সহকারী থানা শিক্ষা অফিসার (ATEO)

প্রশ্ন: 10 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ = 10 সে.মি. ব্যাসার্ধ
তাহলে, ব্যাস = (10 × 2)
= 20   [যা বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান]

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (1/2) × (কর্ণ)²
= (1/2) × (20)²
= 400/2
= 200 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: দুটি সমান্তরাল রেখা সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
দুটি সরল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব যখন সর্বদা একই থাকে তখন একটিকে অপরটির সমান্তরাল রেখা বলা হয়।
দুটি সমান্তরাল রেখা কখনও পরস্পর ছেদ করে না।

প্রশ্ন: একটি ফ্যান প্রতি মিনিটে 120 বার ঘুরলে 4 সেকেন্ডে ফ্যানটি কত ডিগ্রি ঘুরে?

সমাধান:
ফ্যানটি 1 মিনিট বা 60 সেকেন্ডে ঘুরে = 120 বার
ফ্যানটি 1 সেকেন্ডে ঘুরে = 120/60 = 2 বার
ফ্যানটি 4 সেকেন্ডে ঘুরে = (2 × 4) = 8 বার

ফ্যানটি 1 বার ঘুরলে ঘুরে = 360°
∴ 8 বার ঘুরলে ঘুরে = (360° × 8) = 2880°

অতএব, ফ্যানটি 4 সেকেন্ডে 2880° ঘুরে।

প্রশ্ন: ১৫টি বিন্দুর মধ্যে ৬টি সমরেখ। প্রদত্ত বিন্দুগুলো দিয়ে কয়টি সরলরেখা আঁকা যাবে?

সমাধান:
সরলরেখা তৈরি করতে মোট বিন্দু লাগে ২টি।
১৫টি বিন্দু দিয়ে সরলরেখা আঁকা যায় ^১৫C_২ = ১০৫টি

এখানে, ৬টি বিন্দু সমরেখ তাই তাদের দিয়ে আলাদা বা বিচ্ছিন্ন রেখা পাওয়া যায়না।
৬টি বিন্দু দিয়ে সরলরেখা হত ^৬C_২ = ১৫টি; যা মোট থেকে বাদ যাবে।
এবং ৬টি বিন্দু একটি সরলরেখা গঠন করে তাই ১ যোগ হবে।

∴ মোট সরলরেখা হবে = (১০৫ - ১৫ + ১)টি
= ৯১টি

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণ ১২০° হলে, তার বাহুর সংখ্যার বর্গের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ = ১২০°
∴ সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = ১৮০° - ১২০°
= ৬০°

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°
∴ বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/৬০°
= ৬ টি

সুতরাং, বাহু সংখ্যার বর্গ = ৬^২ = ৩৬

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ৪০% কমে, তবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত কমে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
অর্থাৎ, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৪০% কমলে ২ বার ৪০% করে কমবে।
প্রথম বার কমে হবে = (১০০ - ৪০) = ৬০%

দ্বিতীয় বার কমবে = ৬০ এর ৪০%
= ৬০ × (৪০/১০০)
= ২৪০০/১০০
= ২৪%

∴ ক্ষেত্রফল মোট কমবে = (৪০ + ২৪) = ৬৪%

প্রশ্ন: (3x + 2y) = 24 এবং (4x + 3y) = 33 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x + 2y = 24 ...... (1)
4x + 3y = 33 ...... (2)

{(1) × 3}  - {(2) × 2} নং সমীকরণ থেকে পাই,
9x + 6y - 8x - 6y = 72 - 66
⇒ x = 6

x এর মান (1) নং এ বসাই,
3 × 6 + 2y = 24
⇒ 18 + 2y = 24
⇒ 2y = 24 - 18
⇒ 2y = 6
⇒ y = 3

∴ সরলরেখা দুটি (6, 3) বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের OC, AB জ্যা এর উপর লম্ব এবং AC = 8 সে.মি. হলে AB এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
AC = 8 সে.মি.

আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

সুতরাং, AB = (8 × 2) = 16 সে.মি.

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান জ্যা। OE এবং OF যথাক্রমে কেন্দ্র থেকে AB ও CD এর লম্ব দূরত্ব। OE = ১২ সে.মি. হলে OF = কত?

সমাধান:

বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
যেহেতু, AB = CD তাহলে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব OE = OF হবে।
OE = ১২ সে.মি. হলে OF = ১২ সে.মি. হবে।

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের মানের অনুপাত ২ : ১ হলে, বহুভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি,অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণ যথাক্রমে ২ক ও ক

প্রশ্নমতে,
২ক + ক = ১৮০°
⇒ ৩ক = ১৮০°
∴ ক = ৬০°

তাহলে, অন্তঃস্থ কোণ = (২ × ৬০°) = ১২০°
বহিঃস্থ কোণ = ৬০°

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৬০°
= ৬ টি 
অতএব, বহুভুজটি হবে একটি ষড়ভুজ।

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 8 : 9। বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 8
∴ ক্ষেত্রফল = π(8)² = 64π

অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 9
∴ ক্ষেত্রফল = π(9)² = 81π

∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 64π : 81π
= 64 : 81

প্রশ্ন: যদি বৃত্তের সমীকরণ x² + y² - 8x + 10y + 16 = 0 হয়, তবে বৃত্তের কেন্দ্র কী হবে?

সমাধান:
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো x² + y² - 2gx - 2fy + c = 0, যেখানে (g, f) হলো কেন্দ্র এবং c হলো একটি ধ্রুবক।

প্রশ্নমতে,
- 2g = - 8
⇒ 2g = 8
∴ g = 4

এবং, - 2f = 10
∴ f = - 5

∴ বৃত্তের কেন্দ্র (4, - 5)।

প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের কোণগুলোর অনুপাত 5 : 6 : 7 : 8 : 9 : 10 হলে, ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম কোণের গড় কত?

সমাধান:
কোণগুলোর সমষ্টি = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45
ষড়ভুজের 6 কোণের সমষ্টি = 720°

∴ ছোট কোণ = (5/45) × 720° = 80°
এবং, বৃহত্তম কোণ = (10/45) × 720° = 160°

সুতরাং, গড় = (80° + 160°)/2
= 120°

প্রশ্ন: y = 5 এবং x = 3y + 2 সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?

সমাধান:
y = 5 ...... (১)
x = 3y + 2 ........ (২)
১ম সমীকরণ হতে পাই,
y = 5

২য় সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,
x = 3 × 5 + 2
⇒ x = 15 + 2
⇒ x = 17

∴ সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (17, 5).

প্রশ্ন: 10 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 10 সে.মি.

∴ বৃত্তের অন্তঃস্থ সমবাহু ত্রিভুজের বাহু = √3 × বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= 10√3

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) (বাহু)²
= (√3/4) × (10√3)²
= (√3/4) × 100 × 3
= 75√3 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি নোনাগনের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা, n = 9

∴ অন্তঃস্থ কোণ, θ = 180° - (360°/9)
= (180° - 40°)
= 140°

প্রশ্ন: 56 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ABCD বর্গের পরিসীমা = 56 মিটার
∴ ABCD বর্গের বাহু = 56/4 = 14 মিটার
এখন,
কর্ণ = ব্যাস = বাহু × √2 = 14√2
ব্যাসার্ধ = 14√2/2
= 7√2

∴ ক্ষেত্রফল = π(7√2)²
= 98π

প্রশ্ন: কোন বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x, y) হলে, মূল বিন্দুর দূরত্ব কত?

সমাধান:
মূল বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 0)
একটি বিন্দু (x, y)

দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব = √{(x - x₁)² + (y - y₁)²}
= √{(x - 0)² + (y - 0)²}
= √(x² + y²)

প্রশ্ন: নিচের কোন সমীকরণটি সরলরেখা প্রকাশ করে না?

সমাধান:
y = 4x - 1, 3y + 2x - 6 = 0 এবং, y - 5x + 2 = 0
সমীকরণ তিনটিতে xy সংবলিত পদ নেই।

কিন্তু y(2 - x) = 3 বা 2x - xy = 3 এই সমীকরনে আছে তাই এটি সরলরেখা হবে না।

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৪ : ১ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৪ক
বহিঃস্থ কোণ = ক

প্রশ্নমতে,
৪ক + ক = ১৮০°
⇒ ৫ক = ১৮০°
∴ ক = ৩৬°

বহিঃস্থ কোণ = ৩৬°
∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৩৬°
= ১০ টি

প্রশ্ন: (1, 1) এবং (2, 2) বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব = √{(x - x₁)² + (y - y₁)²}
= √{(2 - 1)² + (2 -1)²}
= √{(1)² + (1)²}
= √2