Math Master

প্রশ্ন: A = {x : x, 6 এর গুণনীয়কগুলো} এবং B = {x : x, 8 এর গুণনীয়কগুলো} হলে, A ∩ B এর মান কত?

সমাধান: 
 A = {x : x, 6 এর গুণনীয়কগুলো}
 B = {x : x, 8 এর গুণনীয়কগুলো} 
A = {1, 2, 3, 6}
B = {1, 2, 4, 8}

 A ∩ B = {1, 2, 3, 6} ∩ {1, 2, 4, 8}
= {1, 2}

প্রশ্ন: P(A) = 1/5, P(B) = 5/7 হলে A ও B স্বাধীন হলে P(A U B) এর মান কত?

 সমাধান: 
দেয়া আছে,
P(A) = 1/5
P(B) = 5/7

যেহেতু A ও B স্বাধীন
P(A∩B) =  P(A).P(B)
            = (1/5) × (5/7)
            = 1/7

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
            = P(A) + P(B) - P(A).P(B)
            = (1/5) + (5/7) - (1/7)
            = (7 + 25 - 5)/35
            = 27/35

প্রশ্ন: P = {5, 6, 7, 8} এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত? 

সমাধান : 
কোন সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে ঐ সেটের  উপসেট = 2ⁿ
প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ - 1

P সেটের উপাদান সংখ্যা = 4 তাহলে,
প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা = 2⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

প্রশ্ন: ৫২ খানা তাস হতে ১ খানা তাস দৈবভাবে উঠানো হল। লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত ? 

সমাধান:
- একটি প্যাকেটে মোট তাসের সংখ্যা = 52টি।
- এর মধ্যে লাল ও কালো তাসের সংখ্যা = 26টি করে।
- রুইতন, হরতন, ইস্কাপন ও চিরাতন ১৩টি করে।
- টেক্কা, রাজা, রানি ও জ্যাক ৪টি করে।
- নম্বর যুক্ত তাপ ৩৬টি।
- ছবিযুক্ত তাস ১২টি (রাজা, রানি ও জ্যাক ৪টি করে)।

লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ২৬/৫২ = ১/২

সান্ত সেট: গণনা করে যে সকল সেটের সদস্য সংখ্যা নির্ধারণ করা যায়, এদের সান্ত সেট বলা হয়।
- কোনো সেট A সান্ত সেট না হলে, একে অনন্ত সেট বলা হয়।
- ফাঁকা সেট Ø সান্ত সেট, এর সদস্য সংখ্যা 0।
- A কোনো সান্ত সেট হলে, A এর সদস্য সংখ্যাকে n(A) দ্বারা সূচিত করা হয়।

প্রশ্ন: 50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি বলতে পারে, 25 জন ইংরেজি ও বাংলা বলতে পারে এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি বলতে পারে। বাংলা বলতে পারে কতজন? 

সমাধান: 
এখানে,
 ইংরেজি বলতে পারে n(E) = 35
বাংলা বলতে পারে n(B) = ?
ইংরেজি ও বাংলা বলতে পারে n(E ∩ B) =25 
যেকোন একটিতে কথা বলতে পারে n(E∪B) = 50 
এখন,
n(E ∪ B)= n(E) + n(B) - n(E ∩ B) 
  ⇒ 50 = 35 + n(B) - 25  
  ⇒ 50 =10 + n(B)
  ⇒ n(B)= 50 - 10 
  ∴ n(B) = 40

প্রশ্নঃ ১/৫, ২/৫, ৯/২০ এর গড় কত?


সমাধানঃ 
১/৫, ২/৫, ৯/২০ এর সমষ্টি = (১/৫) + (২/৫) + (৯/২০)
                                         = (৪ + ৮ + ৯) /২০
                                           = ২১/২০

নির্ণেয় গড় = (২১/২০) ÷ ৩ 
                  = (২১/২০) × (১/৩)
                   = ৭/২০

প্রদত্ত ভেনচিত্রে U = A ∪ B ∪ C এবং n(U) = 50 হলে, x এর মান কত? 
 

সমাধান: 
U = A ∪ B ∪ C এবং n(U) = 50 
এখন 
2x + 2 + 3 + x + 1 + x - 1 + 0 + x + 5 = 50
5x + 10 = 50
5x = 50 - 10
5x = 40
x = 8 

প্রশ্নঃ ১ থেকে ৪১ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার সমষ্টির গড় কত? 

সমাধানঃ 
১ হতে ৪১ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি ={৪১(৪১ + ১)}/২
                                                                   = (৪১ × ৪২)/২
                                                                   = ৪১ × ২১
১ থেকে ৩১ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় = (৪১ × ২১)/৪১ = ২১ 

প্রশ্ন: A = {x : x ∈ N, x < 10 এবং x, 2 এর গুণিতক} এবং B = {x : x ∈ N, x < 10 এবং x, 3 এর গুণিতক} হলে A - B এর মান কত? 

সমাধান: 
A = {x : x ∈ N, x < 10 এবং x, 2 এর গুণিতক}
B = {x : x ∈ N, x < 10 এবং x, 3 এর গুণিতক} 

A ={2, 4, 6, 8}
B = {3, 6, 9}

A - B ={2, 4, 6, 8} - {3, 6, 9}
= {2, 4, 8}

১৫) একজন লোকের ঢাকা হতে খুলনায় বাসে যাবার সম্ভাবনা ২/৫ এবং খুলনা থেকে রাজশাহী ট্রেনে যাবার সম্ভাবনা ৭/১০। খুলনায় বাসে এবং রাজশাহী ট্রেনে না যাবার সম্ভাবনা কত?

খুলনায় বাসে যাবার সম্ভাবনা = ২/৫ 
রাজশাহী ট্রেনে না যাবার সম্ভাবনা = ১ - ৭/১০ = (১০ - ৭)/১০ = ৩/১০
 
খুলনায় বাসে এবং রাজশাহী ট্রেনে না যাবার সম্ভাবনা = (২/৫) × ৩/১০
= ৩/২৫

প্রশ্নঃ ৩ দ্বারা বিভাজ্য প্রথম ১০টি সংখ্যার মধ্যক কত? 

সমাধানঃ 
৩ দ্বারা বিভাজ্য প্রথম ১০টি সংখ্যা
৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, ২৭, ৩০
এখানে,
n  = ১০ 

মধ্যক = {(১০/২) তম পদ ও (১০/২) + ১ তম পদের যোগফল}/২
          = { ৫তম পদ ও ৬ তম পদের যোগফল}/২  
         =(১৫ + ১৮)/২
         = ৩৩/২
         = ১৬.৫

প্রদত্ত ভেনচিত্রে, যদি A ∩ B = B ∩ C হয়, তবে x এর মান কত? 

 

সমাধান:
A ∩ B = x
 B ∩ C = 4
A ∩ B = B ∩ C
x = 4

প্রশ্ন: একটি থলেতে নীল বল ১০টি, সাদা বল ১৪টি এবং কালো বল ১৬টি আছে। দৈবভাবে একটি বল নেওয়া হলো। বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
নীল বল ১০টি 
সাদা বল ১৪টি
কালো বল ১৬টি
মোট বল =(১০ + ১৪ + ১৬)টি = ৪০টি 

সাদা হওয়ার  সম্ভাবনা = ১৪/৪০ = ৭/২০

সাদা না হওয়ার  সম্ভাবনা = ১ - ৭/২০ = (২০ - ৭)/২০ = ১৩/২০