Math Master

প্রশ্ন: ০, ১, ৩, ৪ ও ৫ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য কত?

সমাধান:
০, ১, ৩, ৪ ও ৫ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৫৪৩১০
০, ১, ৩, ৪ ও ৫ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০৩৪৫

∴ বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার যোগফল = (৫৪৩১০ - ১০৩৪৫ )
= ৪৩৯৬৫

প্রশ্ন: দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গু এর গুণফল ৪৫। সংখ্যা দুইটির পার্থক্য ৪। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ক ও (ক + ৪)

প্রশ্নমতে,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = এদের ল. সা .গু × গ. সা .গু
⇒ ক(ক + ৪) = ৪৫
⇒ ক^২ + ৪ক - ৪৫ = ০
⇒ ক^২ + ৯ক - ৫ক - ৪৫ = 0
⇒ ক(ক + ৯) - ৫ ( ক + ৯) = 0
⇒ (ক + ৯)(ক - ৫) = ০
⇒ ক = - ৯ , ৫ [- ৯ গ্রহনযোগ্য নয়]

সুতরাং, ছোট সংখ্যাটি = ৫
বড় সংখ্যাটি = (৫ + ৪) = ৯

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৭৩ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বৃহত্তম সংখ্যাটি = ক + ১
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ১৭৩
⇒ ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ১৭৩
⇒ ২ক = ১৭৩ - ১
⇒ ২ক = ১৭২
∴ ক = ৮৬

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = (ক + ১)
= (৮৬ + ১)
= ৮৭

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. ১২ এবং ল.সা.গু. ৬৪৮০। একটি সংখ্যা ২৪০ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
(একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা) = (ল.সা.গু. × গ.সা.গু)
∴ অপর সংখ্যা = ( ল.সা.গু. × গ.সা.গু)/একটি সংখ্যা
= (১২ × ৬৪৮০)/২৪০
= ৭৭৭৬০/২৪০
= ৩২৪

∴ অপর সংখ্যাটি = ৩২৪ 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা নয়?

সমাধান:
যে সকল সংখ্যার গুণনীয়ক কেবল ১ এবং ঐ সংখ্যা তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা ২৫টি। এগুলো হলো-
২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।

∴ ৬৩ সংখ্যাটি মৌলিক নয়।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৬ : ৭ এবং তাদের গ.সা.গু ৮ হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭

মনে করি,
একটি সংখ্যা = ৬ক
এবং অপর সংখ্যাটি = ৭ক

সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ক
এবং ল.সা.গু = ৪২ক

শর্তমতে,
ক = ৮

∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = (৪২ × ৮) =৩৩৬

প্রশ্ন: ৫১২ এর ভাজক সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
৫১২
= ১ × ৫১২
= ২ × ২৫৬
= ৪ × ১২৮
= ৮ × ৬৪
= ১৬ ×  ৩২

৫১২ এর ভাজকসমূহ = ১, ২, ৪, ৮, ১৬, ৩২, ৬৪, ১২৮, ২৫৬ ও ৫১২

মোট ভাজক সংখ্যা ১০টি।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর গুণফল ১০৮০ হলে, সংখ্যা দুইটির পার্থক্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি = ৫ক ও ৬ক
সংখ্যা দুইটির গুণফল = ৩০ক^২

আমরা জানি,
সংখ্যা দুইটির গুণফল = ল.সা.গু গ.সা.গু
⇒ ৩০ক^২ = ১০৮০
⇒ ক^২ = ৩৬
⇒ ক = √৩৬
⇒ ক = ৬

∴ সংখ্যা দুইটির পার্থক্য = ৬ক - ৫ক
= (৬ × ৬) - (৫ × ৬) 
= ৩৬ - ৩০
= ৬

প্রশ্ন: তিনটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল ১৮৯। শেষ সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা তিনটি = ক, (ক + ২) এবং (ক + ৪)

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ২) + (ক + ৪) = ১৮৯
⇒ ৩ক + ৬ = ১৮৯
⇒ ৩ক = ১৮৯ - ৬
⇒ ৩ক = ১৮৩
⇒ ক = ১৮৩/৩
⇒ ক = ৬১

∴ শেষ সংখ্যাটি = (৬১ + ৪)
= ৬৫

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ১ যোগ করলে যোগফল ৪, ৮, ১০, ১২ ও ১৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
এখানে,
৪, ৮, ১০, ১২ ও ১৬ এর ল.সা.গু = ২৪০

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = (২৪০ - ১)
= ২৩৯

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার দ্বিগুণের সঙ্গে ১০ যোগ করলে যোগফল সংখ্যাটি অপেক্ষা ১৬ বেশি হবে?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
⇒ ২ক + ১০ = ক + ১৬
⇒ ২ক - ক = ১৬ - ১০
⇒ ক = ৬

∴ সংখ্যাটি = ৬ 

প্রশ্ন: ৪০টি আম এবং ৪৬টি লিচু সর্বোচ্চ কতজন বালকের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যেতে পারে?

সমাধান:
৪০ এবং ৪৬ এর গ. সা. গু. ই হবে নির্ণেয় বালকের সংখ্যা হবে।
∴ ৪০ এবং ৪৬ এর গ. সা. গু. = ২

∴ নির্ণেয় বালকের সংখ্যা = ২ জন।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৪৭০ থেকে যত বড় ৬৪০ থেকে তত ছোট, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৪৭০ = ৬৪০ - ক
⇒ ২ক = ৬৪০ + ৪৭০
⇒ ২ক = ১১১০
∴ ক = ৫৫৫

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু এবং গ.সা.গু যথাক্রমে ৬০ এবং ১০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ হলে, সংখ্যা দুইটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ৩ক
তাহলে ছোট সংখ্যাটি = ২ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
∴ ৩ক × ২ক = ৬০ × ১০
⇒ ৬ক^২ = ৬০০
⇒ ক^২ = ১০০
∴ ক = ১০

ছোট সংখ্যাটি = (২ × ১০) = ২০
 বড় সংখ্যাটি = (৩ × ১০) = ৩০

∴ সংখ্যা দুইটির সমষ্টি = (৩০ + ২০) = ৫০

প্রশ্ন: পরপর আটটি সংখ্যার প্রথম ৪টির যোগফল ৪৪৬ হলে, শেষ ৪টির যোগফল কত?

সমাধান:
মনেকরি,
পরপর আটটি সংখ্যা = ক, (ক + ১), (ক + ২), (ক + ৩), (ক + ৪), (ক + ৫), (ক + ৬), (ক + ৭)

∴ প্রথম চারটির যোগফল = ক + (ক + ১) + (ক + ২) + (ক + ৩) = ৪ক + ৬
শেষ চারটির যোগফল = (ক + ৪) + (ক + ৫) + (ক + ৬) + (ক + ৭) = ৪ক + ২২

শর্তমতে,
৪ক + ৬ = ৪৪৬
⇒ ৪ক = ৪৪৬ - ৬
⇒ ৪ক = ৪৪০
∴ ক = ১১০

সুতরাং, শেষ চারটির যোগফল = (৪ × ১১০) + ২২
= ৪৪০ + ২২
= ৪৬২

প্রশ্ন: যদি (6a + 1) একটি বিজোড় সংখ্যা নির্দেশ করে, তবে কোনটি তার পরবর্তী বিজোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
একটি বিজোড় সংখ্যা থেকে পরবর্তী বিজোড় সংখ্যা বের করতে হলে ২ যোগ করতে হয়।
(6a + 1) + 2
= 6a + 1 + 2
= 6a + 3

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা:
p/q আকারের কোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0।
যেমন: √25 = 5 , 5/1 = 5
যে কোনো মূলদ সংখ্যাকে দুইটি সহমৌলিক সংখ্যার অনুপাত হিসাবেও লেখা যায়।
সকল পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা।
তাই, √25 একটি মূলদ সংখ্যা।

অমূলদ সংখ্যা:
যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
যেমন: √2 = 1.414213..., √3 = 1.732 ..., ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।
কোনাে অমূলদ সংখ্যাকে দুইটিপূর্ণ সংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়?

সমাধান:
- যে সংখ্যার সর্ব ডানদিকের অঙ্ক অর্থাৎ একক স্থানীয় অঙ্ক ২ বা ৩ বা ৭ বা ৮ তা পূর্ণবর্গ নয় ।
- যে সংখ্যার শেষে বিজোড় সংখ্যক শূন্য থাকে, ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ নয়।
- একক স্থানীয় অঙ্ক ১ বা ৪ বা ৫ বা ৬ বা ৯ হলে, ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে পারে। যেমন : ৮১, ৬৪, ২৫, ৩৬, ৪৯ ইত্যাদি পূর্ণবর্গ সংখ্যা ।
- আবার সংখ্যার ডানদিকে জোড়সংখ্যক শূন্য থাকলে ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে পারে। যেমন : ১০০, ৪৯০০ ইত্যাদি বর্গসংখ্যা ।

√৩৬১ = ১৯
√৫২৯ = ২৩
√৫৭৬ = ২৪

অর্থাৎ, ৩৬১, ৫২৯, ৫৭৬ হলো পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
অপরদিকে, ৪৯৪ পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।

প্রশ্ন: তিনটি ঘণ্টা একত্রে বাজার পর তারা ২ ঘণ্টা, ৩ ঘণ্টা ও ৪ ঘণ্টা পর পর বাজতে থাকলো। ঘণ্টাগুলো কতক্ষণ পর আবার একত্রে বাজবে?

সমাধান:
২, ৩ ও ৪ এর ল.সা.গু = ১২
∴ তিনটি ঘন্টা একত্রে বাজবে ১২ ঘণ্টা পর।

প্রশ্ন: কোন একটি সংখ্যার অর্ধেকের সঙ্গে ৬ যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির দ্বিগুণ থেকে ৩৯ বিয়োগ করলে একই ফল পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে
(ক/২) + ৬ = ২ক - ৩৯
⇒ ৬ + ৩৯ = ২ক - (ক/২)
⇒ ৪৫ = (৪ক - ক)/২
⇒৪৫ = ৩ক/২
⇒ ৩ক = ৪৫ × ২
⇒ ক = (৪৫ × ২)/৩
⇒ ক = ৩০