Math Master

দেওয়া আছে, 
C = {x ∈ N : 1 < x ≤ 5}
C = {2, 3, 4, 5}
C এর উপাদান সংখ্যা n=4

P(C) এর উপাদান সংখ্যা = 2ⁿ 
                                      = 2⁴
                                      = 16 

A = {x | x ধনাত্মক সংখ্যা এবং x² < 16}
∴ A = {1, 2, 3}
B = {x | x মৌলিক সংখ্যা এবং x² <16}
∴ B = {2, 3}
C = {x | x ধনাত্মক সংখ্যা এবং x² = 16}
∴ C = {4}

∴ A ∩ B ∩ C = {1, 2, 3} ∩ {2, 3} ∩ {4}
                    = Ø

বাক্সে 10 টি সবুজ এবং 15 টি লাল বল আছে
 মোট বল = 10+15 = 25 টি

সবুজ বল হওয়ার সম্ভাবনা = (10/25)×(9/24)
                                      = 3/20
লাল বল হওয়ার সম্ভাবনা = (15/25)×(14/24)
                                      =7/20

মোট সম্ভাবনা = (3/20)+(7/20)
                     = (3 + 7)/20
                     = 10/20
                     = 1/2

দেয়া আছে, 
প্রদত্ত উপাত্ত ৫, ৭, ৯, ১০, ১৫, ৯, ১১, ৬, ৯ 

উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই, 
৫, ৬, ৭, ৯, ৯, ৯, ১০, ১১, ১৫

এখানে, 
উপাত্তগুলোর মধ্যে ৯ সবচেয়ে বেশি বার  আছে। 
প্রচুরক = ৯ 

আমরা জানি,
যদি উপাত্তের সংখ্যা n হয় আর n যদি বিজোড় হয় তবে মধ্যক হবে {(n + 1)/2} তম পদের মান 

উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই- 
২,৪,৫,৭,৮,৯,১২,১৩,১৫,১৭,১৮,১৯,২০
 উপাত্ত সংখ্যা = ১৩

মধ্যক  = {(n + 1)/2} তম পদের মান 
           = {(১৩ + ১)/২}  তম পদের মান 
           = (১৪/২) তম পদের মান 
           = ৭  তম পদের মান 

নির্ণেয় মধ্যক = ১২

বাক্সে লাল আছে = ৭টি 
বাক্সে  কালো আছে = ৯টি 
সাদা বল আছে = ৬টি 

মোট বল = (৭ + ৯ + ৬)টি  = ২২ টি 

বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ৭/২২ 
বলটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা =৯/২২

বলটি লাল বা কালো হওয়ার সম্ভাবনা  = (৭/২২) + (৯/২২)
                                                         = (৭ + ৯)/২২
                                                         = ১৬/২২
                                                          = ৮/১১

জুলাই মাসের ২য় সপ্তাহে মোট ৭ দিনে বৃষ্টি হয়েছিল ৫ দিন
বুধবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭

বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ৫/৭
                                              = (৭ - ৫)/৭
                                              = ২/৭

মনে করি,
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে ক - ১, ক, ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক - ১)(ক)(ক + ১) = ৮(ক - ১ + ক + ক + ১)
বা, ক(ক² - ১) = ৮×৩ক
বা, ক² - ১ = ২৪
বা, ক² = ২৫
∴ ক = ৫
সুতরাং সংখ্যা তিনটি হলো  ৪, ৫, ৬
এবং এদের গড় = (৪ + ৫ + ৬)/৩ = ৫

• একটি প্যাকেটে মোট তাসের সংখ্যা = 52টি।
• এর মধ্যে লাল কালো তাসের সংখ্যা = 26টি করে।
• রুইতন, হরতন, ইস্কাপন ও চিরাতন 13টি করে।
• টেক্কা, রাজা, রানি ও জ্যাক 4টি করে।
• নম্বর যুক্ত তাস 36টি।
• ছবিযুক্ত তাস 12টি (রাজা, রানি ও জ্যাক 4টি করে)।


∴ তাস দু’টি হরতন হওয়ার সম্ভাবনা সম্ভাবনা = ^১৩C_২/^৫২C_২
                                                                  = ৭৮/১৩২৬
                                                                   = ১/১৭

ধরি,
 ফুটবল পছন্দ করা ছাত্রের সেট = n(A) এবং
ক্রিকেট পছন্দ করা ছাত্রের সেট = n(B)
এখানে n(A) = 25, n(B) = 20 এবং n(A ∪ B) = 40, n(A ∩ B) = ?

আমরা জানি,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
বা, 40 = 25 + 20 - n(A ∩ B)
 n(A ∩ B) = 45 - 40 = 5

নীল বল = 6টি 
সাদা বল = 8টি
কালো বল = 10টি 

মোট বল = (6 +8 + 10)টি 
              = 24 টি 

সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = 8/24 
                                 = 1/3 

সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - 1/3 
                                     = (3 - 1)/3 
                                      = 2/3 

তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা বিন্দু হবে = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
                                                                                                    = 8 টি

তাহলে কেবল একটা টেল পাওয়ার অনুকূল ঘটনাগুলো = {HHT, HTH,THH}
                                                                                  = 3 টি।
সুতরাং কেবল একটা টেল উঠার সম্ভাবনা, P(1T) = 3/8 

দেয়া আছে, 
A = {1, 2, 3},
B= {3, 4} এবং
C ={4, 5, 6} 

A × B =  {1, 2, 3} × {3, 4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4)}
B × C = {3, 4} ×{4, 5, 6} = {(3,4), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6)}

(A × B) ∩ (B × C ) = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4)} ∩ {(3,4), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6)}
                             = {(3,4)}

সাদা বল = 4টি 
কালো বল = 5টি 
মোট বল = (4 + 5)টি 

9টি বলের মধ্যে 3টি বল কালো হবার সম্ভাবনা = ⁹C₃ = 84
5টি বলের মধ্যে 3টি বল কালো হবার সম্ভাবনা =⁵C₃ = 10
3টি বলই কালো হওয়ার সম্ভাবনা = 10/84
                                                  = 5/42

A = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ}
    = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

B = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12}
   = {3, 6, 9, 12}

∴ A - B = {1, 2, 3, 4, 6, 12} - {3, 6, 9, 12}
            = {1, 2, 4}