১৪০ দিনে ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি

x⁴ - x² + 1 = 0
বা, x⁴ + 1 = x²
বা,  (x⁴ + 1)/x² = 1
বা, x² + 1/x² = 1
বা, (x + 1/x)² - 2.x.1/x = 1
বা, (x + 1/x)² - 2 = 1
বা, (x + 1/x)² = 1 + 2
বা, (x + 1/x)² = 3
∴ x + 1/x = √3

এখন,
x³ + 1/x³
= (x + 1/x)³ - 3.x.1/x(x + 1/x)
= (√3)³ - 3√3
= 3√3 - 3√3
= 0

x = √4 + √3
∴ 1/x = 1/(√4 + √3)
         = (√4 - √3)/(√4 + √3)(√4 - √3)
         = (√4 - √3)/{(√4)2 - (√3)2}
         = (√4 - √3)/(4 - 3)
         = √4 - √3
x + 1/x
= √4 + √3 + √4 - √3
=2√4
= 2 × 2 [√4 = 2]
= 4

x³ + 1/x³
= (x + 1/x)³ - 3.x.1/x(x + 1/x)
= 4³ - (3 × 4)
= 64 - 12
= 52

x = 7 - 4√3
 ∴ 1/x
= 1/(7 – 4√3)
= (7 + 4√3) / (7 – 4√3)( 7 + 4√3)
= (7 + 4√3)/(49 - 48)
= (7 + 4√3)

∴ x + 1/x
= 7 – 4√3 + 7 + 4√3
= 14

x² + 1/x²
= (x + 1/x)² - 2.x.1/x
= 14² - 2
= 196 - 2 
= 194

x² + y² = 4
বা, (x + y)² - 2xy = 4
বা, 2² - 2xy = 4
বা, 4 - 2xy = 4
বা, 2xy = 0
∴ xy = 0

এখন, x³ + y³
= (x + y)³ - 3xy(x + y)
= 2³ - 3 × 0 × 2
= 8 - 0
= 8

{ (0.9)³ + (0.4)³ } ÷ (0.9 + 0.4)
= (0.9 + 0.4) { (0.9)² - 0.9 × 0.4 + (0.4)² } ÷ (0.9 + 0.4)
= (0.9)² - 0.9 × 0.4 + (0.4)²
= 0.81 - 0.36 + 0.16
= 0.61

বহুপদীর সাধারণ আকার cx^p ।
p = অঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
অর্থাৎ p এর মান শূন্য অথবা ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
p কখনোই ঋণাত্মক হতে পারে না।
তবে c যে কোন বাস্তব সংখ্যা হতে পারে।

0, 5 ও a এরা প্রত্যেকে বহুপদী। কারণ এদের প্রত্যেকের সাধারণ আকার cx^p।
কিন্তু 3/x বহুপদী নয়। কারণ এর সাধারণ আকার cx^p নয়।

3/x = 3x^-1 
3x^-1 কে cx^p সাথে তুলনা করলে p = - 1 যা ঋণাত্মক সংখ্যা।
কিন্তু বহুপদী রাশির ক্ষেত্রে p ঋণাত্মক হতে পারে না।

x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² -(y² - 2.y.1 + 1²)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1)(x - y + 1)

P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 
P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 12 - 12 = 0
∴ (x - 1), P(x) এর একটি উৎপাদক।

P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 
P(-1) = -1 - 6 - 11 - 6 = - 24 ≠ 0
∴ (x +1), P(x) এর উৎপাদক নয়।

P(-2) ≠ 0
P(- 3) ≠ 0
অতএব x + 2 ও x + 3 রাশিদ্বয় P(x) এর উৎপাদক নয়।
----------------------------------------------------------
বিকল্প পদ্ধতিঃ
x³ - 6x² + 11x - 6
= x³ - x² - 5x² + 5x + 6x - 6
= x²(x - 1) - 5x(x - 1) + 6(x - 1)
= (x - 1)(x² - 5x + 6)
= (x - 1)(x² - 3x - 2x + 6)
= (x - 1) { x ( x - 3 ) -2 ( x - 3 ) }
= (x - 1)(x - 2)(x - 3)

- 3x² - 2xy + 8y² + 11x - 8y - 6 

কেবল x সংবলিত পদগুলো ও ধ্রুবক পদ নিয়ে,
- 3x² + 11x - 6 = (- 3x + 2)(x - 3)

কেবল y সংবলিত পদগুলো ও ধ্রুবক পদ নিয়ে,
8y² - 8y - 6 = (4y + 2)(2y - 3)

(- 3x + 2) ও (4y + 2) রাশি দুইটিতে একই ধ্রুবক থাকায় এদের মধ্যে সমন্বয় করা যাবে।
সমন্বয় করে যে নতুন রাশি পাওয়া যাবে তা (- 3x + 4y + 2)

অনুরূপভাবে, 
(x - 3) ও (2y - 3) রাশি দুইটিতে একই ধ্রুবক থাকায় এদের মধ্যে সমন্বয় করা যাবে।
সমন্বয় করে যে নতুন রাশি পাওয়া যাবে তা (x + 2y - 3)

∴ - 3x² - 2xy + 8y² + 11x - 8y - 6 = (- 3x + 4y + 2)(x + 2y - 3)

Note:
( - 3x + 4y + 2)( x + 2y - 3)
= - 3x2 - 6xy + 9x + 4xy + 8y2 - 12y + 2x + 4y - 6
xy এর সহগ = - 6 + 4 = - 2

y² - 5y + 6 = 0 
বা, y² - 3y - 2y + 6 = 0
বা, y(y - 3) - 2(y - 3) = 0
বা, (y - 2)(y - 3) = 0
∴ y = 2 অথবা 3

অভেদের অসংখ্য সমাধান থাকে।
অন্যদিকে, সমীকরণের ক্ষেত্রবিশেষে একাধিক সমাধান থাকতে পারে। আবার নাও থাকতে পারে। অনেক সমীকরণেরই একটি মাত্র সমাধান।
তাই প্রশ্ন অনুসারে, অভেদ সঠিক উত্তর।

x - 3y + 2 = 0 ---------- (1)
উপরোক্ত প্রথম সমীকরণের উভয়পক্ষকে 5 দ্বারা গুণ করলে পাই,
5x - 15y + 10 = 0 -------(2) যা প্রদত্ত দ্বিতীয় সমীকরণ।
প্রদত্ত সমীকরণ দুইটি একই হওয়ায় এদের অসংখ্য সমাধান আছে।

সমীকরণ (1) অথবা (2) থেকে পাই,
x = 3y - 2
y = 0 হলে, x = - 2 ∴ (x, y) = (-2, 0)
y = 1 হলে, x = 1    ∴ (x, y) = (1, 1)
y = 2 হলে, x = 4    ∴ (x, y) = (4, 2)
y = 3 হলে, x = 7    ∴ (x, y) = (7, 3)
------------------------------------
------------------------------------
y = n হলে, x = 3n - 2   ∴ (x, y) = (3n - 2, n)
এরকম অসংখ্য সমাধান পাওয়া যাবে।
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
অন্যভাবে, 
দুইটি সমীকরণের a₁ /  a₂ = b₁ / b₂ = c₁ / c₂ হলে, উক্ত সমীকরণ দুইটির অসংখ্য সমাধান পাওয়া যাবে।
যেখানে, 
a₁ = প্রথম সমীকরণের চলক x এর সহগ
a₂ =  দ্বিতীয় সমীকরণের চলক x এর সহগ
b₁ = প্রথম সমীকরণের চলক y এর সহগ
b₂ = দ্বিতীয় সমীকরণের চলক y এর সহগ
c₁ = প্রথম সমীকরণের ধ্রুবক
c₂ = দ্বিতীয় সমীকরণের ধ্রুবক
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
বিশেষ দ্রষ্টব্যঃ উক্ত সমীকরণ দুইটির অসংখ্য সমাধান থাকায় সমীকরণ দুইটি সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল সমীকরণজোট।

5x + 2y - 3 = 0 --------- (1)
15x + 6y - 11 = 0 ------ (2)

সমীকরণ (1) কে 3 দ্বারা গুণ করে,
15x + 6y - 9 = 0 ------ (3)

সমীকরণ (2) থেকে সমীকরণ (1) বিয়োগ করে,
(15x + 6y - 11) - (15x + 6y - 9) = 0 
বা, - 11 + 9 = 0 যা কোন সমাধান নয়।
----------------------------------------------------------------------------------------------------
অন্যভাবে, 
দুইটি সমীকরণের a_{1 /}  a_{2 =} b₁ / b₂ ≠ c₁ / c₂ হলে, উক্ত সমীকরণ দুইটির কোনো সমাধান থাকে না।
যেখানে, 
a₁ = প্রথম সমীকরণের চলক x এর সহগ
a₂ =  দ্বিতীয় সমীকরণের চলক x এর সহগ
b₁ = প্রথম সমীকরণের চলক y এর সহগ
b₂ = দ্বিতীয় সমীকরণের চলক y এর সহগ
c₁ = প্রথম সমীকরণের ধ্রুবক
c₂ = দ্বিতীয় সমীকরণের ধ্রুবক
------------------------------------------------------------------------------------------------------

বিশেষ দ্রষ্টব্যঃ উক্ত সমীকরণ দুইটির কোন সমাধান না থাকায় সমীকরণ দুইটি অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল সমীকরণজোট।

2x + y = 12 --------- ( 1 )
x - y = 3  -----------  ( 2 )
(1) + (2) করে, x = 5 ∴ y = 2
∴ (x, y) = (5, 2)
সমীকরণ জোটের একটিমাত্র অনন্য সমাধান আছে।
-----------------------------------------------------
অন্যভাবে,
যেহেতু a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ সুতরাং সমীকরণ জোটের একটিমাত্র অনন্য সমাধান আছে।
-----------------------------------------------------------------------------------
বিশেষ দ্রষ্টব্যঃ উক্ত সমীকরণ দুইটির একটি অনন্য সমাধান থাকায় সমীকরণজোটকে সমঞ্জস বলা হয়।
উক্ত সমীকরণ দুইটির একটি অনন্য সমাধান থাকায় সমীকরণজোটকে পরস্পর অনির্ভরশীল সমীকরণজোট বলা হয়।

দৈর্ঘ্য x ও প্রস্থ y মিটার হলে,
2y = x + 10
বা, x = 2y - 10

এবং2(x + y) = 100
বা, 2(2y - 10 + y) = 100
∴ y = 20 ∴ x = 30

রাস্তা সহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (30 + 4)(20 + 4) বর্গমিটার
                                            = 816 বর্গ মিটার

রাস্তার ক্ষেত্রফল = (816 - 600) বর্গ মিটার
                          = 216 বর্গ মিটার

রাস্তাটি ইট দিয়ে তৈরি করতে খরচ হবে = (216 × 110) টাকা
                                                            = 23760 টাকা

পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স যথাক্রমে x ও y বছর।
সুতরাং (x - 10) : (y - 10) = 4 : 1
বা,  x - 10 = 4y - 40
বা, x = 4y - 30
এবং (x + 10) : (y + 10) = 2 : 1
বা, x + 10 = 2y + 20
বা,  4y - 30  + 10 = 2y + 20
বা, 2y = 40
বা, y = 20
∴ পুত্রের বয়স 20 বছর।

1 - 2x ≤ 3 
বা, - 2x ≤ 3 - 1 
বা, - 2x ≤ 2 
বা, 2x ≥ - 2 [ উভয়পক্ষকে - 1 দ্বারা গুণ করে]
বা, x ≥ - 2/2
∴ x ≥ - 1
সুতরাং, নির্ণেয় সমাধানঃ x ≥ - 1

সমাধানঃ x + y > 5 --- --- --- (১) এবং
               x - y > 3 --- --- --- (২)
সমীকরণ (১) ও (২) যোগ করে,
2x > 8
বা, x > 8./2
∴ x > 4

।x - 3। < 5
বা, - 5 < x - 3 < 5
বা, - 5 + 3 < x < 5 + 3
বা, - 2 < x < 8

x² + 4x > 12
বা, x² + 4x + 4 > 12 + 4
বা, (x + 2)² > 16
বা, (x + 2) > √16 অথবা (x + 2) < -√16
বা, (x + 2) > 4 অথবা (x + 2) < - 4
বা, x > 2 অথবা x < - 6

x² - 5x + 6 < 0
বা, (x - 2)(x - 3) < 0
অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 3 < হয়।
x - 2 > 0
বা, x > 2
x - 3 < 0
বা, x < 3
x > 2 এবং x < 3 অর্থাৎ x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 3 এর চেয়ে ছোট হবে।
অসমতাটি সত্য হবে যদি 2 < x < 3 হয়।
অসমতাটির সমাধানঃ 2 < x < 3
আবার, অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 3 > হয়।
x - 2 < 0
বা, x < 2
x - 3 > 0
বা, x > 3
x < 2 এবং x > 3 অর্থাৎ  2 এর চেয়ে ছোট এবং 3 এর চেয়ে বড় এমন সংখ্যা পাওয়া অসম্ভব।
সুতরাং অসমতাটির সমাধানঃ 2 < x < 3

a > b ও যেকোন c এর জন্য, ac < bc ও a/c < b/c হবে যখন c < 0
সুতরাং  x > y, z < 0 হলে, xz < yz হবে।

সকল সমীকরণ অভেদ নয় কিন্তু সকল অভেদকে সমীকরণ বলা যায়।
অভেদে সমান(=) চিহ্নের পরিবর্তে ≡ চিহ্ন ব্যবহৃত হয়।

ay/b - by/a = a² - b² 
or, (a²y - b²y)/ab = a² - b² 
or, y(a² - b²)/ab = a² - b²
or, y = ab

মনে করি, তিনি 10% মুনাফায় x টাকা বিনিয়োগ করেছেন। 
সুতরাং তিনি 12% মুনাফায় (56000 - x) টাকা বিনিয়োগ করেছেন।
x টাকার 1 বছরের মুনাফা = 10x/100 টাকা 
(56000 - x) টাকার 1 বছরের মুনাফা = 12(56000 - x)/100 টাকা।
প্রশ্নানুসারে,
10x/100 + 12(56000 - x)/100 = 6400
or, 10x + 672000 - 12x = 640000
or, 2x = 32000
∴ x = 16000

ছাত্র সংখ্যা y হলে,
১ম ক্ষেত্রে, প্রতি বেঞ্চে 6 জন করে ছাত্র বসালে 2 বেঞ্চ খালি থাকে। সুতরাং বেঞ্চ সংখ্যা = y/6 + 2
২য় ক্ষেত্রে, প্রতি বেঞ্চে 2 জন করে ছাত্র বসালে 8 জন ছাত্রকে দাড়িয়ে থাকতে হয়। সুতরাং বেঞ্চ সংখ্যা = (y - 8)/2
প্রশ্নানুসারে,
y/6 + 2 = (y - 8)/2
বা,  (y + 12)/6 =  (y - 8)/2
বা, 2y + 24 = 6y - 48
বা, 6y - 2y = 24 + 48
বা, 4y = 72
বা, y = 72/4
বা, y = 18
∴ ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা 18 জন।

সাহিদ y টি কলম কিনলে,
১ম ক্ষেত্রে, প্রতিটি কলমের দাম 240/y
এবং ২য় ক্ষেত্রে, প্রতিটি কলমের দাম 240/( y + 1)
শর্তানুসারে,
240/y - 240/( y + 1) = 1
বা, ( 240y + 240 - 240y ) / y(y + 1) = 1
বা, 240 = y² + y
বা, y² + y - 240 = 0
বা, (y + 16)(y - 15) = 0
∴ y = 15
∴ সাহিদ 15 টি কলম কিনেছিল।