গুরুত্বপূর্ণ টপিকের উপর পরীক্ষা - ১৩৫ মার্কস্‌ কাভার

প্রশ্ন: যদি a⁴ + a²b² + b⁴ = 3 এবং a² + ab + b² = 3 হয়, তবে a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a⁴ + a²b² + b⁴ = 3 এবং a² + ab + b² = 3 ...........(1)
⇒ a⁴ + a²b² + b⁴ = 3
⇒ (a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b² = 3
⇒ (a² + b²)² - (ab)² = 3
⇒ (a² + b² + ab)(a² + b² - ab) = 3
⇒ (a² + ab + b²)(a² - ab + b²) = 3 
⇒ 3(a² - ab + b²) = 3 [মান বসিয়ে]
⇒ a² - ab + b² = 3/3
∴ a² - ab + b² = 1 ........(2)

এখন, (1) + (2) যোগ করে পাই,
⇒ 2(a² + b²) = 4
⇒ a² + b² = 4/2 
∴ a² + b² = 2

প্রশ্ন: 16a³ - 46a² + 15a কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন-

সমাধান: 
16a³ - 46a² + 15a
= a(16a² - 46a + 15)
= a(16a² - 40a - 6a + 15)
= a {8a(2a - 5) - 3(2a - 5)}
= a(2a - 5)(8a - 3)

প্রশ্ন: 4x + 4 > 16 অসমতাটির সমাধান সেট নির্ণয় করুন- 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4x + 4 > 16
⇒ 4x + 4 - 4 > 16 - 4 [উভয়পক্ষ থেকে 4 বিয়োগ করে] 
⇒ 4x > 12
⇒ (4x)/4 > 12/4 [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা ভাগ করে]
∴ x > 3

∴নির্ণেয় সমাধান x > 3
এবং সমাধান সেট, S = {x ∈ R : x > 3}

প্রশ্ন: সমাধান করুন: 9^{(x + 1)} = 81

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
9^{(x + 1)} = 81
⇒ (3²)^{(x + 1)} = 3⁴
⇒ 3^{2(x + 1)} = 3⁴
⇒ 2x + 2 = 4
⇒ 2x = 4 - 2
⇒ 2x = 2
⇒ x = 2/2
∴ x = 1

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + 4 + ……………. + 77 = কত? 

সমাধান:
আমরা জানি, 
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2

∴  77 স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = 77(77 + 1)/2
= (78 × 77)/2
= 39  × 77
= 3003

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ২০ বার ঘুরে। চাকাটি ৯ সেকেন্ডে কত ডিগ্রী ঘুরবে?

সমাধান:
একটি গাড়ির চাকা,
৬০ সেকেন্ডে ঘুরে ২০ বার
১ সেকেন্ডে ঘুরে ২০/৬০ বার
∴ ৯ সেকেন্ডে ঘুরে (৯ × ২০)/৬০ বার
= ৩ বার

∴ চাকাটি ১ বারে ঘুরে = ৩৬০°
∴ চাকাটি ৩ বারে ঘুরে = (৩ × ৩৬০°) = ১০৮০°

অতএব, চাকাটি ৯ সেকেন্ডে ১০৮০° ঘুরবে।

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 9 হলে অন্য সদস্যজোড় নিচের কোনটি?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
পিথাগোরাস ত্রয়ী হলো তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি সেট, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।

তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b² শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।

যেমন:
(3, 4, 5)
(5, 12, 13)
(7, 24, 25)
(8, 15, 17)
(9, 40, 41)

এখানে,
9² + 40² = 41²
81 + 400 = 481
481 = 481

প্রশ্ন: a + b + c = 5 এবং ab + bc + ac = 6 হলে, (a + b)² + (b + c)² + (c + a)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 5 এবং ab + bc + ac = 6

প্রদত্ত রাশি, 
(a + b)² + (b + c)² + (c + a)²
= a² + 2ab + b² + b² + 2bc + c² + c² + 2ca + a²
= 2(a² + b² + c²) + 2ab + 2bc + 2ca
= 2{(a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)} + 2(ab + bc + ca)
= 2{5² - 2 × 6} + 2 × 6
= 2(25 - 12) + 12
= 2 × 13 + 12
= 26 + 12
= 38

প্রশ্ন: (a + b)³ + (a - b)³ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন:

সমাধান:
আমরা জানি,
(x + y)³ = x³ + y³ +3xy(x + y)
এখন,
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
(a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b)

প্রদত্ত রাশি, 
(a + b)³ + (a - b)³
= a³ + b³ + 3ab(a + b) + a³ - b³ - 3ab(a - b)
= 2a³ + 3ab{(a + b) - (a - b)}
= 2a³ + 3ab(a + b - a + b)
= 2a³ + 3ab(2b)
= 2a³ + 6ab²
= 2a(a² + 3b²)

প্রশ্ন: (x/3) + (x/4) + (x/5) < 47/60 এর সমাধান- 

সমাধান:
 (x/3) + (x/4) + (x/5) < 47/60
⇒ (20x + 15x + 12x)/60 < 47/60 
⇒ 47x < 47
⇒ x < 1

∴নির্ণেয় সমাধান: (- ∞, 1)

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: 256 + 128 + 64 + 32 + ------  ধারাটির সাধারণ পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = 256
সাধারণ অনুপাত, r = 128/256 = 1/2

আমরা জানি, 
সাধারণ পদ বা n-তম পদ = ar^{n - 1}
= 256 × (1/2)^{n - 1}
= 2⁸ × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{- 8} × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{n - 1 - 8}
= 1/2^{n - 9}
= 2^{-(n - 9)}
= 2^{9 - n}

প্রশ্ন: যদি কোন বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 90 সে.মি. হয় তবে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
অতএব, বৃত্তের ব্যাস = 2r
এবং বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 90
⇒ 2r(π - 1) = 90
⇒ 2r(22/7 - 1) = 90
⇒ 2r((22 - 7)/7) = 90
⇒ 2r(15/7) = 90
⇒ 30r/7 = 90
⇒ 30r = 90 × 7
⇒ r = (90 × 7)/30
⇒ r = 3 × 7
∴ r = 21

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ হলো 21 সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি মইয়ের এক প্রান্ত ভূমি থেকে 15 মিটার উঁচু ঘরের শীর্ষবিন্দু বরাবর পৌঁছায় এবং অপর প্রান্ত ঘর থেকে 8 মিটার দূরে থাকে। মইটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 

মনে করি, 
ঘরের শীর্ষবিন্দুর অবস্থান = A,
ঘরের উচ্চতা AB = 12 মিটার,
ঘর থেকে মইয়ের নিচের প্রান্তের দূরত্ব BC = 5 মিটার,
মইটির দৈর্ঘ্য = AC

ABC সমকোণী ত্রিভুজে,
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
AC² = AB² + BC²
⇒ AC² = 15² + 8²
⇒ AC² = 225 + 64
⇒ AC² = 289
⇒ AC = √289
⇒ AC = 17

∴ মইটির দৈর্ঘ্য = 17 মিটার

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: (x² - 8x + 15) ও (x² - 10x + 21) এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
প্রথম উৎপাদক, 
x² - 8x + 15
= x² - 5x - 3x + 15
= x(x - 5) - 3(x - 5)
= (x - 5)(x - 3)

দ্বিতীয় বহুপদী,
x² - 10x + 21
= x² - 7x - 3x + 21
= x(x - 7) - 3(x - 7)
= (x - 7)(x - 3)

সুতরাং, সাধারণ উৎপাদক: (x - 3)

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় বাংলা ১ম ও ২য় পত্রে রমা পেয়েছে যথাক্রমে 5x এবং 6x নম্বর এবং কুমকুম পেয়েছে 4x এবং 84 নম্বর। কোনো পত্রে কেউ 40 এর নিচে পায়নি। বাংলা বিষয়ে কুমকুম হয়েছে প্রথম এবং রমা হয়েছে দ্বিতীয়। x এর মান সম্ভাব্য অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করুন।

সমাধান: 
রমা পেয়েছে মোট (5x + 6x = 11x) নম্বর
এবং কুমকুম পেয়েছে মোট (4x + 84) নম্বর।  

প্রশ্নমতে,
5x + 6x < 4x + 84
⇒ 5x + 6x - 4x < 84
⇒ 7x < 84
⇒ x < 84/7
∴ x < 12

কিন্তু, 4x ≥ 40   ; [প্রাপ্ত সর্বনিম্ন নম্বর 40]
x ≥ 10
⇒ 10 ≤ x 

∴ 10 ≤ x < 12

প্রশ্ন: যদি √(5a²) = 20 হয়, তবে a এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
√(5a²) = 20
⇒ 5a² = 20² ; [দুই পক্ষের বর্গ করে]
⇒ 5a² = 400
⇒ a² = 400/5
⇒ a² = 80
⇒ a = ± √80
⇒ a = ± √(16 × 5)
∴ a = ± 4√5

প্রশ্ন: রহিম প্রথম মাসে ৫০০ টাকা সঞ্চয় করেন এবং প্রতি মাসে পূর্বের চেয়ে ৫০ টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি প্রথম ১৫ মাসে মোট কত টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর অনুক্রম।
প্রথম পদ, a = ৫০০ টাকা
সাধারণ অন্তর, d = ৫০ টাকা
পদ সংখ্যা, n = ১৫

আমরা জানি, 
প্রথম n পদের সমষ্টি, S_n = (n/২) × [২a + (n - ১)d]
∴ S_১৫ = (১৫/২) × [২ × ৫০০ + (১৫ - ১) × ৫০]
= (১৫/২) × [১০০০ + ১৪ × ৫০]
= (১৫/২) × [১০০০ + ৭০০]
= (১৫/২) × ১৭০০
= ১৫ × ৮৫০
= ১২৭৫০ টাকা

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: x³ - 6x² + ax - 8 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x - 4) হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x³ - 6x² + ax - 8
যেহেতু (x - 4) একটি উৎপাদক, সেহেতু f(4) = 0

এখন, 
f(4) = (4)³ - 6(4)² + a(4) - 8
= 64 - 6 × 16 + 4a - 8
= 64 - 96 + 4a - 8
= (64 - 96 - 8) + 4a
= - 40 + 4a

শর্তমতে,
f(4) = 0
⇒ 4a - 40 = 0
⇒ 4a = 40
∴ a = 10

প্রশ্ন: - 1 < x < 5 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করলে হবে-

সমাধান:
⇒ - 1 < x < 5
⇒ - 1 - 2 < x - 2 < 5 - 2
⇒ - 3 < x - 2 < 3
⇒ |x - 2| < 3

∴ সমাধান: |x - 2| < 3

প্রশ্ন: 1600 এর লগ 4 হলে লগের ভিত্তি কত?

সমাধান:
ধরি, ভিত্তি = a

প্রশ্নমতে,
log_a 1600 = 4
⇒ a⁴ = 1600
⇒ a⁴ = (40)²
⇒ a⁴ = (4 × 10)²
⇒ a⁴ = {(2√10)²}²
⇒ a⁴ = (2√10)⁴
⇒ a = 2√10

অর্থাৎ 1600 এর লগ 4 হলে লগের ভিত্তি হবে 2√10

প্রশ্ন: log2+ log4 + log8 + .............. ধারাটির প্রথম বারোটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম বারোটি পদের সমষ্টি
= log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম বারোটি পদের সমষ্টি
= log2¹ + log2² + log2³ +............... + প্রথম বারোটি পদের সমষ্টি
= 1log2 + 2log2 + 3log2 +  ............... + প্রথম বারোটি পদের সমষ্টি
= log2(1 + 2 + 3 + 4 + ............... + 12)
= log2{12(12 + 1)/2}
= log2(6 × 13)
= log2 × 78
= 78log2

প্রশ্ন: 14 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 14 সে.মি.
তাহলে, ব্যাস = 2r = (14 × 2) = 28 [যা বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান]

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (1/2) × (কর্ণ)²
= (1/2) × (28)²
= 784/2
= 392 বর্গ সে.মি.

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 392 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 9 তম পদ 58 হলে, এর প্রথম 17 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
9 তম পদ = 58 

ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r 

আমরা জানি, 
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 9 তম পদ = a + (9 - 1)d
= a + 8d

শর্তমতে, 
a + 8d = 58 

এখন, 
প্রথম n পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d} 
∴ প্রথম 17 টি পদের সমষ্টি = (17/2){2a + (17 - 1)d} 
= (17/2)(2a + 16d) 
= (17/2) × {2(a + 8d)}
= (17/2) × 2 × 58 [∴ a + 8d = 58]
= 17 × 58
= 986

∴  সমান্তর ধারাটির প্রথম 17 টি পদের সমষ্টি = 986.

প্রশ্ন: প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 441 হলে n এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = 441

শর্তমতে, 
{n(n + 1)/2}² = 441 
⇒ {n(n + 1)/2}² = (21)²
⇒ n(n + 1)/2 = 21 
⇒ n(n + 1) = 42 
⇒ n² + n - 42 = 0 
⇒ n² + 7n - 6n - 42 = 0 
⇒ n(n + 7) - 6(n + 7) = 0 
⇒ (n + 7) (n - 6) = 0 
হয়, 
⇒ n + 7 = 0 
∴ n = - 7 [n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না] 

অথবা, n - 6 = 0 
∴ n = 6

প্রশ্ন: 

সমাধান: