প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

 প্রশ্ন: 4 + 10 + 16 + 22 + ..................  ধারাটির 15তম পদ কত? 

সমাধান: 
এখানে,
১ম পদ a = 4
সাধারণ অন্তর d = 10 - 4 = 6

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d 
15তম পদ = a + (15 - 1)d 
                 = 4 + 14 (6)
                 = 4 + 84
                 = 88

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার অর্ধেক থেকে তার এক-তৃতীয়াংশ বিয়োগ করলে বিয়োগফল 5 হবে? 
মনেকরি,
সংখ্যাটি x 

প্রশ্নমতে,
(x/2) - (x/3) = 5
(3x - 2x)/6 = 5
x/6 = 5 
x = 30

প্রশ্ন: 8 + 11 + 14 + 17 +................ধারাটির কোন পদ 305

সমাধান: 
এখানে
১ম পদ a = 8
সাধারণ অন্তর d =11 - 8= 3

আমরা জানি,
 n তম পদ = a + (n - 1)d
বা, 305 = 8 +(n - 1)×(3)
বা, 305=8 + 3n - 3
বা, 305 = 3n + 5
বা 3n = 305 - 5
বা 3n = 300
বা n = 300/3
   n  = 100

প্রশ্ন: কোনো প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 22 এবং বিয়োগফল 12 হলে, ভগ্নাংশটি কত? 

সমাধান: 
মনেকরি,
প্রকৃত ভগ্নাংশটির লব = x
প্রকৃত ভগ্নাংশটির হর = y
∴ ভগ্নাংশটি = x/y

প্রশ্নমতে,
x + y = 22 ...........(1)
y - x = 12 ..........(2)
(1) + (2) পাই 
2y = 34
y = 17
y এর মান (1) বসিয়ে পাই,
∴ x = 5

ভগ্নাংশটি = x/y = 5/17

প্রশ্ন: কোন ধারার n তম পদ 3n + 1 হলে, ধারাটি নিচের কোনটি?  

সমাধান: 
কোন ধারার n তম পদ 3n + 1 হলে
ধারাটির ১ম পদ = 3 × 1 + 1 = 3 + 1 = 4
ধারাটির ২য় পদ = 3 × 2 + 1= 6 + 1 = 7
ধারাটির ৩য় পদ = 3 × 3 + 1 = 9 + 1 = 10
ধারাটির ৪র্থ পদ = 3 × 4 + 1 = 12 + 1 = 13
ধারাটির ৫ম পদ = 3 × 5 + 1 = 15 + 1 = 16
........................................................................
ধারাটি:  4, 7, 10, 13, 16, .........................

প্রশ্ন: 2x + 3y = 7 এবং 6x - 7y = 5 হলে, (x, y) এর মান কত? 

সমাধান: 
2x + 3y = 7...................(1) 
6x - 7y = 5.....................(2)

(1) × 7 + (2) × 3 ⇒
14x + 21y + 18x - 21y = 49 + 15
32x = 64 
x = 2

x এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই 
 2 × 2 + 3y = 7
4 + 3y = 7
3y = 7 - 4
3y = 3
y = 1

নির্ণেয় সমাধান  (x, y) =  (2, 1)

প্রশ্ন: কোনো অনুক্রমের n তম পদ = {1 + (- 1)ⁿ}/2 হলে 10তম পদ কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
 n তম পদ = {1 + (- 1)ⁿ}/2
10তম পদ = {1 + (- 1)¹⁰}/2
                 = (1 + 1)/2
                 = 2/2 
                 = 1

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের অন্তর 4. সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তার ও মূল সংখ্যাটির যোগফল 110। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি,
একক স্থানীয় অংক = x
দশক স্থানীয় অংক = x + 4
∴ সংখ্যাটি = 10(x + 4) + x = 10x + 40 + x = 11x + 40

অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে প্রাপ্ত সংখ্যা = 10x + x + 4 = 11x + 4

 শর্তমতে,
11x + 40 + 11x + 4 = 110 
22x + 44 = 110
22x = 110 - 44
22x = 66
x = 66/22
x = 3

∴ সংখ্যাটি = 11 × 3 + 40 = 73

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 8তম পদ 27 হলে, এর প্রথম 15টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধরি 
সমান্তর ধারার ১ম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d  

8তম পদ = 27
‍a + (8 - 1)d = 27
a + 7d = 27

প্রথম 15টি পদের সমষ্টি S = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (15/2){2a + (15 - 1)d}
= (15/2){2a + 14d}
= 15 (a + 7d)
= 15 x 27
= 405

প্রশ্ন: x + 2y = 7 এবং 2x - 3y = 0 হলে, (x, y) = কত? 

সমাধান: 
x + 2y = 7......................(1)
2x - 3y = 0......................(2)

(1) × 3 + (2) × 2 ⇒ 
3x + 6y + 4x - 6y = 21
7x = 21
x = 3

(1)নং হতে পাই,
3 + 2y = 7
2y = 7 - 3
2y = 4
y = 2

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3,2)

প্রশ্ন: 3 + 8 + 13 + 18 +............... প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
এখানে
১ম পদ a = 3
সাধারণ অন্তর d = 8 - 3 = 5

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (10/2){2 × 3 + (10 - 1) × (5)}
= 5 {6 + 9 × (5)}
= 5 (6 + 45)
= 5 × 51
= 255

প্রশ্ন: 3x - 5y = - 9, 5x - 3y = 1 হলে (x, y) = কত? 

সমাধান:
3x - 5y = - 9...................(1)
5x - 3y = 1...................(2)

(1) × 3 - (2) × 5 ⇒
9x - 15y - 25x + 15y =- 27 - 5
- 16x = - 32
x = 2

x এর মান (2)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই 
5 × 2 - 3y = 1
10 - 3y = 1
- 3y = 1 - 10
- 3y = - 9 
y = 3

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 3)

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + 4² + ........... + 20² = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
1² + 2² + 3² + 4² + ........... + n² = (1/6){n(n+1)(2n + 1)} 

1² + 2² + 3² + 4² + ........... + 20² = (1/6){20(20+1)(2×20 + 1)}
                                       = (20×21×41)/6
                                        = 2870

প্রশ্ন: কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান: 
মনেকরি,
ভগ্নাংশটি x/y
.
১ম শর্তানুসারে,
(x + 7)/y = 2
x + 7 = 2y
x  - 2y = - 7..................(1) 

২য় শর্তানুসারে,
x /(y - 2) = 1
x = y - 2
x - y = - 2..................(2)

(1) - (2) ⇒
x  - 2y - (x - y) = - 7 - ( - 2)
x - 2y - x + y = - 7 + 2
- y = - 5
y = 5

y = 5 সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই,
x - 5 = - 2
x = 5 - 2
x = 3 

ভগ্নাংশটি 3/5

প্রশ্ন: {1/(2x + 1)} + {1/(2x + 1)²} + {1/(2x + 1)³} + ................... একটি গুণোত্তর ধারা। x = 3/2 হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত হবে?

সমাধান: 
দেয়া আছে, 
{1/(2x + 1)} + {1/(2x + 1)2} + {1/(2x + 1)3} + ................... 

 x = 3/2 হলে
{1/(2 × (3/2) + 1)} + {1/(2 × (3/2)  + 1)²} + {1/(2 × (3/2)  + 1)³} + ...................
1/4 + 1/4² + 1/4³ + ...................

সাধারণ অনুপাত = (1/4²)/(1/4)
                          = (1/16)/(1/4)
                          = (1/16) × (4/1)
                           = 1/4

প্রশ্ন: 3x - 4y = 0, 2x - 3y = - 1 হলে (x, y) এর মান কত?

সমাধান: 
3x - 4y = 0................(1)
2x - 3y = - 1................(2)

(1) × 3 - (2) × 4 ⇒
9x - 12y - 8x + 12y = 0 + 4
x = 4

x এর (1) নং এ বসিয়ে পাই,
3 × 4 - 4y = 0
12 - 4y = 0
4y = 12
y = 3

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (4,3)

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 1 এবং 1/2 হলে ধারাটির দশম পদ কত?

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
ধারাটির দ্বিতীয় পদ, ar^{2 - 1} = ar = 1/2

অতএব সাধারণ অনুপাত, r = (1/2)/1 = 1/2

∴ দশম পদ, ar^10-1
= 1(1/2)⁹
 = 1/2⁹
 = 1/512

প্রশ্ন: 4 + 8 + 16 + ..................... ধারাটির কোন পদ 512 ?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ a = 4
সাধারণ অনুপাত r= 8/4 = 2

n-তম পদ = ar^n-1
512 = 4.2^n-1
128 = 2^n-1
2^{n - 1} = 2⁷
n - 1 = 7 
n = 7 + 1
n = 8

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ২য় পদ 9 এবং ষষ্ঠ পদ 1/9 হলে, সাধারণ অনুপাত কত? 

সমাধান: 
গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ, a
সাধারণ অনুপাত, r
এখানে,
২য় পদ, ar^{2- 1} = ar = 9..................(1) এবং
ষষ্ঠ পদ, ar^{6 - 1} = ar⁵ = 1/9 ....................(2)

(2)নং ÷ (1)নং ⇒
ar5/ar = (1/9)/9
r⁴ = 1/(9 × 9)
r⁴ = 1/(3² × 3²)
r⁴ = (1/3)⁴
r = 1/3

প্রশ্ন: x + y = a - b, ax - by = a² + b² হলে (x, y) এর মান কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
x + y = a - b...............(1)
ax - by = a² + b² ...............(2)

(1) × b + (2) ⇒
bx + by + ax - by = ab - b² + a² + b²
ax + bx = ab + a²
x(a + b) = a(a + b)
x = a

(2) ⇒
a + y = a - b.
y = - b

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (a, - b) 

প্রশ্ন: 4, 4/3, 4/9,.............. ধারাটির ১ম ৫টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
প্রথম পদ a = 4
সাধারণ অনুপাত r = (4/3)/4
                            = (4/3) × (1/4)
                             = 1/3

S_n = a(1- rⁿ)/(1 - r)
     = 4{1 - (1/3)⁵}/{1 - (1/3)}
     =  4{1 - (1/243)}/{(3 - 1)/3}
     = 4{(243 - 1)/243}/{(3 - 1)/3}
     = 4 × (242/243) × (3/2)
     = 484/81

প্রশ্ন: x - 2y = 8, 3x - 2y = 4 সমীকরণ জোটের x এর মান কত? 

সমাধান: 
x - 2y = 8.................(1)
3x - 2y = 4.................(2)
(2) - (1) ⇒ 
3x - 2y - (x - 2y) = 4 - 8
3x - 2y - x + 2y = - 4
2x= - 4
x = - 2

প্রশ্ন: 6 + 12 + 24 + ..................  ধারারটির কোন পদ 384? 
সমাধান: 
ধারার ১ম পদ a = 6
সাধারণ অনুপাত r = 12/6 = 2

ধরি,
n তম পদ = 384
ar^{n -1}= 384
বা, 6 × 2^{n -1} = 384 
বা, 2^{n - 1} = 384/6
বা, 2^{n - 1} = 64 
বা, 2^{n - 1} = 2⁶
বা, n - 1 = 6
বা, n = 6 + 1
     n = 7

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ...........+ n³ = 1296, n এর মান কত?

সমাধান: 
1³ + 2³ + 3³ +...........+n³ = 1296
{n(n + 1)/2}² = 1296
n(n + 1)/2 = 36
n(n + 1) = 72
n² + n - 72 = 0
n² + 9n - 8n - 72= 0
n(n + 9) - 8(n + 9) = 0
(n - 8)(n + 9) = 0

হয়                     অথবা
n - 8 = 0                   n + 9 = 0
n = 8                          n = - 9  [গ্রহণযোগ্য নয়, কেননা n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না]