প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

সমাধান:
যে সংখ্যাগুলো ১ এবং সেই সংখ্যাটি ব্যতীত অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়, তারাই মৌলিক সংখ্যা।

১ থেকে ১০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ২, ৩, ৫ এবং ৭
সংখ্যাগুলোর যোগফল = ২ + ৩ + ৫ + ৭
= ১৭

নোট:
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা (মোট ২৫টি): ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।

প্রশ্ন: p ও q উভয়ে বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা?

সমাধান:
মনে করি, p = 1 এবং q = 3 (উভয়েই বিজোড় সংখ্যা)।

অপশন ক) p + q = 1 + 3 = 4 ⇒ জোড়

অপশন খ) pq + 1 = (1 × 3) + 1 = 3 + 1 = 4 ⇒ জোড়

অপশন গ) p² + q² = 1² + 3² = 1 + 9 = 10 ⇒ জোড়

অতএব, সঠিক উত্তর: ঘ) উপরের সবগুলো 

প্রশ্ন: ১৫টি সংখ্যার গড় ৪০, ১৫টি সংখ্যার গড় ৩০ এবং ২০টি সংখ্যার গড় ৫০। মোট ৫০টি সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
১৫টি সংখ্যার গড় ৪০
∴ ১৫টি সংখ্যার সমষ্টি = ১৫ × ৪০ = ৬০০

১৫টি সংখ্যার গড় ৩০
∴ ১৫টি সংখ্যার সমষ্টি = ১৫ × ৩০ = ৪৫০

২০টি সংখ্যার গড় ৫০
∴ ২০টি সংখ্যার সমষ্টি = ২০ × ৫০ = ১০০০

∴ ৫০টি সংখ্যার সমষ্টি = (৬০০ + ৪৫০ + ১০০০) = ২০৫০
∴ ৫০টি সংখ্যার গড় = ২০৫০ ÷ ৫০ = ৪১

প্রশ্ন: শূন্য অপেক্ষা বড় যে কোনো পূর্ণ সংখ্যাকে বলা হয়?

সমাধান:
শূন্য অপেক্ষা বড় পূর্ণ সংখ্যাগুলো (যেমন: ১, ২, ৩, ...) কে স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বলা হয়।

অন্য দিকে,
অমূলদ সংখ্যা: এগুলো হলো এমন সংখ্যা যেগুলোকে p/q​ আকারে প্রকাশ করা যায় না (যেমন: √2, π)।
মূলদ সংখ্যা: এগুলোকে p/q​ আকারে লেখা যায় (যেমন: 3 = 3/1​)।
বাস্তব সংখ্যা: সমস্ত স্বাভাবিক, পূর্ণ, মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা বাস্তব সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত।

প্রশ্ন: ১২, ১৮ এবং ৩০ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
৩০ = ২ × ৩ × ৫

তিনটি সংখ্যার মধ্যে ২ এবং ৩ সাধারণ গুণনীয়ক

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ২ × ৩ = ৬

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

সমাধান:
ক) ৫/৮ = ০.৬২৫
খ) ৭/১০ = ০.৭
গ) ৩/৪ = ০.৭৫
ঘ) ১/২ = ০.৫

এখানে ০.৭৫ মানটি সবচেয়ে বড়।
∴ বৃহত্তম ভগ্নাংশটি হলো ৩/৪

প্রশ্ন: কতজন বালককে ১২৫টি কমলালেবু এবং ১৪৫টি আপেল সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?

সমাধান:
বালকের সংখ্যা হবে ১২৫ এবং ১৪৫ এর গ.সা.গু।
১২৫ = ৫ × ৫ × ৫
১৪৫ = ৫ × ২৯

এখানে সাধারণ উৎপাদক হলো ৫
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ৫

সুতরাং, সর্বোচ্চ ৫ জন বালককে এই ফলগুলো সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে।

প্রশ্ন: নিচের কোন জোড়াটি সহমৌলিক?

সমাধান:
আমরা জানি, দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে তারা পরস্পর সহমৌলিক।

অপশন (ক): ১৬, ২৮
১৬-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ৪, ৮, ১৬
২৮-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ৪, ৭, ১৪, ২৮
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ২, ৪
∴ ১৬, ২৮ সহমৌলিক নয়।

অপশন (খ): ৫২, ৯১
৫২-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ৪, ১৩, ২৬, ৫২
৯১-এর গুণনীয়ক: ১, ৭, ১৩, ৯১
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ১৩
∴ ৫২, ৯১ সহমৌলিক নয়।

অপশন (গ): ২৭, ৩৮
২৭-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৯, ২৭
৩৮-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ১৯, ৩৮
সাধারণ গুণনীয়ক: কেবল ১
∴ ২৭, ৩৮ পরস্পর সহমৌলিক।

অপশন (ঘ): ২১, ১০৫
২১-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৭, ২১
১০৫-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৫, ৭, ১৫, ২১, ৩৫, ১০৫
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ৩, ৭, ২১
∴ ২১, ১০৫ সহমৌলিক নয়।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি = x
সংখ্যাটির গুণাত্মক বিপরীত = 1/x

প্রশ্নমতে,
x + 1/x = 2
⇒ (x² + 1)/x = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ x - 1 = 0
∴ x = 1

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি 1

প্রশ্ন: প্রথম ২৫ টি জোড় সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান:
প্রথম ২৫ টি জোড় সংখ্যা:
২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪........

আমরা জানি,
প্রথম n টি জোড় সংখ্যার যোগফল = n(n + ১)

এখানে, n = ২৫
∴ যোগফল = ২৫(২৫ + ১)
= ২৫ × ২৬
= ৬৫০

∴ প্রথম ২৫টি জোড় সংখ্যার যোগফল = ৬৫০

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়?

সমাধান:
আমরা জানি, কোনো সংখ্যার অংকগুলোর সমষ্টি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

ক) ৫০৪ ⇒ ৫ + ০ + ৪ = ৯ (বিভাজ্য)
খ) ১৪৭ ⇒ ১ + ৪ + ৭ = ১২ (বিভাজ্য)
গ) ৫১৩ ⇒ ৫ + ১ + ৩ = ৯ (বিভাজ্য)
ঘ) ২৫১ ⇒ ২ + ৫ + ১ = ৮ (৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়)

∴ ২৫১ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।

প্রশ্ন: চারটি ঘন্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ১২, ১৮, ২০ ও ২৫ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে ঘন্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
১২ = ২^২ × ৩
১৮ = ২ × ৩^২
২০ = ২^২ × ৫
২৫ = ৫^২

∴ ল.সা.গু. = ২^২ × ৩^২ × ৫^২
= ৪ × ৯ × ২৫
= ৯০০ সেকেন্ড

আমরা জানি, ৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট।
∴ সময় = ৯০০/৬০ মিনিট = ১৫ মিনিট।

∴ ১৫ মিনিট পরে ঘন্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: একটি ক্রিকেট ম্যাচে হাসান প্রথম তিন ইনিংসে যথাক্রমে ৪৫, ৫২ ও ৬০ রান করেন। চতুর্থ ইনিংসে তাকে কত রান করতে হবে যেন তার গড় রান ৫৫ হয়?

সমাধান:
ধরি, চতুর্থ ইনিংসে রান করতে হবে = x

প্রশ্নমতে,
(৪৫ + ৫২ + ৬০ + x)/৪ = ৫৫
বা, (১৫৭ + x)/৪ = ৫৫
বা, ১৫৭ + x = ২২০
বা, x = ২২০ - ১৫৭
∴ x = ৬৩

∴ চতুর্থ ইনিংসে তাকে ৬৩ রান করতে হবে।

প্রশ্ন: ০.৬ × ০.০৬ × ০.০০৬ = ?

সমাধান:
০.৬ × ০.০৬ × ০.০০৬ = ০.০০০২১৬

যে সংখ্যাগুলো গুণ করতে হবে সেসব সংখ্যায় দশমিকের পর মোট যত ঘর আছে গুণফলেও দশমিকের পর ঠিক তত ঘর থাকবে।

প্রশ্ন: একটি ড্রামের ৩/৪ অংশ পানি দ্বারা পূর্ণ এবং ড্রামটি থেকে ৩০ লিটার পানি বের করে নিলে ড্রামটির অর্ধেক পানি পূর্ণ থাকে। ড্রামটির মোট পানি ধারণ ক্ষমতা কত?

সমাধান:
মোট ড্রামের অংশ = ১ বা সম্পূর্ণ অংশ
প্রথমে পূর্ণ ছিল = ৩/৪ অংশ
পানি বের করে নেওয়ার পর পূর্ণ থাকে = অর্ধেক বা ১/২ অংশ

∴ পানি বের করে নেওয়া হয়েছে = (৩/৪ - ১/২) অংশ
= (৩ - ২)/৪ অংশ
= ১/৪ অংশ

শর্তমতে,
১/৪ অংশ = ৩০ লিটার
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ৩০ ÷ (১/৪) লিটার
= ৩০ × ৪ লিটার
= ১২০ লিটার

∴ ড্রামটির মোট পানি ধারণ ক্ষমতা ১২০ লিটার।

প্রশ্ন: ১০০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
১০০ এর মৌলিক গুণনীয়ক রূপ বের করি:
১০০ = ২ × ২ × ৫ × ৫
= ২^২ × ৫^২

এখানে ২ এর সূচক ২ এবং ৫ এর সূচক ২।

ভাজকের সংখ্যা বের করার সূত্র:
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে সেটিই ভাজক সংখ্যা।
∴ ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (২ + ১)
= ৩ × ৩
= ৯

অর্থাৎ, ১০০ এর মোট ৯টি ভাজক আছে।

প্রশ্ন: কোনো লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে ৩ যোগ করলে যোগফল ১২, ১৮, ও ২৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
নির্ণেয় সংখ্যাটি ১২, ১৮, ২৪ এর ল.সা.গু. থেকে ৩ কম হবে।
১২ = ২^২ × ৩
১৮ = ২ × ৩^২
২৪ = ২^৩ × ৩
∴ ল.সা.গু. = ২^৩ × ৩^২ = ৭২

∴ সংখ্যাটি = ৭২ - ৩ = ৬৯

প্রশ্ন: একটি ভাগ অঙ্কের ভাগফলের অর্ধেক হলো ভাজক এবং ভাগশেষ ভাজকের এক-পঞ্চমাংশ। ভাগফল ৪০ হলে ভাজ্য কত?

সমাধান:
ভাজক = ভাগফলের অর্ধেক = ৪০/২ = ২০
ভাগশেষ = ভাজকের এক-পঞ্চমাংশ = ২০/৫ = ৪

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
= (২০ × ৪০) + ৪
= ৮০০ + ৪
= ৮০৪

∴ ভাজ্য = ৮০৪

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১২ এবং ল.সা.গু ১৮০। একটি সংখ্যা ৩৬ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩৬ × অপর সংখ্যা = ১৮০ × ১২
⇒ অপর সংখ্যা = (১৮০ × ১২)/৩৬
⇒ অপর সংখ্যা = ৬০

∴ অপর সংখ্যাটি হলো ৬০

প্রশ্ন: ৩, ০, ৫, ৮ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল কত?

সমাধান:
৩, ০, ৫, ৮ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের,
বৃহত্তম সংখ্যা = ৮৫৩০
এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩০৫৮

∴ এদের পার্থক্য = ৮৫৩০ - ৩০৫৮ = ৫৪৭২

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪৭। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৪৭
বা, ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ৪৭
বা, ২ক + ১ = ৪৭
বা, ২ক = ৪৬
∴ ক  = ২৩

∴ বড় সংখ্যাটি = ২৩ + ১ = ২৪

প্রশ্ন: ২/৯ এবং ৪/১৫ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু

লব (২, ৪)-এর ল.সা.গু নির্ণয়:
২ = ২
৪ = ২^২
∴ ল.সা.গু = ৪

হর (৯, ১৫)-এর গ.সা.গু নির্ণয়:
৯ = ৩^২
১৫ = ৩ × ৫
∴ গ.সা.গু = ৩

∴ ২/৯ এবং ৪/১৫ এর ল.সা.গু = ৪/৩

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
- মূলদ সংখ্যা (Rational Number) হলো এমন সংখ্যা, যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়। p/q, যেখানে p ও q উভয়ই পূর্ণ সংখ্যা এবং q ≠ 0.
- যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না তা অমূলদ সংখ্যা। সাধারণত পূর্ণবর্গ নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ হয়।

ক) √১৬ = ৪; এটি একটি পূর্ণ সংখ্যা, তাই মূলদ।

খ) √(২৫/৯) = ৫/৩; এটি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই মূলদ।

গ) √১২ = √(৪ × ৩) = ২√৩; যেহেতু ৩ পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়, তাই এর বর্গমূল একটি অমূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ, √১২ একটি অমূলদ সংখ্যা।

ঘ) ০.৭৫ = ৭৫/১০০ = ৩/৪; এটি একটি সসীম দশমিক সংখ্যা এবং একে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৭৮, ১১০ ও ১৪২ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৬, ২ ও ৭ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু একটি নির্দিষ্ট বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৭৮, ১১০ ও ১৪২ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৬, ২ ও ৭ ভাগশেষ থাকবে, তাই সংখ্যাগুলো থেকে ভাগশেষ বিয়োগ করতে হবে।

এখানে,
৭৮ - ৬ = ৭২
১১০ - ২ = ১০৮
১৪২ - ৭ = ১৩৫
বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৭২, ১০৮ এবং ১৩৫ এর গ.সা.গু।

৭২ = ২^৩ × ৩^২
১০৮ = ২^২ × ৩^৩
১৩৫ = ৩^৩ × ৫

∴ গ.সা.গু = ৩^২ = ৯

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ৯

নোট:
প্রশ্নে বৃহত্তম সংখ্যা বের করতে বলা হলে গ.সা.গু বের করতে হবে।
প্রশ্নে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বের করতে বলা হলে ল.সা.গু বের করতে হবে।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে '৯' সংখ্যাটি কতবার আসে?

সমাধান:
এককের স্থানে ৯ আছে: ৯, ১৯, ২৯, ৩৯, ৪৯, ৫৯, ৬৯, ৭৯, ৮৯, ৯৯ (১০টি)
দশকের স্থানে ৯ আছে: ৯০, ৯১, ৯২, ৯৩, ৯৪, ৯৫, ৯৬, ৯৭, ৯৮, ৯৯ (১০টি)

৯৯ সংখ্যাটিতে ৯ অংকটি দুইবার (একক ও দশক উভয় স্থানে) ব্যবহৃত হয়েছে। উপরের দুটি তালিকায় ৯৯ সংখ্যাটিকে অন্তর্ভুক্ত করার মাধ্যমে এর দুটি ৯-কেই গণনা করা হয়েছে।

∴ মোট ৯ আসার সংখ্যা = ১০ + ১০ = ২০ বার।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের ল.সা.গু. ৩০০ হলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৫ক এবং ৬ক।
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. = (৫ × ৬) × ক = ৩০ক

প্রশ্নমতে,
৩০ক = ৩০০
⇒ ক = ১০

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৬ক = ৬ × ১০ = ৬০

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার সম্পত্তির ১/৪ অংশ স্ত্রীকে দিলেন এবং অবশিষ্ট সম্পত্তি তার ২ মেয়ের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দিলেন। যদি স্ত্রী ও ১ মেয়ের প্রাপ্ত সম্পত্তির মোট মূল্য ৩,৭৫,০০০ টাকা হয়, তবে মোট সম্পত্তির মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি, মোট সম্পত্তি = ক টাকা
স্ত্রী পান = ক/৪ টাকা
∴ অবশিষ্ট = (ক) - (ক/৪) = ৩ক/৪ টাকা
∴ প্রত্যেক মেয়ে পায় = (৩ক/৪) ÷ ২ = ৩ক/৮ টাকা

প্রশ্নমতে,
(ক/৪) + (৩ক/৮) = ৩,৭৫,০০০
⇒ (২ক + ৩ক)/৮ = ৩,৭৫,০০০
⇒ ৫ক/৮ = ৩,৭৫,০০০
⇒ ৫ক = ৩,৭৫,০০০ × ৮
⇒ ক = (৩,৭৫,০০০ × ৮)/৫
⇒ ক = ৬,০০,০০০

∴ মোট সম্পত্তির পরিমাণ ৬,০০,০০০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি ক্লাবে ১০ জন সদস্যের গড় বয়স ২৫ বছর। নতুন একজন সদস্য যুক্ত হওয়ায় সবার গড় বয়স ৪% বৃদ্ধি পেল। নতুন সদস্যের বয়স কত?

সমাধান:
১০ জন সদস্যের মোট বয়স = ১০ × ২৫ = ২৫০ বছর।
নতুন সদস্যসহ মোট সদস্য সংখ্যা = ১০ + ১ = ১১ জন।

গড় বয়স বৃদ্ধি পায় ৪%
∴ নতুন গড় = ২৫ + (২৫ এর ৪%) = ২৫ + (২৫ এর ৪/১০০)
= ২৫ + ১ = ২৬ বছর।
১১ জনের মোট বয়স = ১১ × ২৬ = ২৮৬ বছর।

∴ নতুন সদস্যের বয়স = ২৮৬ - ২৫০ = ৩৬ বছর।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৬৪২ থেকে যত বড়, ৭০২ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৬৪২ = ৭০২ - ক
⇒ ক + ক = ৭০২ + ৬৪২
⇒ ২ক = ১৩৪৪
⇒ ক = ১৩৪৪/২
∴ ক = ৬৭২

অতএব, সংখ্যাটি ৬৭২