শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: a² + b² = 25 এবং ab = 12 হলে,  a + b এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a² + b²= 25
ab = 12

আমরা জানি, 
a² + b² = (a + b)² - 2ab
⇒ 25 = (a + b)² - (2 × 12)
⇒ (a + b)² = 25 + 24
⇒ (a + b)² = 49
⇒ √(a + b)² = √49
⇒ a + b =7

প্রশ্ন: (1.02)² এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
(1.02)²
= (102/100)²
= (10404/10000)
= 1.0404

প্রশ্ন:  x = √5 + 2 হলে, x² + (1/x²)=?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x = √5 + 2

এখন,
1/x
= 1/ (√5 + 2)
= (√5 - 2)/(√5 + 2)(√5 - 2) [ লব ও হর উভয়কে √5 - 2 দ্বারা গুন করে]
= (√5 - 2)/{√(5)² - 2²}
= (√5 - 2)/(5 - 4) 
= √5 - 2  

∴ x²+ (1/x²)
= {x+ (1/x)}² - 2 (x) (1/x)
= (√5 + 2 + √5 - 2)² - 2
= (2√5)² - 2
= (4 × 5) - 2
= 20 - 2
= 18

প্রশ্ন: x² + (1/x)² এর কোন মানের জন্য x³+ (1/x)³ = 0 হবে?

সমাধান:
x³+ (1/x)³= 0
⇒ {x + (1/x)} {x² - (x)(1/x) + (1/x)²} = 0
⇒ x² - 1 + (1/x)² = 0/{x + (1/x)} 
⇒ x² - 1 + (1/x)² = 0
⇒ x² + (1/x)² = 1 

অর্থাৎ x² + (1/x)² = 1 হলে x³+ (1/x)³ = 0 হবে।

প্রশ্ন: যদি x² + y² + (1/x)² + (1/y)² =4 হয়, তবে x² + y² এর মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x² + y² + (1/x)² + (1/y)² =4
বা, x² + y² + (1/x)² + (1/y)² - 4 = 0
বা, {x² + (1/x)² - 2} + {y² + (1/y)² - 2} = 0
বা, {x -(1/x)}² + {y - (1/y)}² = 0 

আমরা জানি, দুইটি রাশির সমষ্টি শূন্য হলে পৃথক পৃথক ভাবে তারা শূন্য হয়
সুতরাং, 
{x - (1/x)}²= 0
বা, x - (1/x) = 0
বা, (x² -1)/x = 0
বা, x² - 1 = 0
বা, x² = 1
বা, x = ± 1
x এর ধনাত্মক মান নিয়ে পাই,
x = 1
 
আবার,
{ y - (1/y)}²= 0 
বা, y - (1/y) = 0
বা, (y² - 1)/y = 0
বা, y² - 1 = 0
বা, y² = 1
বা, y = ± 1
y এর ধনাত্মক মান নিয়ে পাই,
y = 1

∴ x² + y² = 1² + 1² = 1 + 1 = 2

প্রশ্ন: a - b = 3 এবং ab = 108 হলে a² - b² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - b = 3 এবং ab = 108

এখন, 
(a + b)² = (a - b)² + 4ab
⇒ (a + b)² = (3)² + (4 × 108)
⇒ (a + b)² = 9 + 432
⇒ (a + b)² = 441
⇒ √(a + b)² = √441
⇒ a + b =  21

এখন,
a² - b² = (a + b)(a - b) =( 21) × 3 =  63

প্রশ্ন: (a + b)² = 4ab হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
(a + b)² = 4ab
⇒ a² + 2ab + b² - 4ab = 0
⇒ a² - 2ab + b² = 0
⇒ (a - b)² = 0 
⇒ a - b = 0
⇒ a = b

প্রশ্ন: (√5 + 1)³ = ?

সমাধান:
(√5 + 1)³ 
=(√5​)³ + {3 × (√5​)² × 1} + (3 × √5 × 1²) + 1³
= 5√5 + (3 × 5) + 3√5 + 1 
= 5√5  + 15 + 3√5 +1
= 5√5 + 3√5 + 16
= 8√5 + 16

প্রশ্ন: a + b + c = 9 এবং ab + bc + ca = 26 হলে, a² + b² + c² = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
(a + b + c)² = (a² + b² + c²) + 2(ab + bc + ca)
⇒ (9)² = (a² + b² + c² )+ (2 × 26)
⇒ 81= (a² + b² + c²) + 52
⇒ a² + b² + c² = 81 - 52
⇒ a² + b² + c² = 29

প্রশ্ন: x + y = 8 এবং xy = 15 হলে, x³ + y³ = ?


সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 8 এবং
xy = 15

∴ x³+y³
=(x + y)³−3xy(x + y) 
= 8³ - (3 × 15 × 8)
= 512 - 360
= 152

প্রশ্ন:  a + b = 6 এবং ab = 10 হলে  a² + b² + 3ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b = 6 এবং ab = 8

এখন,
a² + b² + 3ab
= (a + b)² - 2ab + 3ab
= (a + b)² + ab
= (6)² + 10
= 36 + 10
= 46

প্রশ্ন: x = 1 + √2 + √3 হলে x + {1/(x - 1)} এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 1 + √2 + √3
⇒ x - 1 = √2 + √3

∴ x + {1/(x - 1)}
= (1 + √2 + √3) + {1/(√2 + √3)}
= (1 + √2 + √3) + [(√3 - √2)/{(√3 - √2)(√2 + √3)}]
= (1 + √2 + √3) + {(√3 - √2)/(3 - 2)}
= (1 + √2 + √3) + (√3 - √2) 
= 1 + 2√3

প্রশ্ন: a + b = √5 এবং a - b = √3 হলে a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
a + b = √5 এবং a - b = √3

আমরা জানি,
2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²
⇒ 2(a² + b²) = (√5)² + (√3)²
⇒ 2(a² + b²) = 5 + 3 
⇒ 2(a² + b²) = 8 
⇒ a² + b² = 8/2
⇒ a² + b² = 4

প্রশ্ন: a² + b² + 2a = - 1 হলে a¹¹ + b² = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + b² + 2a = - 1
বা, a² + b² + 2a + 1 = 0
বা, a² + 2a + 1 + b² = 0
বা, (a + 1)² + b² = 0

আমরা জানি, দুইটি রাশির সমষ্টি শূন্য হলে পৃথক পৃথক ভাবে তারা শূন্য হয়
∴ (a + 1)²  = 0
বা, a + 1 = 0
বা, a = - 1

এবং
b² = 0
বা, b = 0

এখন,
a¹¹ + b²
= (- 1)¹¹ + (0)²
= - 1

প্রশ্ন: p - (1/p) = 6 হলে {p + (1/p)}² = ?

সমাধান:
{p + (1/p)}²
= {p - (1/p)}² + 4(p)(1/p)
= (6)² + 4 
= 36 + 4 
= 40

প্রশ্ন: a + b = d হলে a³ + b³ + 3abd এর মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = d

প্রদত্ত রাশি,
a³ + b³ + 3abd
= {(a + b)³ - 3ab(a + b)} + 3abd
= d³ - 3abd + 3abd
= d³

প্রশ্ন: x + (1/x) = 2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 2
⇒ (x² + 1)/x = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ (x- 1)²  = 0 [ (a + b)² = a² - 2ab + b² ]
⇒ x - 1= 0 [ বর্গমূল করে]
⇒ x = 1

প্রশ্ন: a = 4b = 5c এবং abc = 400 হলে c² + c³ এর মান কত?  

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 5c এবং
4b = 5c ⇒ b = (5/4) × c  

এখন,
abc = 400
বা, 5c × (5/4)c × c = 400 
বা, (25/4) c³ = 400 
বা, c³ = (400 × 4)/25 = 64
বা, c = ³√64 = (4³)^1/3
বা, c = 4

∴ c² + c³
= 4² + 4³ = 16 + 64 = 80

প্রশ্ন: a³ + b³ = 91 এবং a + b = 7 হলে, ab = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a³ + b³ = 91 
a + b = 7

আমরা জানি,
a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b)
⇒ 91 = (7)³ - 3ab × 7
⇒ 91 = 343 - 21ab 
⇒ 21ab = 343 - 91 
⇒ 21ab = 252
⇒ ab = (252 ÷ 21)
⇒ ab = 12

প্রশ্ন: (a + b) = 3 এবং (a - b) = 2 হলে 8ab এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
(a + b) = 3 এবং
(a - b) = 2

এখন,
8ab
= 2 × 4ab
= 2 × {(a + b)² - (a - b)²}
= 2 × {(3)² - (2)²}
= 2 × (9 - 4)
= 2 × 5
= 10