ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: ΔABC এ AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
 

সমাধান:
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
ABC একটি ত্রিভুজ। D ও E যথাক্রমে ত্রিভুজটির AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু।
DE = BC/2

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ১৩০ মিটার ও ৯০ মিটার। বাগানটির দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ১০% বৃদ্ধি করলে নতুন বাগানটির ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
২০% বৃদ্ধিতে, নতুন দৈর্ঘ্য = ১৩০ + ১৩০ এর ২০%
= ১৩০ + {১৩০ × (২০/১০০)}
= ১৫৬ মিটার

১০% বৃদ্ধিতে, নতুন প্রস্থ = ৯০ + ৯০ এর ১০%
= ৯০ + {৯০ × (১০/১০০)
= ৯৯ মিটার

∴ নতুন বাগানের ক্ষেত্রফল = ১৫৬ × ৯৯ বর্গমিটার
= ১৫৪৪৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর পরিমাণ যথাক্রমে 3, 5 ও 7 হলে,  ত্রিভুজটি হবে-

প্রশ্ন: ট্রাপিজিয়ামের দুটি সমান্তরাল বাহু যথাক্রমে ৮ সে.মি. ও ১০ সে.মি. এবং তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৭ সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা
= (১/২) × (৮ + ১০) × ৭
= (১/২) × ১৮ × ৭
= ৬৩ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি ফুলের বাগানের দৈর্ঘ্য 150 মিটার এবং প্রস্থ 100 মিটার। বাগানটিকে পরিচর্যা করার জন্য ঠিক মাঝ দিয়ে 3 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আয়তাকার একটি ফুলের বাগানের দৈর্ঘ্য 150 মিটার এবং প্রস্থ 100 মিটার।

দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = 150 × 3 = 450 বর্গমিটার
প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = (100 - 3) × 3 = 291 বর্গমিটার
রাস্তার ক্ষেত্রফল = (450 + 291) বর্গমিটার
= 741 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৩৬ বর্গমিটার এবং ভূমি ৯ মিটার হলে, সামান্তরিকের উচ্চতা কত?

সমাধান:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৩৬ বর্গমিটার 
সামান্তরিকের ভূমি = ৯ মিটার 
∴ সামান্তরিকের উচ্চতা = ৩৬/৯
= ৪ মিটার

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৮ সে.মি. ও ১৬ সে.মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ১৬
= ৬৪ বর্গ সে.মি.

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৬৪ বর্গ সে.মি.
⇒ (বাহুর দৈর্ঘ্য)^২ = ৬৪
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = √৬৪
∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = ৮ সে.মি.

∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য
= ৪ × ৮
= ৩২ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৬ সে.মি. এবং প্রস্থ ১০ সে.মি. আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে ২০ সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = ১৬ × ১০ = ১৬০ বর্গ সে.মি.
নতুন আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ক সে.মি. হলে,
ক্ষেত্রফল = ২০ক বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে,
২০ক = ১৬০
⇒ ক = ১৬০/২০
∴ ক = ৮ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ৩৩৮ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = ক মিটার 
তাহলে, দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার

প্রশ্নমতে,
২ক × ক = ৩৩৮
⇒ ২ক^২ = ৩৩৮
⇒ ক^২ = ১৬৯
∴ ক = ১৩

এখন, প্রস্থ = ১৩ মিটার
দৈর্ঘ্য = ১৩ × ২ = ২৬ মিটার
∴ পরিসীমা = ২(১৩ + ২৬)
= ৭৮ মিটার

প্রশ্ন: 7 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বর্গের কর্ণ = √2 × বাহু
= 7√2 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য অপর একটি বর্গের পরিসীমার সমান হলে প্রথম ও দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যের অনুপাত হবে-

সমাধান:
ধরি,
২য় বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ ২য় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a

তাহলে,
১ম বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 4a

∴ ১ম ও ২য় বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = 4a : a
= 4 : 1

প্রশ্ন: দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 36 : 25। তাদের পরিসীমার অনুপাত কত? 

সমাধান: 
ধরি,
ক্ষেত্রফল 36x, 25x 

বাহুর দৈর্ঘ্য √(36x) বা 6√x, √(25x) বা 5√x 

পরিসীমা 24√x,  20√x 

পরিসীমার অনুপাত = 24√x : 20√x 
= 6 : 5 

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 120 বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ 24 সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি, সামান্তরিকক্ষেত্রের একটি কর্ণ d = 24 সে. মি.
এবং এর বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য = h সে.মি.
∴ সামান্তরিকক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = dh বর্গ সে.মি

প্রশ্নমতে,
dh = 120
বা, h = 120/d
বা, h =120/24
∴ h = 5

∴ নির্ণেয় লম্বের দৈর্ঘ্য 5 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গের কর্ণের উপর একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলে অঙ্কিত ত্রিভুজ ও বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত? 

সমাধান: 
মনেকরি, 
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য= a একক
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a একক 
 বর্গের ক্ষেত্রফল = a² 

সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √2a একক 
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (√2a)²
 = (√3/4) ×2a²
= √3a²/2

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ও বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত =√3a²/2 : a² 
 =√3/2 : 1 
=√3 : 2