১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

= m - [m - {m - (-1)}]
= m - [m - {m + 1}]
= m - [m - m - 1]
= m - [-1]
= m + 1

x² + 9y² + 4x - 12y + 4
= x² + 9y² + 4 + 4x - 12y
= x² + (-3y)² + 2² + 2.x.(-3y) + 2.(-3y).2 + 2.2.x + 6xy
= (x-3y+2)² + 6xy
∴ - 6xy যোগ করতে হবে।

আমরা জানি,
4ab = (a + b)² - (a - b)²
এবং 2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²

∴ প্রদত্ত রাশি = 16ab(a² + b²)
= 2. 4ab. 2(a² + b²)
= 2.{(a + b)²- (a - b)²} . {(a + b)² + (a - b)²}
= 2.(7 - 5) . (7 + 5)
= 2. 2. 12
= 48

সুতরাং, 16ab(a² + b²) = 48

x² + 2y(x - 1) - 1
= x² + 2xy - 2y - 1
= x² + 2xy + y² - y² - 2y - 1
= (x² + 2xy + y² ) - (y² + 2y + 1)
= (x + y)² - (y + 1)²
= (x + y + y + 1)(x + y - y - 1)
= (x + 2y + 1)(x - 1)
∴ x² + 2y(x - 1) - 1 এর উৎপাদক হচ্ছে (x + 2y + 1) এবং (x - 1)

১ম রাশি, p² + p - 2 = p² + 2p - p - 2 = p(p + 2) - 1(p + 2) = (p + 2)(p - 1)
২য় রাশি, p⁴ + p² + 1 = (p²)² + 2p² + 1 - p² = (p² + 1)² - p² = (p² + 1 - p)(p² + 1 + p)
∴ p² + p - 2 এবং p⁴ + p² + 1 এর গ.সা.গু = 1.

{1 - √(x-1)} / {1 + √(x-1)} = 1/5
⇒ {1 - √(x-1) + 1 + √(x-1)} / {1 - √(x-1) - 1 - √(x-1)} = (1+5)/(1-5) [যোজন ও বিয়োজন করে]
⇒ 2 / {-2√(x-1)} = 6/(-4)
⇒ 2 / √(x-1) = 3
⇒ 3√(x-1) = 2
⇒ 9(x-1) = 4 [বর্গ করে]
⇒ 9x - 9 = 4
⇒ 9x = 4 + 9
⇒ x = 13/9

আমরা জানি, পূর্ণবর্গ রাশির মূলদ্বয় সমান হয়।
যদি b² - 4ac = 0 হয়, তবে সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে।
এখানে, b = -p, a = 2 এবং c = 2
⇒ (-p)² - 4.2.2 = 0
⇒ p² - 16 = 0
⇒ p = √16
⇒ p = 4

 xy < 0 অর্থাৎ দুইটি সংখ্যার গুণফল 0 থেকে ছোট। সুতরাং এর একটি সংখ্যা ধনাত্বক এবং অপরটি ঋণাত্বক। যেহেতু x < 0 অর্থাৎ x এর মান ঋণাত্বক, সেহেতু y এর মান অবশ্যই ধনাত্বক হবে; অর্থাৎ, y > 0।
আবার z > 0 অর্থাৎ z এর মান ধনাত্বক।
প্রদত্ত শর্তানুসারে, xz < yz সঠিক।
y < xz এবং xyz > 0 সঠিক নয়।

-5 < x-3 <5
বা, -5 + 7 < x - 3 + 7 < 5 + 7
বা, 2 < x + 4 < 12
সুতরাং, a = 2, b = 12

(3^x+6 - 9.3^x+3) / 3^x+2
= (3^x.3⁶ - 9.3^x.3³) / 3^x.3²
= 3^x(3⁶ - 9.3³) / 3^x.3²
= (729 - 243) / 9
= 54

(q/p)^5a-4 = (p/q)^2a+3
⇒ (p/q)^-(5a-4) = (p/q)^2a+3
⇒ -5a + 4 = 2a + 3
⇒ -7a = -1
⇒ a = 1/7

log₅5(³√5)

= log₅(5 × 5^1/3)
= log₅(5^1+1/3)
= log₅5^4/3 [∵ log_aM^r = r log_aM]
= 4/3 log₅5
= 4/3 [∵ log_aa = 1]

100 জন শিক্ষার্থীর মোট ওজন = (100 × 48) = 4800 কেজি।
60 জন ছাত্রের মোট ওজন = (60 × 50) = 3000 কেজি।
সুতরাং, 40 জন ছাত্রীর মোট ওজন = (4800 - 3000) = 1800 কেজি।

∴ ছাত্রীদের গড় ওজন = 1800/40 = 45 কেজি।

লাল বল হওয়ার সম্ভাবনা = 6/(2 + 6 + 7)
= 6/15
= 2/5
লাল বল না হওয়ার সম্ভাবনা = 1-(2/5)
= 3/5

প্রথম 6 জন থেকে 4 জন নিয়ে টিম গঠন করা যাবে = ⁶C₄
= 6!/(4! × 2!)
= 15 উপায়ে।

পরের 9 জন থেকে 7 জন নিয়ে টিম গঠন করা যাবে = ⁹C₇
= 9!/(7! × 2!)
= 36 উপায়ে।

টিম গঠন করা যাবে = ⁶C₄ × ⁹C₇
= 15×36
= 540 উপায়ে।

RECENT শব্দটির মধ্যে মােট 6 টি অক্ষর আছে।
এদের মধ্যে দুইটি স্বরবর্ণ (E) আছে।
সুতরাং, শব্দটির অক্ষরগুলোকে মােট সাজানোর উপায় = 6! / 2! = 360
শুরুতে ও শেষে স্বরবর্ণ (Vowel) রেখে সাজানোর উপায় = 4! = 24

এখানে,
P = {x: x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 7} = {2, 3, 5, 7}
Q = {x: x ধনাত্বক পূর্ণ সংখ্যা, x² > 5 এবং x³ < 30} = {3}
R = {x: x ধনাত্বক পূর্ণ বিজোড় সংখ্যা এবং x² ≤ 25} ={1, 3, 5}
সুতরাং, P ∩ Q ∩ R = {3}
সঠিক উত্তর না থাকায় বাতিল করা হয়েছে।

(5x - 4y, 4) = (6, x + 2y)
5x - 4y = 6 ……….(i)
x + 2y = 4 ………..(ii)
(ii) নং থেকে পাই,
x = 4 - 2y …………(iii)
(i) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
5(4 - 2y) - 4y = 6
বা, 20 - 10y - 4y = 6
বা, -14y = -14
বা, y = 1
y এর মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
x = 4-2 =2
∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 1)

আমরা জানি,
Fibonacci সংখ্যা = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... পরপর দুটি সংখ্যার যােগফল পরবর্তী সংখ্যার সমান।
A = {x : x Fibonacci সংখ্যা এবং x² ≤ 64} = {0, 1, 2, 3, 5, 8}    [∵ সেটে একই উপাদান দুইবার নেয়া যায় না]
A সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, P(A) সেটের উপাদান সংখ্যা হবে 2ⁿ
এখানে, n = 6
∴ P(A) সেটের উপাদান সংখ্যা = 2⁶ = 64টি।

এখানে, n(F) = 30, n(C) = 25 এবং n(F ∩ C) =11
আমরা জানি, n(F U C) = n(F) + n(C) – n(F ∩ C)
= 30 + 25 - 11
= 44
∴ অন্তত একটি খেলা পছন্দ করে 44 জন।
∴ কোনটিই পছন্দ করে না = 50 - 44 = 6 জন।

একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে মোট ফলাফল = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6টি
বিজোড় সংখ্যা = {1, 3, 5}
দুই দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = {3, 6}
∴ বিজোড় সংখ্যা অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = {1, 3, 5, 6} = 4টি
∴ সম্ভাবনা = 4/6 = 2/3

নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
b² - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

এখানে,ধারাটির প্রথম পদ a = 5, সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3
ধরি, n তম পদ = 302
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) d
বা, 5 + (n - 1) 3 = 302
বা, n = 100
ধারাটির 100 তম পদ 302 হবে।

একই রকম জিনিস গুলোকে একটি ধরে মোট 11 টি জিনিস থেকে 4 টি জিনিস বাছাই করা যায় = ¹¹C₄ = 11! / 4!7! = 330 প্রকারে।

একই রকম 2 টি জিনিস থেকে 2 টি এবং বাকি 2 টি জিনিস ভিন্ন 10 টি জিনিস থেকে বাছাই করা যায় = ²C₂ × ¹⁰C₂
= 1 × 45
= 45 প্রকারে।

সুতরাং, মোট বাছাই করা যায় = 330 + 45 = 375 প্রকারে।

পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা হয়।
যেহেতু √৯ = ৩, সুতরাং √৯ একটি মূলদ সংখ্যা।
আর পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ সংখ্যা।

৪০ এবং ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা ৭৯ এবং ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা ৪১।
এদের অন্তর ৭৯ - ৪১ = ৩৮।

ধরি,
একটি সংখ্যা 4x এবং অন্যটি 5x.
∴ ল.সা.গু = 20x
এবং গ.সা.গু. = x
প্রশ্নমতে,
20x = 60
∴ x = 3
∴ সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. = 3

২০% বৃদ্ধিতে চালের পূর্ব মূল্য ১০০ টাকা হলে বর্তমান মূল্য ১২০ টাকা।
১২০ টাকায় কমাতে হবে ২০ টাকা
∴ ১ টাকায় কমাতে হবে ২০/১২০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় কমাতে হবে (২০×১০০) / ১২০ টাকা
= ১৬.৬৭ টাকা

ধরি, আসল = ৮ টাকা
তাহলে, মুনাফা = ৩ টাকা
সুতরাং, মুনাফা-আসল = ১১ টাকা
এখন,
মুনাফা-আসল ১১ টাকা হলে মুনাফা = ৩ টাকা
∴ মুনাফা-আসল ৫৫০০ টাকা হলে মুনাফা = (৩×৫৫০০)/১১ টাকা
= ১৫০০ টাকা
তাহলে আসল = ৫৫০০ - ১৫০০ = ৪০০০ টাকা।
মুনাফার হার = (১৫০০×১০০) / (৪০০০×৩) = ১২.৫%

ধরি,
X : Y : Z = ১৭ : ৩ : ৪
অনুপাত গুলোর সমষ্টি (১৭+৩+৪) = ২৪
এখন, ৯৬/২৪ = ৪
সুতরাং, মিশ্রণে Z এর পরিমাণ (৪×৪) = ১৬ কেজি।

মনে করি,
১০ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল ৫x বছর এবং পুত্রের বয়স ছিল ৩x বছর।
∴ পিতার বর্তমান বয়স (৫x + ১০) বছর এবং পুত্রের বর্তমান বয়স (৩x +১০) বছর।

প্রশ্নমতে,
(৫x + ১০) + (৩x +১০) = ৮৪
⇒ ৮x + ২০ = ৮৪
⇒ ৮x = ৬৪
∴ x = ৮

∴ পিতার বর্তমান বয়স (৫ × ৮ + ১০) = ৫০ বছর
এবং পুত্রের বর্তমান বয়স (৩ × ৮ +১০) = ৩৪ বছর

∴ ১০ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত হবে
(৫০+১০) : (৩৪+১০)
= ৬০ : ৪৪
= ১৫ : ১১

১০ টি লেবুর ক্রয় মূল্য ৫ টাকা
∴ ১ টি লেবুর ক্রয় মূল্য = ৫/১০ = ০.৫ টাকা
আবার,
৮ টি লেবুর বিক্রয় মূল্য ৫ টাকা
∴ ১ টি লেবুর বিক্রয় মূল্য ৫/৮ = ০.৬২৫ টাকা
সুতরাং লাভ = (০.৬২৫ - ০.৫) = ০.১২৫
০.৫ টাকায় লাভ হয় ০.১২৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় (০.১২৫×১০০) / ০.৫ টাকা
= ২৫ টাকা
সুতরাং ২৫% লাভ হয়।

দুইটি কোণের পরিমাপ এর যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ, দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০°

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°।
∴ ত্রিভুজটির তৃতীয় কোণের পরিমাণ ১৮০° - (৩৭° + ৫৩°) = ৯০°।
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।

দুইটি দেখা AB ও CD পরস্পরকে ছেদ করায় যে চারটি কোণ উৎপন্ন হলো এদের একটি ∠AOD এর পরিমাপ ১২৫°।
এখন AB ও CD সরল রেখা হওয়ায়,
∠AOC = ∠BOD = (১৮০ - ১২৫)° = ৫৫°
সুতরাং, ∠AOD এর সন্নিহিত কোণ দুটির সমষ্টি = (৫৫ +৫৫)° = ১১০°

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √3/4 (6)²
= 9√3

আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
একটি কর্ণের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য = 32/2 = 16 সেন্টিমিটার।
∴ অপর কর্ণের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য = √(20² - 16²) = √144 = 12
∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = 12 × 2 = 24

ধরি, ভূমি x সেন্টিমিটার
∴ লম্ব x-3 সেন্টিমিটার এবং অতিভুজ x+3 সেন্টিমিটার
প্রশ্নমতে,
x² + (x-3)² = (x+3)²
⇒ x² + x² - 6x + 9 = x² + 6x + 9
⇒ 2x² - 6x + 9 - x² - 6x - 9 = 0
⇒ x² -12x = 0
⇒ x - 12 = 0
⇒ x = 12
∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 12+3 = 15 সেন্টিমিটার।

চিত্র থেকে,
5² = x² + 3²
⇒ x = √16
∴ x = 4
∴ জ্যা এর দৈর্ঘ্য AC = 2×4 = 8

বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে বৃত্তের পরিধি = 2πr সেন্টিমিটার
= 2 × 22/7 × 35 সেন্টিমিটার
= 220 সেন্টিমিটার

বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে তলের মোট ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গমিটার
= 6 × 5²
= 150 বর্গমিটার