Math Master

∠x + ∠2x = 180° (সরল কোণ)
∴ ∠x = 60°
2y = x = 60° ( পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ)
∴ y = 30°

চিত্রে ৮ টি সমকোণী ত্রিভুজ আছে।
তারা হলঃ ΔAEB; ΔBEC; ΔCED; ΔDEA; ΔABC; ΔADC; ΔABD; ΔBDC। 

এখানে, ∠a + ∠b + ∠c = 180° ........(1)
ধরি, a : b : c = x : 3x : 2x
∴ a + b + c = x + 3x + 2x = 6x ......(2)
(1) ও (2) থেকে,
6x = 180°
x = 30°
c কোণের মান 2x = 2 × 30° = 60°

∠a + ∠b = 180°
∠d = ∠g [পরস্পর একান্তর কোণ] 
∠b = ∠e [পরস্পর অনুরূপ কোণ] 
∠b + ∠c = 180° [চিত্র অনুসারে সম্ভব নয়]

ক্ষদ্রতম কোণ = (৩৬০ এর ১/৮)° = ৪৫°

BC = CD = BD হওয়াতে ΔACD হলো সমবাহু।
∴ ∠BCD = ∠BDC = ∠DBC = 60°
∴∠ADB = ∠ADC - ∠BDC = 90° - 60° = 30°
আবার, ∠ABD = ∠ABC  - ∠CBD = 120°
∴ ΔABD এর ∠BAD = 30°
∴ ΔABD এর BD = AB = 1
∴ ΔABD এর পরিসীমা = AB + BD + AD
এখন, ADC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
AD² = AC² - DC² = 4 -1 = 3
AD = √3
∴ΔABD এর পরিসীমা = AB + BD + AD = 1 + 1 + √3 = 2 + √3

ত্রিভুজের যে কোনো দুটি বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর
∴ ২ + ৩ = ৫
অর্থ্যাৎ ২, ৩ ও ৫ সে.মি দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব না।

অপর কোণ = ১৮০° - ৯০° - ৫৮° = ৩২°

ΔABC এর AB = AC
∴ ∠C = ∠B
এখন, ∠C + ∠B + ∠A = 180°
বা, 2∠B = 180° - 70°
বা,∠B = 55°

বর্গক্ষেত্রের বাহু = কর্ণ/√2 = 2/√2 = √2
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)^২ = (√2)² = 2

সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল = a² (√3/4) [সূত্র]

ত্রভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × AB × BC = 64
⇒ (1/2) × 2BC × BC = 64
⇒ BC² = 64
⇒ BC = 8
∴ AB = 16
∴  AC² = AB² + BC²= 8² + 16² = 320
∴ AC = √320

বর্গের বাহু a হলে, পরিসীমা 4a.
∴ বাহু ও পরিসীমার অনুপাত = a² : (4a)²
= a² : 16a²
= 1 : 16

ΔABC এর BD² = AB² + AD² = 16² + 12² = 400
∴ BD = 20
কিন্তু আয়তক্ষেত্র ABCD এর দুটি কর্ণ AC এবং DB একে অপরকে সমান ভাবে ভাগ করে। তাহলে E হল DB এর মধ্যবিন্দু। 
∴ DE = 20/2 = 10m

ত্রিভুজের ৩ কোণের যোগফল = 180°
২ টি কোণ 45° + 45° = 90° অপর কোণটি হবে 90°
ত্রিভুজটি সমকোণী
আমরা জানি যে, কোনো ত্রিভুজের দুটি কোণ সমান হলে কোণ সংশ্লিষ্ট দুটি বাহু পরস্পর সমান হয়।

আমরা জানি দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব = √{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}
এখন প্রশ্নমতে,√{(-5 - 0)² + (5 - 0)²} = √{(5 - 0)² + (k - 0)²}
⇒50 = 25 + k²
⇒ k = 5

কোনো ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ তার বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান
∴ ∠ACD = ∠BAC + ∠ABC = 40° + 60° =100°

ধরি, ২য় কোণ ক
∴ ১ম কোণ ৩ক
এবং ৩য় কোণ ক + ৩০°
শর্তমতে, ক + ৩ক + ক + ৩০° = ১৮০°
বা, ৫ক = ১৫০°
বা, ক = ৩০°
∴ ১ম কোণ ৩ ×৩০° = ৯০°

∠ABD + ∠ABC = 180°
∴∠ABD = 180° - 60° = 120°
অনুরূপ ভাবে, ∠ACE + ∠ACB =  180°
∴∠ACE = 180° - 60° = 120°
∴ দুটি বহিঃকোণের সমষ্টি = ∠ABD +∠ACE = 120° + 120° = 240°