Math Master

- ঘনবস্তু ত্রিমাত্রিক অর্থাৎ ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা আছে।
- তল দ্বিমাত্রিক অর্থাৎ, তলের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, কিন্তু উচ্চতা নাই।
- রেখা একমাত্রিক অর্থাৎ, রেখার শুধু দৈর্ঘ্য আছে, প্রস্থ ও উচ্চতা নাই।
- বিন্দুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা কিছুই নাই, শুধু অবস্থান আছে।

- সামান্তরিকের যেকোনো দুইটি সন্নিহিত কোণের সমদ্বিখণ্ডক পরস্পর লম্ব।


 এখানে, ABCD সামান্তরিকের ∠A এর সমদ্বিখণ্ডক AO এবং সন্নিহিত কোণ ∠B এর সমদ্বিখণ্ডক BO  পরস্পর লম্ব।

সূত্র- ৮ম শ্রেণির গণিত বই।

প্রশ্ন- একটি রম্বসের পরিসীমা ১৮০ সেমি এবং ক্ষুদ্রতর কর্ণটি ৫৪ সেমি। রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান-
রম্বসের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 180/4 = 45 সেমি
 

AO² + DO² = AD²
⇒ 27² + DO² = 45²
⇒ DO² = 1296
⇒ DO = 36

রম্বসের অপর কর্ণ = 36 + 36 = 72 সেমি

রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × 54 × 72 = 1944 বর্গ সেমি

প্রদত্ত চিত্রে AB ।। CD এবং ∠BGH = 120° হলে ∠GHC = ?

∠BGH = একান্তর ∠GHC
∴ ∠GHC = 120°

প্রবৃদ্ধ কোণ:
- দুই সমকোণ অপেক্ষা বড় কিন্তু চার সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- একটি কোণের পরিমান ২৭০° হলে সেটি প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার কক্ষ ৮ মিটার লম্বা একটি পার্টিশন দ্বারা দুটি সমান বর্গাকার কক্ষে ভাগ করা হলো। আয়তাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান-

রুমটির দৈর্ঘ্য = ৮ + ৮ = ১৬ মি.
রুমটির প্রস্থ = ৮ মি
রুমের ক্ষেত্রফল = ১৬ × ৮ = ১২৮ বর্গ মি.

প্রশ্ন- ABCD সামান্তরিকের DC ভূমিকে E পর্যন্ত বাড়ানো হলো। যদি ∠BAD = 100° হলে, ∠BCE = ?

সমাধান-

সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো সমান।
∴ ∠BAD = ∠BCD = 100°

আবার, 
∠BCD + ∠BCE = 180°
⇒ 100° + ∠BCE = 180°
⇒ ∠BCE = 80°

প্রদত্তচিত্রে y এর মান কত?

সমাধান-
7x + 5x = 180°
⇒ 12x = 180°
⇒ x = 15°

আবার,
5x + y + 60° = 180°
⇒ 5 × 15° + y + 60° = 180°
⇒  75° + y + 60° = 180°
⇒  y = 45°

প্রশ্ন- একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করা হলে এর ক্ষেত্রফল কত শতাংশ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান-
মনে করি,
১ম বর্গের বাহু = x একক
২য় বর্গের বাহু = 2x একক

১ম বর্গের ক্ষেত্রফল = x² বর্গ একক
২য় বর্গের ক্ষেত্রফল = (2x)² = 4x² বর্গ একক

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = 4x² - x² = 3x²

শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (3x²/x²) × 100 = 300%

প্রশ্ন- একটি আয়তাকার মাঠের কর্ণ ১৫ মিটার। দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের পার্থক্য ৩ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান-
মনে করি, 
আয়াতাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে x এবং y মি.

শর্তমতে,
√(x² + y²) = 15
⇒ x² + y² = 225
⇒ (x - y)² + 2xy = 225
⇒ 3² + 2xy = 225 [ x - y = 3]
⇒ 2xy = 216
⇒ xy = 108

প্রশ্ন- একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সেমি ও ১৮ সেমি এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব ১০ সেমি হলে এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি?

সমাধান-
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি × লম্ব দূরত্ব
= (১/২) × (১২ + ১৮) × ১০
= ১৫০ বর্গ সেমি

প্রশ্ন- একটি আয়তাকার জমির চারিদিকে প্রতি মিটার ২০০ টাকা হিসেবে প্রাচীর নির্মাণ করতে ৪৬০০০ টাকা খরচ হয়। যদি জমির প্রস্থ ও দৈর্ঘ্যের অনুপাত ১০ : ১৩ হয়, তবে জমিটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান-
আয়তাকার জমির পরিসীমা = ৪৬০০০/২০০ = ২৩০ মি.

মনে করি,
প্রস্থ ও দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১০ক এবং ১৩ক

শর্তমতে,
২(১০ক + ১৩ক) = ২৩০
⇒ ৪৬ক = ২৩০
⇒ ক = ৫

দৈর্ঘ্য = ১৩ × ৫ = ৬৫ মি
প্রস্থ = ১০ × ৫ = ৫০ মি

∴ ক্ষেত্রফল = ৬৫ × ৫০ = ৩২৫০ বর্গ মিটার

প্রশ্ন- একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৫০% বৃদ্ধি করে, প্রস্থ কত শতাংশ কমালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

সমাধান-
মনে করি, 
দৈর্ঘ্য = ১০ মি. এবং প্রস্থ = ১০ মি.
ক্ষেত্রফল  = ১০ × ১০ = ১০০ বর্গ মি.

নতুন দৈর্ঘ্য = ১০ এর ১৫০% = ১৫ মি.
ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকলে, প্রস্থ হবে = ১০০/১৫ মি.

প্রস্থ কমবে = ১০ - (১০০/১৫) মি.
= (১৫০ - ১০০)/১৫ মি
= ৫০/১৫ মি.

প্রস্থ শতকরা কমবে = {৫০/(১৫ × ১০)} × ১০০ = ৩৩.৩৩%

আয়তক্ষেত্রের সন্নিহিত বাহুর মধ্যবিন্দুগুলো যোগ করলে যে চতুর্ভুজ তৈরি হয় তা রম্বস।

PQRS আয়তক্ষেত্রের সন্নিহিত বাহুর মধ্যবিন্দুগুলো যোগ করলে ABCD রম্বস তৈরি হয়। 

সূত্র: গণিত (৮ম শ্রেণি)

প্রশ্ন- একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ১৮০ বর্গ সেমি এবং এর একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ২০ সেমি হলে অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান-
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × একটি কর্ণ × অপর কর্ণ 
⇒ ১৮০ = (১/২) × ২০ × অপর কর্ণ 
⇒ অপর কর্ণ = ১৮০/১০ = ১৮ 

চিত্রে PQ || SR, PQ = PR এবং ∠PRQ = 50° হলে ∠PRS হলে কত?



PQ = PR বিধায়, ∠PRQ = ∠PQR = 50° 
PQ || SR বিধায়, অনুরূপ কোণ ∠LRS = 50°

∴ ∠PRS = 180 - ∠LRS - ∠PRQ
= 180 - 50 - 50
= 80°

প্রশ্ন- ৪৫ মি. দৈর্ঘ্য এবং ৪০ মি. প্রস্থ একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান-
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৪৫ × ৪০ = ১৮০০ বর্গ মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১৮০০  বর্গ মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের বাহু = √১৮০০ মি.

শর্তমতে,
কর্ণের দৈর্ঘ্য = √২ × বাহু 
 = √২ × √১৮০০
= √৩৬০০
= ৬০