Math Master

প্রশ্ন: ২৫০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ৫০ সেকেন্ডে ট্রেনটির চেয়ে ৩ গুণ লম্বা একটি প্লাটফর্ম অতিক্রম করে। ট্রেনটি ঘণ্টায় কত কিলোমিটার বেগে চলে? 

সমাধান:
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২৫০ মিটার 
 প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য = (২৫০ × ৩) = ৭৫০ মিটার 

ট্রেনটি ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = (৭৫০ + ২৫০)/৫০ 
                                                     = ২০ মিটার 
ট্রেনের গতিবেগ = ২০ × (১৮/৫) কি.মি/ঘণ্টা 
                           = ৭২ কি.মি/ঘণ্টা

প্রশ্ন: ক ও খ দুইটি নল একটি ট্যাঙ্ক যথাক্রমে ৩০ মিনিট ও ২০ মিনিটে পূর্ণ করতে পারে।  উভয় নল একসাথে খুলে দিলে ট্যাংকটি কত সময়ে পূর্ণ হবে? 

সমাধান: 
ক নল দ্বারা ৩০ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির ১ অংশ 
ক নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির ১/৩০ অংশ

খ নল দ্বারা ২০ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির ১ অংশ
খ নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির ১/২০ অংশ  

ক ও খ নল দ্বারা 
১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = (১/৩০) + (১/২০) অংশ  
                                              = (২ + ৩)/৬০ অংশ  
                                                = ১/১২  অংশ  
ক ও খ নল দ্বারা 
চৌবাচ্চাটির ১/১২ অংশ  পূর্ণ হয় = ১ মিনিটে 
চৌবাচ্চাটির ১ অংশ (সম্পূর্ণ) পূর্ণ হয় = (১ × ১২)/১ মিনিটে 
                                                       = ১২ মিনিটে

প্রদত্ত (X) চিত্রটি আয়নায় দেখানো প্রতিবিম্ব হবে অপশন ঘ   

প্রশ্ন: A একটি কাজ করতে পারে ১৫ দিনে এবং B পারে ২০ দিনে।  যদি তারা একত্রে ৪ দিন কাজ করে তাহলে কত অংশ কাজ অসম্পূর্ণ থাকবে? 

সমাধান:
A ১ দিনে করতে পারে কাজটির = ১/১৫ অংশ 
B  ১ দিনে করতে পারে কাজটির = ১/২০ অংশ 

(A + B) ১ দিনে করতে পারে কাজটির = (১/১৫) + (১/২০) অংশ 
                                                         = (৪ + ৩)/৬০
                                                           = ৭/৬০ 
A + B) ৪ দিনে করতে পারে কাজটির =(৭ × ৪)/৬০ অংশ 
                                                         = ৭/১৫

অবশিষ্ট কাজ = ১ - (৭/১৫) অংশ
                      = (১৫ - ৭)/১৫ 
                      = ৮/১৫ অংশ 

প্রশ্ন: যদি ২০০৮ সালের ৩ জানুয়ারি বৃহস্পতিবার হয়, তবে ঐ বছরের ৭ মার্চ কী বার ছিল? 

সমাধান: 
২০০৮ সালের ৩ জানুয়ারি বৃহস্পতিবার থেকে ৭ মার্চ পর্যন্ত = ৬৫ দিন 
আমরা জানি,
যে কোনো তারিখ হতে ৭ দিন পর পর (৮ম দিনে) একই বার পাওয়া যায়।
অর্থ্যাৎ, শুক্রবারের ৭ দিন পর বা ৮ম দিনে গিয়ে আবার শুক্রবার পাওয়া যাবে।

প্রশ্নে, ৬৫ দিন = (৯ × ৭) + ২ দিন  = (৬৩ + ২) দিন 
৬৪ তম দিন = বৃহস্পতিবার 
৬৫ তম দিন = শুক্রবার 

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৯০ কিলোমিটার বেগে এর দ্বিগুণ লম্বা একটি প্লাটফর্ম ৩৬ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
ধরি,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = x মিটার 
 প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ২x মিটার 

ট্রেনটি ৩৬০০ সেকেন্ডে  অতিক্রম করে ৯০০০০ মিটার 
ট্রেনটি ১ সেকেন্ডে  অতিক্রম করে ৯০০০০/৩৬০০ মিটার
ট্রেনটি ৩৬ সেকেন্ডে  অতিক্রম করে (৯০০০০ × ৩৬)/৩৬০০ মিটার  
                                                    = ৯০০ মিটার 
প্রশ্নমতে,
৩x = ৯০০ 
x  = ৩০০ 

ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৩০০ মিটার

প্রশ্ন: ২০১১ সালের ১লা জানুয়ারি শনিবার হলে, ২০১৩ সালের ১লা জানুয়ারি কী বার হবে? 

সমাধান: 
লিপ ইয়ার বাদে বাকি সব বছরের প্রথম দিন এবং শেষ দিন একই বার হয়।
লিপ ইয়ার হলে একদিন বাড়তি যোগ করতে হয়।
২০১১ সালের ১লা জানুয়ারি শনিবার হলে ৩১ ডিসেম্বর শনিবার 
২০১২ সালের ১লা জানুয়ারি রবিবার হলে ৩১ ডিসেম্বর সোমবার 
২০১৩ সালের ১লা জানুয়ারি মঙ্গলবার 

প্রশ্ন: জাহিদ 8 মিটার উত্তর দিকে হাঁটার পর বামে ঘুরে 15 মিটার হাঁটলো। তারপর ডানে ঘুরে 7 মিটার হাঁটার পর আবারও ডানে ঘুরে 15 মিটার হেঁটে গেল।  যাত্রা শুরুর স্থান থেকে জাহিদের বর্তমান অবস্থান কত দূরে? 

সমাধান: 
যাত্রা শুরুর স্থান A 
গন্তব্য স্থান E 
নির্ণেয় দূরত্ব AE = (7 + 8) = 15 মিটার 

প্রশ্ন: একটি নল অন্য একটি নলের 3গুণ গতিতে একটি ট্যাংক পূর্ণ করতে পারে। যদি দুইটি নল খুলে দেয়া হয়, ট্যাংকটি পূর্ণ হতে 35 মিনিট লাগে। ধীর গতির নলটি কত সময়ে ট্যাংকটি পূর্ণ করতে পারে? 

সমাধান: 
ধীর গতির নলটি ট্যাংকটি পূর্ণ করতে পারে = x মিনিটে 
দ্রুত গতির নলটি ট্যাংকটি পূর্ণ করতে পারে = x/3 মিনিটে

প্রশ্নমতে,
1/x + 3/x = 1/35
⇒ (1 + 3)/x = 1/35
⇒  4/x = 1/35
⇒ x = 35 × 4
⇒ x = 140 মিনিট

প্রশ্ন: ৯৭২ কে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে? 

সমাধান: 
৯৭২ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৩ × ৩ 
          = (২ × ২) × (৩ × ৩) × (৩ × ৩) × ৩

এখানে ৩ জোড়া  বিহীন 
৯৭২ কে ৩ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। 

প্রশ্ন: স্থির পানিতে একটি নৌকার বেগ ১৫ কি.মি./ঘণ্টা এবং স্রোতের বেগ ৩ কি.মি./ঘণ্টা। স্রোতের অনুকূলে নৌকাটি ১৫ মিনিটে কতটুকু দূরত্ব অতিক্রম করবে? 

সমাধান: 
স্রোতের অনুকূলে গতি = (১৫ + ৩) = ১৮ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের অনুকূলে নৌকাটি ১৫ মিনিটে অতিক্রম করবে = ১৮ × (১৫/৬০)
                                                                                   = ৪.৫ কি.মি. 

প্রশ্ন: ০.০০০৩৬১ এর বর্গমূল কত হবে?

সমাধান: 
০.০০০৩৬১ এর বর্গমূল = √০.০০০৩৬১
                                     = ০.০১৯

প্রশ্ন: জাহেদ সাহেব বাড়ি থেকে বের হয়ে ৩ কি.মি. দক্ষিণে গিয়ে বাম দিকে ৫ কি.মি. গেলেন। এরপর বাম দিকে ৩ কি.মি. গিয়ে তিনি পুনরায় বামে ঘুরে ৫ কি.মি. গেলেন। জাহেদ সাহেব বর্তমানে কোথায় অবস্থান করছেন? 

সমাধান: 
যাত্রা শুরুর স্থান A এবং পর্যায়ক্রমে পথ ঘুরে তিনি নিজ বাড়িতেই অবস্থান করছেন। 

৫৫২ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। 
এর একক স্থানীয় অঙ্ক ২ বিদ্যমান। 

• যে সংখ্যার সর্ব ডানদিকের অঙ্ক অর্থাৎ একক স্থানীয় অঙ্ক ২ বা ৩ বা ৭ বা ৮ তা পূর্ণবর্গ নয় ।
• যে সংখ্যার শেষে বিজোড় সংখ্যক শূন্য থাকে, ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ নয়।
• একক স্থানীয় অঙ্ক ১ বা ৪ বা ৫ বা ৬ বা ৯ হলে, ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে পারে। যেমন : ৮১, ৬৪, ২৫, ৩৬, ৪৯ ইত্যাদি বর্গসংখ্যা ।
• আবার সংখ্যার ডানদিকে জোড়সংখ্যক শূন্য থাকলে ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে পারে। যেমন : ১০০, ৪৯০০ ইত্যাদি বর্গসংখ্যা ।

প্রশ্ন: A ২০ দিনে একটি কাজের পাঁচ ভাগের চার অংশ সম্পন্ন করে। এরপর B এর সহযোগিতায়  বাকি কাজ ৩ দিনে সম্পন্ন হয়। তাহলে B কাজটি কত দিনে করতে পারে? 

সমাধান: 
A এর সম্পুর্ন কাজ করতে সময় লাগে = 20 × (5/4) দিন 
                                                          = 25 দিন 

বাকি কাজ = (1 - 4/5) অংশ 
                 = (5 - 4)/5
                  = 1/5
 
A ও  B ১/৫ অংশ কাজ করে = ৩ দিনে 
A ও  B ১ অংশ (সম্পূর্ণ) কাজ করে = (৩ × ৫)/১ দিনে 
                                                       = ১৫ দিনে 

A এর ১ দিনের কাজ = ১/২৫  অংশ 
A ও  B এর ১ দিনের কাজ = ১/১৫  অংশ 

B  এর ১ দিনের কাজ = (১/১৫) - (১/২৫)
                                 = (৫ - ৩)/৭৫
                                 = ২/৭৫
B ২/৭৫ অংশ কাজ করে = ১ দিনে 
B ১ অংশ (সম্পূর্ণ ) কাজ করে = ৭৫/২  দিনে

প্রশ্ন: আজ শনিবার হলে গত পরশু দিন কী বার ছিলো? 

সমাধান:
- গত পরশু (বৃহস্পতিবার) 
- গতকাল (শুক্রবার) 
- আজ (শনিবার)
- আগামী কাল (রবিবার )
- আগামী পরশু দিন (সোমবার )
- আগামী পরশু পরের দিন (মঙ্গলবার)

প্রশ্ন: আবির উত্তর দিকে ২০ মিটার হাঁটলো। তারপর সে ডানদিকে ঘুরলো এবং 30 মিটার হাঁটলো। তারপরে সে ডানদিকে ঘুরে 35 মিটার হাঁটলো। তারপর সে বাম দিকে ঘুরে 15 মিটার হাঁটে। অবশেষে সে বাম দিকে ঘুরে 15 মিটার হাঁটলো। শুরুর অবস্থান থেকে সে কোন দিকে এবং কত দূরে আছে?

সমাধান: 
যাত্রাশুরুর স্থান A এবং গন্তব্যস্থান F 
AF = (30 + 15) মি. 
       = 45 মি. 

প্রদত্ত শব্দটি আয়নায় দেখানো প্রতিবিম্ব অপশন ঘ  
 

প্রশ্ন: কোনো বাগানে ১০২৪টি আমগাছ আছে। বাগানের দৈর্ঘ্য ও  প্রস্থের উভয় দিকে প্রত্যেক সারিতে সমান সংখ্যক আমগাছ থাকলে প্রত্যেক সারিতে গাছের সংখ্যা কত হবে? 

সমাধান: 
বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের উভয় দিকের প্রত্যেক সারিতে সমান সংখ্যক আমগাছ আছে।
∴ প্রত্যেক সারিতে আম গাছের সংখ্যা হবে ১০২৪ এর বর্গমূল।
সুতরাং, আমগাছের নির্ণেয় সংখ্যা = √১০২৪ = ৩২

প্রশ্ন: ক ও খ একত্রে একটি কাজ ৭ দিনে করতে পারে।  ক, খ এর চেয়ে ৭/৪ গুণ দক্ষ। ক একা কাজটি কতদিনে করতে পারে? 

সমাধান: 
ক এর ১ দিনের কাজ : খ এর ১ দিনের কাজ = ৭/৪ : ১
                                                                  = ৭ : ৪ 
ধরি,
ক এর ১ দিনের কাজ = ৭x 
খ এর ১ দিনের কাজ = ৪x 

প্রশ্নমতে,
৭x  + ৪x  = ১/৭
⇒ ১১x = ১/৭
⇒ x = ১/৭৭

ক এর ১ দিনের কাজ = ৭x = ৭ × (১/৭৭) = ১/১১

ক  একা কাজটি করতে পারে = ১১ দিনে

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি 9 কি.মি. পূর্বে গেলেন তারপর তিনি ডান দিকে ঘুরে আরও 4 কি.মি. গেলেন। আবার তিনি ডানে ঘুরে 6 কি.মি. গেলেন। যাত্রাস্থান থেকে তিনি এখন কত দূরে অবস্থান করছেন? 
সমাধান: 
যাত্রা শুরুর স্থান A এবং গন্তব্য স্থান D 

সরাসরি দূরত্ব AD = √{3² + 4²}
                             = √{9 + 16}
                             = √25 কি.মি. 
                               = 5 কি.মি. 
 

প্রশ্ন: প্রকৃত সময় ৯ : ৩০ হলে, আয়নায় দেখানো সময় কত?  

সমাধান: 
 আয়নায় দেখা সময়
= ১১ : ৬০ -  প্রকৃতপক্ষে সময়
= ১১ : ৬০ - ৯ : ৩০
= ২ : ৩০

প্রশ্ন: ২০০ মিটার এবং ১৫০ মিটার দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট দুটি ট্রেন দুটি সমান্তরাল রেললাইনে একই দিকে যথাক্রমে ৪০ কি.মি. ও ৪৫ কি.মি.  গতিতে চলছে।  দ্রুততর ট্রেনটি ধীর গতির ট্রেনকে অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
ট্রেন দুটির আপেক্ষিক গতি
= (৪৫ - ৪০)কি.মি/ঘণ্টা 
= ৫ কি.মি/ঘণ্টা 
= ৫ × ১০০০/৩৬০০
= ২৫/১৮ মিটার/ সেকেন্ড

দ্রুততর ট্রেনটি ধীর গতির ট্রেনকে অতিক্রম করতে  সময় লাগবে
= (২০০ + ১৫০)/(২৫/১৮)
=( ৩৫০ × ১৮)/২৫
= ২৫২ সেকেন্ড