Math Master

প্রশ্ন: SOLUTION শব্দটির বর্ণগুলোকে কত রকমে সাজানো যায় যেখানে স্বরবর্ণ ও ব্যজ্ঞনবর্ণ পৃথক ভাবে একত্রে থাকে ?

সমাধান :
SOLUTION শব্দটিতে 8টি বর্ণ আছে । 

স্বরবর্ণ O, U, I, O  নিজেদের মধ্যে বিন্যাস = 4!/2!
= 12

ব্যজ্ঞনবর্ণ S, L, T, N নিজেদের মধ্যে বিন্যাস =4!
= 24

স্বরবর্ণ এবং ব্যঞ্জনবর্ণকে দুটি আলাদা গুচ্ছ ধরে তাদের বিন্যাসের উপায় =2!
=2

∴ মোট সম্ভাব্য বিন্যাস = 12 × 24 × 2
= 576

প্রশ্ন : 5 - 5 + 5 - 5 +........ ধারাটির 2n + 5 সংখ্যক পদের সমষ্টি কত ?

সমাধান :
এখানে,
প্রথম পদ a = 5
সাধারণ অনুপাত r = -5/5
= -1

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারা n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)
∴ গুণোত্তর ধারা (2n + 5) সংখ্যক পদের সমষ্টি
= 5{1 - (-1)^{2n + 5}}/{1 - (-1)}
= 5{1 -(-1)}/(1 + 1) [যেহেতু 2n সর্বদা জোড়, তাহলে (2n + 5) সর্বদা বিজোড় সংখ্যা। সুতরাং (-1)^{2n + 5} = -1 হবে।]
= (5 × 2)/2
= 5

প্রশ্ন: ৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোন পরীক্ষায় ৩৮ জন বাংলা, ৪১ জন ইংরেজি এবং ৩৫ জন উভয় বিষয় পছন্দ করে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয় অপছন্দ করে, তা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
শুধু বাংলা পছন্দ করে = (৩৮ - ৩৫) জন = ৩ জন
শুধু ইংরেজি পছন্দ করে = (৪১ - ৩৫) জন = ৬ জন
উভয় বিষয় পছন্দ করে = ৩৫ জন
যে কোন একটি বিষয় এবং উভয় বিষয় পছন্দ করে = (৩ + ৬ + ৩৫) জন
= ৪৪ জন

∴ উভয় বিষয় অপছন্দ করে = (৫০ - ৪৪) জন
= ৬ জন

প্রশ্ন: 25 থেকে 41 পর্যন্ত সংখ্যা থেকে যেকোনো একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 7 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
25 থেকে 41 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 29, 31, 37, 41
আবার,
25 থেকে 41 পর্যন্ত 7 এর গুণিতক সংখ্যা = 28, 35
25 থেকে 41 পর্যন্ত মোট সংখ্যা = 17 টি
মৌলিক সংখ্যা অথবা 7 এর গুণিতক মোট সংখ্যা = (4 + 2) টি
= 6টি

∴ সম্ভাবনা = 6/17

প্রশ্ন: একটি সপ্তভুজের কৌণিক বিন্দুগুলো সংযোগ করে কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
একটি সপ্তভুজের সাতটি কৌণিক বিন্দু আছে।
একটি ত্রিভুজ গঠন করার জন্য বিন্দু প্রয়োজন 3টি

ত্রিভুজের গঠন করা যাবে = ⁷C₃ = 35

প্রশ্ন : log(5) + log(25) + log(125) +.............ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত ?

সমাধান : 
log(5) + log(25) + log(125) +.............ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= log(5¹) + log(5²) + log(5³) +.............ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= 1 log5 + 2 log5 + 3 log5 +.............ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= 1 log5 + 2 log5 + 3 log5 +.............ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= log5(1 + 2 + 3 + ............+ 10)
= log5 {10(10 + 1)/2}
= log5 (5 × 11)
= log5 × 55
= 55 log5

প্রশ্ন: 15 এবং 45 এর গুণোত্তর গড় কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, n সংখ্যক সংখ্যার গুণোত্তর গড়,

∴ ১৫ এবং ৪৫ এর গুণোত্তর গড় = √(15 × 45)
= √(3 × 5 × 3 × 3 × 5)
= 3 × 5 × √3
= 15√3

প্রশ্ন: 8 জন কর্মী অফিস মিটিং এ গোলাকার টেবিলে কতভাবে বসতে পারবে ?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তি গোলাকার টেবিলে বসার উপায় = (n - 1)!

∴ 8 জন কর্মী অফিস মিটিং এ গোলাকার টেবিলে বসতে পারবে = (8 - 1)!
= 7!
= 5040

প্রশ্ন: 5 + x + y + 135 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, xy এর মান কত?

সমাধান: 
এখানে,
প্রথম পদ, a = 5

ধরি,
সাধারণ অনুপাত = r

প্রশ্নমতে,
ar^4-1 = 135
⇒ r³ = 135/5
⇒ r³ = 27
∴ r = 3

∴ ধারাটির দ্বিতীয় পদ x = 5× 3^2-1
= 15

∴ ধারাটির তৃতীয় পদ y = 5× 3^3-1
= 45

∴ xy এর মান = 15 × 45
= 675

প্রশ্ন: A = {x : x, 18 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x : x, 3 এর গুনিতক এবং x ≤ 18} হলে, A\B = কত? 

সমাধান: 
এখানে,
A = {x : x, 18 এর গুণনীয়কসমূহ}
18 এর গুণনীয়কসমূহ = 1, 2, 3, 6, 9, 18 
∴ A = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

B = {x: x, 3 এর গুনিতক এবং x ≤ 18}
3 এর গুনিতক 3, 6, 9, 12, 15, 18..........
∴ B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}

∴ A\B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}\{3, 6, 9, 12, 15, 18}
= {1, 2}

প্রশ্ন: একটি ক্লাবে 9 জন পুরুষ ও 8 জন মহিলা থেকে 6 জনে একটি কমিটি কত রকমে গঠন করা যাবে, যেখানে পুরুষ সদস্য থাকবে 4 জন, মহিলা সদস্য থাকবে 2 জন।

সমাধান:
9 জন পুরুষ সদস্য  হতে 4 জন নিয়ে সমাবেশ = ⁹C₄
= 126
8 জন মহিলা সদস্য হতে 2 জন নিয়ে সমাবেশ = ⁸C₂
= 28
∴ কমিটি গঠন করা যাবে = 126 × 28
= 3528

প্রশ্ন: ০.১২ + ০.০০১২ + ০.০০০০১২ + .............. ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল-

সমাধান:
০.১২ + ০.০০১২ + ০.০০০০১২ + .............. 
= ০.১২ + ০.১২ × (০.০১) + ০.১২ × (০.০১)^২ +.............

এখানে,
a = ০.১২, r = ০.০১ < ১

অসীম পদের সমষ্টি S = a/(১ - r)
= ০.১২/(১ - ০.০১)
= ০.১২/০.৯৯
= ১২/৯৯ 
= ৪/৩৩ 

প্রশ্ন: ১ থেকে ৪৪১ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা-

সমাধান: 
১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত মোট নমুনাবিন্দু = ৪৪০
পূর্ণ বর্গসংখ্যার অনুকূলে নমুনাবিন্দু = (১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১, ১০০, ১২১, ১৪৪, ১৬৯, ১৯৬, ২২৫, ২৫৬, ২৮৯, ৩২৪, ৩৬১, ৪০০, ৪৪১}
= ২১টি

∴ এক্ষেত্রে সম্ভাবনা = ২১/৪৪১
= ১/২১

প্রশ্ন: 4, 7, 10, 13,........... অনুক্রমটির 50 তম পদ কোনটি? 

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 7 - 4
= 3

∴ অনুক্রমটির 50 তম পদ = a + (n - 1)d
= 4 + (50 - 1)3
= 4 + 49 × 3
= 4 + 147
= 151

প্রশ্ন: 5 টি সংখ্যার গড় x এবং 8 টি সংখ্যার গড় y হলে, সবগুলো সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5 টি সংখ্যার গড় = x
∴ 8 টি সংখ্যার সমষ্টি = 8y

8 টি সংখ্যার গড় = y
∴ 5 টি সংখ্যার সমষ্টি = 5x


মোট সংখ্যা = 5 + 8
= 13

∴ সবগুলো সংখ্যার গড় = (5x + 8y)/13

প্রশ্ন: 9 + 7 + 5 +.................. ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল -119 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ ‍a = 9
সাধারণ অন্তর, d = 7 - 9 = - 2

ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল,
(n/2){2 × 9 + (n - 1)(- 2)} = - 119
⇒ (n/2)(18 - 2n + 2) = - 1119
⇒ (n/2)(20 - 2n) = - 119
⇒ (n/2) × 2(10 - n) = -119
⇒ n(10 - n) = - 119
⇒ 10n - n² = - 119
⇒ n² - 10n - 119 = 0
⇒ n² - 17n + 7n - 119 = 0
⇒ n(n - 17) + 7(n - 17) = 0
⇒ (n - 17) + (n + 7) = 0
∴ n = 17 অথবা n = -7 [ -7 গ্রহণযোগ্য নয়]

প্রশ্ন : 4 জন বালক ও 4 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যাবে যেখানে 4 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট বালক বালিকা আছে 8 জন ।
চারজন বালক একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা হবে 5 জন।
5 জনকে সাজানো যায় = 5!

4 জন বালক কে সাজানো যায় = 4!

∴ মোট সাজানো যাবে = 5! × 4!
= 120 × 24
= 2880