নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: চারটি বস্তুর মাঝে দুটি বস্তু একই রকম। বস্তুগুলো চারজন বালককে কত উপায়ে বিতরণ করা যাবে যেন প্রত্যেকে একটি করে বস্তু পায়?

সমাধান:
ধরি,
বস্তুগুলি হলো A, A, B এবং C

বস্তু C চারটি বালককে 4 টি উপায়ে দেওয়া যেতে পারে।
বস্তু B অবশিষ্ট 3 জন বালককে 3 টি উপায়ে দেওয়া যেতে পারে।
এখন, দুটি A একইরকম এবং অবশিষ্ট দুটি বালককে 1 টি উপায়ে দেওয়া যেতে পারে।

∴ মোট উপায়ের সংখ্যা = 4 × 3 × 1 = 12

প্রশ্ন: 4 জন পুরুষ এবং 3 জন মহিলার মধ্যে থেকে কমপক্ষে একজন মহিলার সমন্বয়ে 4 জনের একটি কমিটি কত পদ্ধতিতে করা যেতে পারে?

সমাধান:
4 জন পুরুষ ও 3 জন মহিলা।
ন্যূনতম 1 জন মহিলা সম্বলিত কমিটি গঠনের পদ্ধতির সংখ্যা
3 পুরুষ এবং 1 মহিলা + 2 পুরুষ এবং 2 মহিলা + 1 পুরুষ এবং 3 মহিলা
= ⁴C₃ × ³C₁ + ⁴C₂ × ³C₂ + ⁴C₁ × ³C₃
= 4 × 3 + 6 × 3 + 4 × 1
= 12 + 18 + 4
= 34

প্রশ্ন: 'EQUATION' শব্দের অক্ষর থেকে মোট কতগুলি 6 অক্ষরের শব্দ তৈরি করা যায়?

সমাধান:
EQUATION শব্দটিতে বর্ণ আছে = 8 টি
6 টি করে বর্ণ নিয়ে শব্দ গঠন করা যাবে ⁸P₆ = 20160 টি

প্রশ্ন: ৩ এর গুণিতকের সেট কোন ধরনের সেট?

সমাধান:
অসীম সেট: যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না তাকে অসীম সেট বলে।
৩ এর গুণিতকসমূহ = ৩,৬, ৯, ১২, . . . ইত্যাদি
∴ ৩ এর গুণিতকের সেট = {৩,৬, ৯, ১২, . . . }

অর্থাৎ, ৩ এর গুণিতকের সেট অসীম সেট।

প্রশ্ন: কোন শ্রেণির ১০ জন শিক্ষার্থীর উচ্চতা যথাক্রমে ১২৫, ১৩৫, ১৩০, ১৩৮, ১৩৭, ১৪২, ১৪৫, ১৫২, ১৫০, ১৪০ সে.মি.। শ্রেণিব্যাপ্তি ৪ হলে উপাত্তগুলোর শ্রেণি সংখ্যা কত?

সমাধান:
উপাত্তসমূহ: ১২৫, ১৩৫, ১৩০, ১৩৮, ১৩৭, ১৪২, ১৪৫, ১৫২, ১৫০, ১৪০
সর্বোচ্চ উপাত্ত = ১৫২
সর্বনিম্ন উপাত্ত = ১২৫

উপাত্ত গুলোর পরিসর = (১৫২ - ১২৫) + ১
= ২৭ + ১
= ২৮

শ্রেণিব্যাপ্তি = ৪

∴ শ্রেণি সংখ্যা = ২৮/৪ = ৭

প্রশ্ন: 'GEOGRAPHY' শব্দের অক্ষরগুলোকে এমন কয়টি ভিন্ন উপায়ে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলি সর্বদা একসাথে থাকে?

সমাধান:
'GEOGRAPHY' শব্দটিতে 9টি অক্ষর রয়েছে। এতে E, O, A স্বরবর্ণ রয়েছে এবং এই 3টি স্বরবর্ণকে সর্বদা একত্রে রাখতে হবে।
তাই এই 3টি স্বরবর্ণকে গোষ্ঠীবদ্ধ করা যেতে পারে এবং একটি একক অক্ষর হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে; অর্থাৎ, GGRPHY(EOA)।

মনে করি
এই শব্দে 7টি অক্ষর আছে কিন্তু এই 7টি অক্ষরে 2 বার 'G' আসলেও বাকি অক্ষরগুলো ভিন্ন।
এখন, এই অক্ষর সাজানোর উপায় সংখ্যা = 7!/2! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2520

3টি স্বরবর্ণ (EOA)-তে, সকল স্বরবর্ণ আলাদা এই স্বরবর্ণগুলি সাজানোর উপায় সংখ্যা = 3! = 3 × 2 × 1 = 6

এখন, উপায়ের সংখ্যা = 2520 × 6 = 15120

প্রশ্ন: যদি M = {x : x² = 9, 2x = 4} হয় তবে M = ?

সমাধান:
প্রথম শর্তানুযায়ী,
x² = 9
⇒ x = ±3
∴ x = 3, - 3

দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী,
2x = 4
∴ x = 2
কমা থাকার কারণে x প্রদত্ত দুইটি শর্তকেই মেনে চলতে হবে।
এমন কোনো উপাদান পাওয়া সম্ভব নয় যার বর্গ 9 এর সমান এবং দ্বিগুণ 4 এর সমান ।
∴ M = { }

প্রশ্ন: 36, 28, 45, 51 তথ্যসারির ভেদাঙ্ক কত?

সমাধান: 
এখানে, তথ্য সংখ্যা, n = 4
গাণিতিক গড় = (36 + 28 + 45 + 51)/4
= 160/4
= 40

ভেদাঙ্ক = {(36 - 40)² + (28 - 40)² + (45 - 40)² + (51 - 40)²}/4
= (16 + 144 + 25 + 121)/4
= 306/4
= 76.5

প্রশ্ন: যদি ⁿC₈ = ⁿC₂ হয়, তাহলে ⁿC₄ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ⁿC_a = ⁿC_b হলে, a = b অথবা a + b = n হয়।

ⁿC₈ = ⁿC₂
⇒ 8 + 2 = n
∴ n = 10

ⁿC₄ = ¹⁰C₄ = 210

প্রশ্ন: 'FIGHT' শব্দের অক্ষরগুলোকে কয়টি উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'FIGHT' শব্দের মোট বর্ণসংখ্যা = 5 এবং সবগুলো অক্ষর ভিন্ন।
∴ বিন্যাসের সংখ্যা = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

প্রশ্ন: যদি ২০২৪ সালের জানুয়ারী মাসের ২য় সপ্তাহে মোট ৪ দিন বৃষ্টি হয় তবে, ঐ সপ্তাহে রবিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভবনা কত?

সমাধান:
এক সপ্তাহ = ৭ দিন
বৃষ্টি হয়েছে = ৪ দিন

∴ যেকোনো একদিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা ৪/৭
অর্থাৎ, রবিবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/৭

∴ রবিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা= ১ - (৪/৭) = ৩/৭

প্রশ্ন: A = {x : x ∈ R এবং x² - (a + b) x + ab = 0} এবং B = {a, b, c} হলে (A ∪ B) = কত? 

সমাধান: 
A = {x : x ∈ R এবং x² - (a + b) x + ab = 0}
এবং B = {a, b, c} 

এখানে 
x² - (a + b)x + ab = 0
বা, x² - ax - bx + ab = 0
বা, x(x - a) - b(x - a) = 0
বা, (x - a)(x - b) = 0
∴ x = a, b 

A = {a, b}
B = {a, b, c}

∴ A ∪ B = {a, b} ∪ {a, b, c} = {a, b, c}

প্রশ্ন: যদি A সংখ্যক সংখ্যার গড় m এবং B সংখ্যক সংখ্যার গড় n হয় তবে সবগুলো সংখ্যার মোট গড় কত?

সমাধান: 
A সংখ্যক সংখ্যার গড় m
A সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = Am

B সংখ্যক সংখ্যার গড় n
B সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = Bn 

∴ সবগুলো সংখ্যার মোট গড় = (Am + Bn)/(A + B)

প্রশ্ন: ১৪ জন খেলোয়াড় থেকে ১১ জন খেলোয়াড় বিশিষ্ট দল তৈরি করা যায় কত উপায়ে?

সমাধান:
১৪ জন খেলোয়াড় থেকে ১১ জন খেলোয়াড় বিশিষ্ট দল তৈরি করা যায় ^১৪C_১১ = ৩৬৪ উপায়ে

প্রশ্ন: ANUBHAW শব্দটিকে কতগুলি পন্থায় বিন্যাস করা যায় তা নির্ণয় করুন?

সমাধান:
ANUBHAW শব্দটিতে 7টি অক্ষর আছে কিন্তু A অক্ষরটি দুইবার দেখা যাচ্ছে
∴ বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2!)/2!
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3
= 2520

∴ ANUBHAW শব্দটি 2520 উপায়ে পুনর্বিন্যাস করা যেতে পারে।

প্রশ্ন: একজন লোকের ঢাকা হতে ফেনী বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭ এবং ফেনী থেকে চট্টগ্রাম ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৫/৮। লোকটি ফেনীতে বাসে এবং চট্টগ্রামে ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
ঢাকা হতে ফেনী বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭
ঢাকা হতে ফেনী বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা (১ - ৫/৭) বা ২/৭

ফেনী থেকে চট্টগ্রাম ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৫/৮
ফেনী থেকে চট্টগ্রাম ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভবনা (১- ৫/৮) বা ৩/৮

∴ ফেনী বাসে এবং চট্টগ্রামে ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা (৫/৭) × (৩/৮)
= ১৫/৫৬

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যা a ও b এর গড় 45। যদি c অঋণাত্মক সংখ্যা হয়, তবে a, b, c সংখ্যা তিনটির সর্বনিম্ন গড় কত হতে পারে?

সমাধান: 
a ও b এর সমষ্টি = 45 × 2 = 90
c অঋণাত্মক সংখ্যা, c এর সর্বনিম্ন মান হতে পারে 0

∴ a, b, c সংখ্যা তিনটির সর্বনিম্ন গড় = (90 + 0)/3 = 30

প্রশ্ন: A ও B এর একটি অংক সমাধান করতে পারার সম্ভাব্যতা যথাক্রমে ১/৪ ও ১/৬। তারা একত্রে অঙ্কটি সমাধান করার চেষ্টা করলে অঙ্কটির সমাধান নির্ণয়ের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
A এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা
= ১ - (১/৪)
= ৩/৪

B এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা
= ১  - (১/৬)
= ৫/৬

A ও B এর একত্রে অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা
= (৩/৪) × (৫/৬)
= ৫/৮

A ও B এর একত্রে অঙ্কটি করতে পারার সম্ভাব্যতা
= ১ - (৫/৮)
= ৩/৮

প্রশ্ন: 'TORTURE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতকগুলো বিন্যাস করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকে?

সমাধান:
'TORTURE' শব্দটিতে মোট বর্ণ 7টি। তন্মধ্যে 3টি স্বরবর্ণ (O, U, E) ও 4টি ব্যাঞ্জনবর্ণ।

O, U, E স্বরবর্ণ থেকে একটি দিয়ে প্রথম স্থান পূরণের উপায় = ³P₁ = 3

অবশিষ্ট 6টি বর্ণ দ্বারা 6টি স্থান পূরণের উপায় = 6!/(2! × 2!) [T = 2, R = 2]
= 180

∴ নির্ণেয় বিন্যাস = 3 × 180 = 540

প্রশ্ন: ৫০, ২১, ৯, ১৩, ১৫, ৫০, ৪২ উপাত্ত গুলোর পরিসর কত?

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের সর্বনিম্ন সংখ্যা = ৯ 
প্রদত্ত তথ্যের সর্বোচ্চ সংখ্যা = ৫০ 

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ সংখ্যা - সর্বনিম্ন সংখ্যা) + ১
= (৫০ - ৯) + ১
= ৪১ + ১
= ৪২

প্রশ্ন: যদি ⁸P_r = 1680 হয়, তাহলে r =?

সমাধান:
⁸P_r = 1680
⇒ 8!/(8 - r)! = 1680
⇒ (8 - r)! = 8!/1680
⇒ (8 - r)! = 24
⇒ (8 - r)! = 4!
⇒ (8 - r) = 4
⇒ r = 8 - 4 = 4

প্রশ্ন: প্রথম সাতটি স্বাভাবিক সংখ্যার পরিমিতি ব্যবধান কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার পরিমিত ব্যবধান
= √{(n² - 1)/12}
= √{(7² - 1)/12}
= √{(49 - 1)/12}
= √(48/12)
= √4
= 2

প্রশ্ন: একটি থলেতে ৪ টি লাল, ৫ টি সাদা ও ৬ টি নীল বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুলে নেওয়া হল। বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
থলেতে মোট বলের সংখ্যা = (৪ + ৫ + ৬) টি = ১৫ টি 
সুতরাং সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল = ১৫
সাদা বলের সংখ্যা = ৫ টি 
সুতরাং সাদা বলের অনুকুল ফলাফল = ৫

বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = সাদা বলের অনুকুল ফলাফল / সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল = ৫/১৫ = ১/৩ 
∴ বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/৩)
= (৩ - ১)/৩
= ২/৩

প্রশ্ন: একজন রেফারির 3 টি লাল পতাকা 2 টি হলুদ পতাকা 1 টি নীল পতাকা আছে। একটি সংকেত তৈরির জন্য 6 টি পতাকাকে একটি সারিতে ব্যবহার করলে কয়টি সংকেত করতে পারবে?

সমাধান:
মোট পতাকা 6 টি
যার মধ্যে লাল 3 টি, হলুদ 2 টি, নীল 1 টি

মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6! / (3! × 2!)
= (6 × 5 × 4 × 3!)/(3! × 2!)
= (6 × 5 × 4)/2 
= 60

প্রশ্ন: একটি কক্ষে ১০টি চেয়ার খালি আছে। চারজন লোক কতভাবে এই ১০টি চেয়ারে বসতে পারবে?

সমাধান:
চেয়ারের সংখ্যা ১০টি 
লোকের সংখ্যা ৪ জন 

বসার উপায় = ^১০P_৪ = ৫০৪০

প্রশ্ন: A = {4, 8, 12, 16} সেটটিকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?

সমাধান:
বস্তু জগতের বা চিন্তাজগতের বস্তু বা ধারণার যে কোন সুনির্ধারিত তালিকা, সংগ্রহ বা শ্রেণিকে সেট বলে।

A = {4, 8, 12, 16}
A সেটের উপাদান গুলো হলো 4, 8, 12, 16
যা 16 এর সমান বা 16 থেকে ছোট এবং 4 এর গুণিতক। 

∴ A সেটটিকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে হবে A = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 16}

প্রশ্ন: ৭ জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)!
7 জনকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (7 - 1)!
= 6!
= 720

প্রশ্ন: একটি হল রুমের ৫টি দরজা রয়েছে। আপনি কত উপায়ে একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে পারবেন?
 
সমাধান:
যেহেতু অন্য দরজা দিয়ে বের হতে হবে, তাই যে দরজা দিয়ে ঢুকবে সে দরজা দিয়ে বের হতে পারবে না।
অর্থাৎ ঢুকার সময় দরজা সংখ্যা ৫টি এবং বের হওয়ার সময় দরজা সংখ্যা ৪টি।
∴ উপায় সংখ্যা ৫ × ৪ = ২০

প্রশ্ন: তথ্য সারির মোট উপাত্তের সংখ্যা m টি এবং তা বিজোড় হলে, মধ্যমা কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
উপাত্তের সংখ্যা বিজোড় হলে, 

m সংখ্যক উপাত্তের জন্য মধ্যমা = (m + 1)/2 তম পদ

প্রশ্ন: যদি P = {x ∈ N : 2^x = 4}  এবং Q = {x : x ∈ N, x সংখ্যাটি 3 দ্বারা বিভাজ্য} হয়, তাহলে P ∩ Q = ?

সমাধান: 
এখানে, 2^x = 4
⇒ 2^x = 2²
⇒ x = 2

∴ P = {2}

আবার,
Q = {3, 6, 9, 12, …… }

∴ P ∩ Q = {2} ∩ {3, 6, 9, 12, …… } = ∅

প্রশ্ন: একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে 3 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
ছক্কার নমুনাক্ষেত্র = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 

3 এর গুণিতক = {3, 6} 

3 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা= 2/6 = 1/3

প্রশ্ন: একটি প্রশ্নপত্রে ক বিভাগ, খ বিভাগ প্রতিটিতে 5টি করে মোট দশটি প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থী কোন বিভাগ থেকে 4টির বেশি প্রশ্ন না নিয়ে মোট 6টি প্রশ্ন কত উপায়ে বাছাই করতে পারবে?

সমাধান:
6টি প্রশ্ন বাছাই করার ক্ষেত্রে,
(i) ক বিভাগ হতে 2টি খ বিভাগ হতে 4টি
(ii) ক বিভাগ হতে 3টি খ বিভাগ হতে 3টি
(iii) ক বিভাগ হতে 4টি খ বিভাগ হতে 2টি প্রশ্ন বাছাই করবে।

(i) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = ⁵C₂ × ⁵C₄
= 10 × 5 = 50

(ii) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = ⁵C₃ × ⁵C₃
= 10 × 10 = 100

(iii) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = ⁵C₄ × ⁵C₂
= 5 × 10 = 50

∴ বাছাই করার মোট উপায় = 50 + 100 + 50 = 200

প্রশ্ন: 13টি পুস্তক থেকে 7টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 2টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
 
সমাধান:
13 টি পুস্তক হতে সর্বদা দুইটি অন্তর্ভুক্ত রেখে 7 টি বাছাই করা যায় =  ^{(13 - 2)}C_{(7 - 2)} = ¹¹C₅ = 462

প্রশ্ন: ৯, ১১, ১০, ১২, ১১, ১২, ১৪, ১১, ১০, ২০, ২১, ১১, ৯, ১৮ উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?

সমাধান:
এখানে,
১১ সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশিবার (৪ বার) আছে। 

প্রদত্ত উপাত্তগুরোর প্রচুরক = ১১

প্রশ্ন: U = {x : x < 6 , x ∈ N}, A = { x : x ∈ N এবং 1 < x ≤ 4} হলে A' = কত? 

সমাধান: 
U = {x : x < 6 , x ∈ N}
A = { x : x এবং 1 < x ≤ 4}
U = {1, 2, 3, 4, 5}
A = {2, 3, 4}

A' = U - A
= {1, 2, 3, 4, 5} - {2, 3, 4}
= {1, 5}

প্রশ্ন: একটি টুর্নামেন্টে ৭টি দল অংশগ্রহণ করেছে, একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?

সমাধান:
৭টি দল অংশগ্রহণ করে একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সংখ্যা ১টি করে খেলা খেলবে।
তাহলে মোট খেলা হবে ^৭C_২ = ২১টি।

প্রশ্ন: ৫২ খানা তাস হতে ১ খানা তাস দৈবভাবে উঠানো হল। হরতন না হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান:
- একটি প্যাকেটে মোট তাসের সংখ্যা = ৫২ টি।
- রুইতন, হরতন, ইস্কাপন ও চিরাতন ১৩টি করে।

∴ হরতন হওয়ার সম্ভাবনা = ১৩/৫২ = ১/৪
হরতন না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ১/৪
= (৪ - ১)/৪
= ৩/৪