Math Master

প্রশ্ন: একটি বন্দুকের গুলি প্রতি সেকেন্ডে ১৫৪০ ফুট গতিবেগে লক্ষ্যভেদ করে। এক ব্যক্তি বন্দুক থেকে গুলি ছুঁড়বার ৩ সেকেন্ড পরে  লক্ষ্যভেদের শব্দ শুনতে পায়। শব্দের গতি প্রতি সেকেন্ডে  ১১০০ ফুট। লক্ষবস্তুর দূরত্ব কত? 

সমাধান: 
ধরি, লক্ষবস্তুর দূরত্ব = x ফুট

x ফুট যেতে বুলেটের সময় লাগে = x/১৫৪০ সেকেন্ড
এবং x ফুট আসতে শব্দের সময় লাগে = x/১১০০  সেকেন্ড

প্রশ্নমতে,  (x/১৫৪০) + (x/১১০০) = ৩
⇒ (৫x + ৭x)/৭৭০০ = ৩
⇒ ১২x = ৭৭০০ × ৩
⇒ x = (৭৭০০ × ৩)/১২
∴ x = ১৯২৫

প্রশ্ন: একটি ফটোকপি মেশিন ১/৩ সেকেন্ডে ২টি ফটোকপি করে। একই হারে ইহা ২ মিনিটে কতগুলো ফটোকপি করতে পারে?

সমাধান: 
এখানে, ২ মিনিট = ২ × ৬০ সেকেন্ড
= ১২০ সেকেন্ড

১/৩ সেকেন্ডে করে ২টি ফটোকপি
∴ ১ সেকেন্ডে করে {(২ × ৩)/১} টি ফটোকপি
∴ ১২০ সেকেন্ডে করে (২ × ৩ × ১২০) টি ফটোকপি
= ৭২০ টি ফটোকপি

প্রশ্ন: যদি একজন ব্যক্তি ৮ কি.মি./ঘণ্টা বেগে না হেঁটে ১২ কি.মি./ঘণ্টা বেগে হাঁটতেন, তাহলে তিনি ১৮ কি.মি. বেশি হাঁটতেন। তিনি প্রকৃতপক্ষে কত কিলোমিটার দূরত্ব অতিক্রম করেছেন?

সমাধান: 
ধরি, তিনি প্রকৃতপক্ষে x কিলোমিটার দূরত্ব অতিক্রম করেছেন।

প্রশ্নমতে, x/৮ = (x + ১৮)/১২
⇒ ১২x = ৮x + (৮ × ১৮)
⇒ ৪x = ৮ × ১৮
⇒ x = (৮ × ১৮)/৪
∴ x = ৩৬  

প্রশ্ন: একটি নির্ভুল ঘড়িতে সময় দেখাচ্ছে সকাল ১০টা। ঘড়িটিতে দুপুর ২টা দেখাতে গেলে ঘণ্টার কাঁটা মোট কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা ১২ ঘণ্টায় মোট ৩৬০° ঘোরে।
∴ ১ ঘণ্টায় ঘোরে = ৩৬০°/১২ = ৩০° 

সকাল ১০টা থেকে দুপুর ২টা পর্যন্ত সময় ৪ ঘণ্টা

∴ মোট ঘূর্ণন হবে = ৩০° × ৪ = ১২০° 

প্রশ্ন: আজ রবিবার হলে, ২৯ দিন পরে কী বার হবে?

সমাধান:
সপ্তাহের প্রতিটি দিন ৭ দিন পর পর পুনরাবৃত্তি হয়।


∴ ২৯ ÷ ৭ = ৪ সপ্তাহ + ১ দিন।
= রবিবার + ১ দিন
= সোমবার

তাহলে, আজ রবিবার হলে, ২৯ দিন পরে সোমবার হবে। 

প্রশ্ন: ৬ জন লোক একটি কাজ ১৬ দিনে করতে পারে। ২ জন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি সমাধান করতে শতকরা কত দিন বেশি সময় লাগবে?

সমাধান:
এখানে, M₁ = ৬, M₂ = (৬ - ২) = ৪, D₁ = ১৬ , W₁ = W₂ = ১

∴ (M₁ × D₁)/(M₂ × D₂) = W₁/W₂
⇒ (৬ × ১৬)/(৪ × D₂) = ১
⇒ ২৪/D₂ = ১ 
⇒ D₂ = ২৪ 

∴ অতিরিক্ত সময় লাগবে (২৪ - ১৬) দিন 
= ৮ দিন

∴ শতকরা সময় বেশি লাগবে = {(৮/১৬) × ১০০}%
= {(১/২) × ১০০}% 
= ৫০%

প্রশ্ন: দুটি ট্রেন বিপরীত দিকে চলতে চলতে প্ল্যাটফর্মে দাঁড়িয়ে থাকা একজন ব্যক্তিকে যথাক্রমে ১৭ সেকেন্ড ও ৭ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেন দুটি একে অপরকে ১৩ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেন দুটির গতির অনুপাত কত?

সমাধান:
মনে করি, দুটি ট্রেনের বেগ যথাক্রমে x মি./সেকেন্ড  এবং y মি./সেকেন্ড

আমরা জানি, দূরত্ব = বেগ × সময়
∴ প্রথম ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১৭x মিটার 
এবং দ্বিতীয় ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৭y মিটার

এখন, মোট সময় = মোট দূরত্ব/মোট বেগ
⇒ (১৭x + ৭y)/(x + y) = ১৩
⇒ ১৭x + ৭y = ১৩x + ১৩y 
⇒ ৪x = ৬y
⇒ x/y = ৩/২
∴ x ∶ y = ৩ ∶ ২

প্রশ্ন: একটি পিপায় দুইটি নল সংযুক্ত আছে। প্রথম নলটি খুলে দিলে পিপাটি ২০ মিনিটে পূর্ণ হয়। দ্বিতীয় নলটি খুলে দিলে ৩০ মিনিটে পরিপূর্ণ পিপাটি খালি হয়। দুটি নল এক সঙ্গে খুলে দিলে খালি পিপাটি কত সময়ে পূর্ণ হয়?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা ২০ মিনিটে পূর্ণ হয় পিপাটির ১ অংশ
১ম নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় পিপাটির ১/২০ অংশ

২য় নল দ্বারা ৩০ মিনিটে খালি হয় পিপাটির ১ অংশ
২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে খালি হয় পিপাটির ১/৩০ অংশ

∴ উভয় নল দ্বারা 1 মিনিটে পূর্ণ হয়  = {(১/২০) - (১/৩০)} অংশ
= (৩ - ২)/৬০ অংশ 
= ১/৬০ অংশ

১/৬০ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
∴ ১(সম্পূর্ণ) অংশ পূর্ণ হয় (১ × ৬০)/১ মিনিটে
= ৬০ মিনিটে

প্রশ্ন: √4 × i⁴ এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
এখানে, √4 = √(2)² 
= 2
এবং i⁴ = (i²)²
= (- 1)²            [∵ i² = -1]
= 1

প্রদত্ত রাশি, √4 × i⁴ = 2 × 1 = 2

প্রশ্ন: B-এর বয়স A-এর দ্বিগুণ, কিন্তু E-এর বয়সের অর্ধেক। C-এর বয়স A-এর অর্ধেক, কিন্তু D-এর বয়সের দ্বিগুণ। সবচেয়ে বেশী বয়স্ক কে?

সমাধান:
ধরি, A = x
তাহলে, B = 2x
এবং B হলো E-এর বয়সের অর্ধেক
 ∴ E = 4x
আবার, C = x/2
এবং C হলো D-এর বয়সের দ্বিগুণ
 ∴ D = x/4

∴ সবচেয়ে বেশী বয়স্ক হচ্ছে E

প্রশ্ন: শব্দের গতি প্রতি সেকেন্ডে ৩৩০ মিটার হলে ২৭.৫ মিটার গভীর কোন কুয়ার কাছে দাঁড়িয়ে হাততালি দিলে কত সেকেন্ড পর প্রতিধ্বনি শোনা যাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, শব্দের বেগ ৩৩০ মি./সেকেন্ড 
এবং কুয়ার গভীরতা ২৭.৫ মিটার 
মোট দূরত্ব (২৭.৫ × ২) মি. = ৫৫ মি. 

∴ প্রতিধ্বনি শোনা যাবে (৫৫/৩৩০) সেকেন্ড পর
= ১/৬ সেকেন্ড পর।

প্রশ্ন: '?' চিহ্নিত স্থানে কোন সংখ্যাটি বসবে?



সমাধান:
এখানে,
ত্রিভুজের অভ্যন্তরে অবস্থিত সংখ্যা = (ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলোতে অবস্থিত সংখ্যাগুলোর যোগফল) ÷ 2

১ম ত্রিভুজে, (1 + 3 + 4)/2 = 8/2
= 4

২য় ত্রিভুজে, (7 + 7 + 6)/2 = 20/2
= 10

ধরি, '?' চিহ্নিত স্থানে x বসবে
৩য় ত্রিভুজে, (3 + 5 + x)/2 = 6
⇒ 8 + x = 12
⇒ x = 12 - 8
⇒ x = 4

∴ '?' চিহ্নিত স্থানে 4 বসবে। 

প্রশ্ন: A বিন্দু B বিন্দুর 8 মাইল দক্ষিণে, C বিন্দু A বিন্দুর 6 মাইল পশ্চিমে অবস্থিত। B থেকে C এর দূরত্ব কত?

সমাধান: 


B থেকে C এর দূরত্ব, BC = √{(AB)² + (AC)²}
= √(8² + 6²)
= √(64 + 36)
= √100
= 10 

প্রশ্ন: আয়নায় দেখা গেল ঘড়িতে ৪ টা ১৫ মিনিট বাজে। তখন প্রকৃতপক্ষে সময় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রকৃত সময় = ১১ : ৬০ − আয়নায় দেখা সময়

এখানে,
আয়নায় দেখা সময় = ৪ : ১৫

∴ প্রকৃত সময় = ১১ : ৬০ − ৪ : ১৫
= ৭ : ৪৫
= ৭ টা ৪৫ 

প্রশ্ন: একটি নৌকার বেগ ১০ কি.মি. এবং স্রোতের বেগ ৫ কি.মি.। নৌকাটি ৪৫ কি.মি. পথ গিয়ে আবার ফিরে আসতে মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
স্রোতের অনুকুলে নৌকার বেগ ঘণ্টায় ১৫ কি.মি.
এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ ঘণ্টায় ৫ কি.মি.

৪৫ কি.মি. অতিক্রম করতে সময় লাগে = ৪৫/১৫ ঘণ্টা
= ৩ ঘণ্টা 
 
এবং ৪৫ কি.মি. ফিরে আসতে সময় লাগে = ৪৫/৫ ঘণ্টা
= ৯ ঘণ্টা 

∴ মোট সময় লাগে = (৩ + ৯) ঘণ্টা
= ১২ ঘণ্টা

প্রশ্ন: চিত্রের '?' চিহ্নিত স্থানে কোন সংখ্যাটি বসবে?



সমাধান: 
এখানে,
১ম চিত্রে, (101 + 15) - (35 + 43) = 116 - 78
= 38 

২য় চিত্রে, (48 + 184) - (56 + 34) = 232 - 90
= 142

∴ চিত্রের '?' চিহ্নিত স্থানে 142 বসবে।

প্রশ্ন: শাকিল সোজা 4 কিলোমিটার যাবার পর বামদিকে 5 কিলোমিটার এবং তারপর আবার বাম দিকে 4 কিলোমিটার গেল। এখান থেকে প্রথম স্থানের দূরত্ব কত?

সমাধান: 



শেষ অবস্থান থেকে প্রথম স্থানের দূরত্ব = 5 কিলোমিটার।

প্রশ্ন: সামির যে সময়ে ৭ বার পদক্ষেপ দেয়, মাহিম ততক্ষণে ৮ বার পদক্ষেপ দেয়। কিন্তু মাহিম ৫ পদক্ষেপে যতদূর যায়; সামির ৪ পদক্ষেপে ততদূর যায়। সামির ও মাহিমের গতিবেগের অনুপাত নির্ণয় করুন।

সমাধান:
মাহিমের ৫ পদক্ষেপের দূরত্ব = সামিরের ৪ পদক্ষেপের দূরত্ব
মাহিমের ১ পদক্ষেপের দূরত্ব = সামিরের ৪/৫ পদক্ষেপের দূরত্ব
মাহিমের ৮ পদক্ষেপের দূরত্ব = সামিরের (৪ × ৮)/৫ পদক্ষেপের দূরত্ব
= ৩২/৫ পদক্ষেপের দূরত্ব

∴ সামিরের বেগ : মাহিমের বেগ = ৭ : (৩২/৫)
= ৩৫ : ৩২

প্রশ্ন: চিত্র X-এর সঠিক আয়না-প্রতিবিম্ব কোনটি?



সমাধান: 
আয়নায় প্রতিবিম্ব হলো বস্তুর উল্টা চিত্র অর্থাৎ বস্তুর ডানদিক মিরর ইমেজে বামদিক আবার বস্তুর বামদিক মিরর ইমেজে ডানদিক।   

                   

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা দুইটি নল দ্বারা পৃথক পৃথকভাবে যথাক্রমে ১৫ মিনিটে ও ২০ মিনিটে পূর্ণ হতে পারে। নল দুইটি একসঙ্গে খুলে রাখা হল। কিন্তু চৌবাচ্চার নিচে একটি ছিদ্র থাকায় খালি চৌবাচ্চাটি ১২ মিনিটে পূর্ণ হল। নল দুইটি বন্ধ থাকলে ঐ ছিদ্র দ্বারা পূর্ণ চৌবাচ্চাটি কত সময়ে খালি হবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা ১৫ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির ১ অংশ
১ম নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির ১/১৫ অংশ

২য় নল দ্বারা ২০ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির ১ অংশ
২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির ১/২০ অংশ

১ম ও ২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির {(১/১৫) + (১/২০)} অংশ
= (৪ + ৩)/৬০ অংশ
= ৭/৬০ অংশ

ছিদ্র দ্বারা ১২ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির ১ অংশ
ছিদ্র দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির ১/১২ অংশ

ধরি, ছিদ্রটি দ্বারা ১ মিনিটে খালি হয় = ক অংশ 

∴ (৭/৬০) - ক = ১/১২
⇒ ক = (৭/৬০) - (১/১২)
⇒ ক = (৭ - ৫)/৬০
⇒ ক = ২/৬০
⇒ ক = ১/৩০

ছিদ্র দ্বারা ১/৩০ অংশ খালি হয় = ১ মিনিটে 
∴ ছিদ্র দ্বারা ১ (সম্পূর্ণ) অংশ খালি হয় = (১ × ৩০) মিনিটে 
= ৩০ মিনিটে