সংখ্যা হলো 4টি (কারণ প্রতিটি প্রশ্নে 4টি করে বিকল্প আছে)।

যেহেতু প্রশ্ন সংখ্যা 8টি এবং প্রতিটি প্রশ্নের উত্তর একে অপরের উপর নির্ভরশীল নয়, তাই মোট সম্ভাব্য উপায় সংখ্যা হবে প্রতিটি প্রশ্নের উত্তরের উপায়গুলোর গুণফল।

প্রথম প্রশ্নের সম্ভাব্য উপায় = 4
দ্বিতীয় প্রশ্নের সম্ভাব্য উপায় = 4
............
অষ্টম প্রশ্নের সম্ভাব্য উপায় = 4

∴ নির্ণেয় মোট উপায় = 4 × 4 × 4 × … (8 বার) = 4⁸
অতএব, 8টি বহু নির্বাচনী প্রশ্নের উত্তর 4⁸ উপায়ে দেওয়া যেতে পারে।

Question: A clock gains (moves ahead) 10 minutes each day. How many days will it take to reach a point where the clock will indicate the correct time?

Solution:
একটি ঘড়িকে পুনরায় সঠিক সময় দেখাতে হলে তাকে 12 ঘণ্টা সময় এগিয়ে যেতে হবে।
কারণ একটি 12 ঘণ্টার ঘড়িতে যখন সঠিক সময় থেকে 12 ঘণ্টা এগিয়ে যাবে, তখন এটি আবার সঠিক সময় নির্দেশ করবে।

12 ঘণ্টা = 12 × 60 মিনিট = 720 মিনিট

এখন, যেহেতু ঘড়িটি প্রতিদিন 10 মিনিট করে সময় এগিয়ে যায়,

10 মিনিট সময় এগিয়ে যায় 1 দিনে
∴ 720 মিনিট সময় এগিয়ে যাবে = (1/10) × 720 দিনে
= 72 দিনে

সুতরাং, 72 দিন পর ঘড়িটি আবার সঠিক সময় দেখাবে।

Question: A football team has 15 players. In how many ways can a team of 11 players be chosen if the goalkeeper must always be included?

সমাধান:
15 জন খেলোয়াড় থেকে 1 জনকে (গোলরক্ষক) ঠিক রেখে বাকি 14 জন থেকে (11 - 1) = 10 জনের টিম গঠন করা যাবে।

∴ অবশিষ্ট 14 জন থেকে 10 জনকে নির্বাচন করার উপায় = ¹⁴C₁₀
= 14!/(14 - 10)! × 10!
= (14 × 13 × 12 × 11 × 10!)/(4! × 10!)
= (14 × 13 × 12 × 11)/(4 × 3 × 2 × 1)
= 1001

∴ 1001 উপায়ে দল গঠন করা যাবে।

Question: It was Friday on January 1, 2016. What was the day of the week on Jan 1, 2017?

Solution:
• অধিবর্ষ নির্ণয়:
2016 সালটি 4 দ্বারা বিভাজ্য (2016 ÷ 4 = 504), তাই এটি একটি অধিবর্ষ (Leap Year)।

• অতিরিক্ত দিন নির্ণয়:
একটি অধিবর্ষে 366 দিন থাকে। 366 ÷ 7 = 52 সপ্তাহ এবং 2 দিন অতিরিক্ত (Odd Days) হয়।

এখন,
1লা জানুয়ারি 2016 দিনটি ছিল Friday।
যেহেতু 2016 সালটি অধিবর্ষ, তাই 1লা জানুয়ারি 2017 দিনটি হবে Friday এর থেকে 2 দিন বেশি।
⇒ Friday + 1 দিন = Saturday
⇒ Saturday + 1 দিন = Sunday

∴ 1লা জানুয়ারি 2017 দিনটি হবে Sunday।

Question: How many triangles can be formed with 18 points?

Solution:
আমরা জানি,
একটি ত্রিভুজ গঠন করতে ৩ টি বিন্দু প্রয়োজন হয়।
তাহলে,
18 টি বিন্দু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা = ¹⁸C₃
= 18!/{3! × (18 - 3)!}
= 18!/(3! × 15!)
= (18 × 17 × 16 × 15!)/(3 × 2 × 1 × 15!)
= (18 × 17 × 16)/(3 × 2 × 1)
= (18 × 17 × 16)/6
= 4896/6
= 816

∴ 18 টি বিন্দু দিয়ে মোট 816 টি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে।