Math Master

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯ হলে সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম সংখ্যা = ক
দ্বিতীয় সংখ্যা = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ১৯
⇒ ক^২ + ২ক + ১^২ - ক^২ = ১৯
⇒ ২ক = ১৯ - ১
⇒ ২ক = ১৮
⇒ ক = ১৮/২
⇒ ক = ৯

অর্থাৎ 
প্রথম সংখ্যা = ৯
দ্বিতীয় সংখ্যা = ৯ + ১ = ১০

∴ সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল = (১০ + ৯) = ১৯

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৭৫% এর সাথে ৭৫ যোগ করলে যোগফল ঐ সংখ্যার সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক এর ৭৫%) + ৭৫ = ক
⇒ (৭৫ক/১০০) + ৭৫ = ক
⇒ (৭৫ক + ৭৫০০)/১০০ = ক
⇒ ৭৫ক + ৭৫০০ = ১০০ক
⇒ ১০০ক - ৭৫ক = ৭৫০০
⇒ ২৫ক = ৭৫০০
⇒ ক = ৭৫০০/২৫
⇒ ক = ৩০০ 

অর্থাৎ সংখ্যাটি = ৩০০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের যোগফল ৪২০ । বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৩ক
বৃহত্তম সংখ্যা = ৪ক 

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৪ক = ৪২০
⇒ ৭ক = ৪২০
⇒ ক = ৪২০/৭
⇒ ক = ৬০ 

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৪ × ৬০ = ২৪০

প্রশ্ন: সর্বোচ্চ কতজন শিক্ষার্থীর মধ্যে ১১৫ টি খাতা ও ১৩৫ টি কলম সমান ভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে? 

সমাধান:
সর্বোচ্চ শিক্ষার্থীর সংখ্যা হবে ১১৫ ও ১৩৫ এর গ.সা.গু এর সমান।

এখন,
১১৫ = ৫ × ২৩
১৩৫ = ৩ × ৩ × ৩ × ৫ 

নির্ণেয় গ.সা.গু. = ৫ 

অর্থাৎ ৫ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ১১৫ টি খাতা ও ১৩৫ টি কলম সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে। 

প্রশ্ন: কত টাকার ৩/৫ অংশ ৯০ টাকার ৪/৫ অংশের সমান?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর (৩/৫) = ৯০ এর (৪/৫)
বা, ৩ক/৫ = ৭২
বা, ক = (৭২ × ৫)/৩
বা, ক = ১২০

অর্থাৎ সংখ্যাটি = ১২০ 

প্রশ্ন: একটি বই ১২০ টাকায় বিক্রয় করায় ২৫% ক্ষতি হয়। বইটি কত টাকায় কেনা হয়েছিলো?

সমাধান:
ধরি,
বইটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 

২৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - (১০০ এর ২৫%) = (১০০ - ২৫) টাকা = ৭৫ টাকা 

এখন,
বিক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৭৫ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ১২০)/৭৫ = ১৬০ টাকা 

অর্থাৎ বইটির ক্রয়মূল্য = ১৬০ টাকা 

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ১৫ এবং অন্তর ১৩ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ক
∴ ছোট সংখ্যাটি = ক - ১৩

প্রশ্নমতে,
ক + (ক - ১৩) = ১৫
⇒ ক + ক - ১৩ = ১৫
⇒ ২ক = ১৫ + ১৩
⇒ ২ক = ২৮
⇒ ক = ২৮/২
⇒ ক = ১৪

অর্থাৎ বড় সংখ্যাটি = ১৪
∴ ছোট সংখ্যাটি = ১৪ - ১৩ = ১

প্রশ্ন: ডালের মূল্য ২০% কমে গেলে ডালের ব্যবহার শতকরা কি পরিমাণ বাড়ালে ডালের জন্য খরচের কোনো পরিবর্তন হবে না?

সমাধান:
ধরি,
ডালের পূর্বমূল্য = ১০০ টাকা 
২০% মূল্য হ্রাস পাওয়ায় বর্তমান মূল্য = ১০০ - (১০০ এর  ২০%) = (১০০ - ২০) টাকা = ৮০ টাকা 

খরচ একই রাখতে ব্যবহার বাড়াতে হবে = ১০০ - ৮০ = ২০ টাকা 

এখন,
৮০ টাকায় ব্যবহার বাড়াতে হবে = ২০ টাকা 
∴ ১ টাকায় ব্যবহার বাড়াতে হবে = ২০/৮০ টাকা 
∴ ১০০ টাকায় বাড়াতে হবে = (২০ × ১০০)/৮০ টাকা = ২৫ টাকা 

অর্থাৎ ডালের ব্যবহার ২৫% বাড়ালে খরচের কোনো পরিবর্তন হবে না।

প্রশ্ন: ৪৫ লিটার ফলের রসে কমলা ও আমের অনুপাত ২ : ১। ফলের রসে আমের রসের পরিমাণ কি পরিমাণ বৃদ্ধি করলে অনুপাত ১ : ২ হবে?

সমাধান:
ধরি,
আমের রসের পরিমাণ = ক লিটার 
কমলার রসের পরিমাণ = ২ক লিটার 

এখন,
ক + ২ক = ৪৫ 
বা, ৩ক = ৪৫
বা, ক = ৪৫/৩
বা, ক = ১৫ লিটার 

অর্থাৎ আমের  রসের পরিমাণ = ১৫ লিটার 
কমলার রসের পরিমাণ = (১৫ × ২) লিটার = ৩০ লিটার

ধরি,
আমের রস মেশাতে হবে = খ লিটার

প্রশ্নমতে,
৩০/(১৫ + খ) = ১/২
বা, ৬০ = ১৫ + খ
বা, খ = ৬০ -১৫
বা, খ = ৪৫ লিটার

অর্থাৎ ফলের রসে আমের রসের পরিমাণ ৪৫ লিটার বৃদ্ধি করলে অনুপাত ১ : ২ হবে। 

প্রশ্ন: তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা হতে দুই অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল কত হবে?

সমাধান:
তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা হলো = ৯৯৯
এবং দুই অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০

∴ সংখ্যাদ্বয়ের বিয়োগফল = ৯৯৯ - ১০ = ৯৮৯ 

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ১২% হারে ৬০০ টাকার দেড় বছরের মুনাফা কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, p = ৬০০ টাকা 
মুনাফার হার, r = ১২%
সময়, n = দেড় বছর = (১২ + ৬) মাস = ১৮ মাস = (১৮/১২) বছর = ৩/২ বছর 

আমরা জানি,
মুনাফা, I = pnr/১০০
= {৬০০ × (৩/২) × ১২}/১০০
= ১০৮ টাকা 

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ৩০ এবং গ.সা.গু. ১৫ । একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার অর্ধেক হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ক
অপর সংখ্যা = ক/২

প্রশ্নমতে,
ক × (ক/২) = ৩০ × ১৫
⇒ ক^২/২ = ৪৫০
⇒ ক^২ = ৪৫০ × ২
⇒ ক^২ = ৯০০
⇒ ক = ৩০ [ বর্গমূল করে ] 

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩০/২ = ১৫

প্রশ্ন: একটি ট্যাংকের ১/৫ অংশ পানি দ্বারা পূর্ণ অবস্থায় আছে। বাকি অংশ পূর্ণ করতে ৮০ লিটার পানি প্রয়োজন হলে ট্যাংকের ধারণক্ষমতা কত?

সমাধান:
ধরি,
ট্যাংকের ধারণক্ষমতা = ক লিটার 

পানি পূর্ণ আছে = ক/৫ লিটার 

∴ বাকি আছে = ক - (ক/৫) = (৫ক - ক)/৫ = ৪ক/৫ লিটার 

প্রশ্নমতে,
৪ক/৫ = ৮০
বা, ৪ক = ৪০০ লিটার 
বা, ক = ৪০০/৪ লিটার 
বা, ক = ১০০ লিটার

প্রশ্ন: দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি ৮ । যদি সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করে তাহলে সংখ্যাটি ৫৪ বৃদ্ধি পায়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক = ক
দশক স্থানীয় অঙ্ক = খ

সংখ্যাটি = ক + ১০খ

প্রশ্নমতে,
১০ক + খ = ক + ১০খ + ৫৪
বা, ১০ক - ক + খ - ১০খ = ৫৪
বা, ৯ক - ৯খ = ৫৪
বা, ৯(ক - খ) = ৫৪
বা, ক - খ = ৫৪/৯
বা, ক - খ = ৬ .................. (১)

দেওয়া আছে,
ক + খ = ৮ ............ (২)

(১) ও (২) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
২ক = ৮ + ৬ = ১৪
বা, ক = ১৪/২
বা, ক = ৭

ক এর মান (২) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
৭ + খ = ৮
বা, খ = ৮ - ৭ = ১

∴ সংখ্যাটি = ক + ১০খ = ৭ + (১০ × ১) = ৭ + ১০ = ১৭

প্রশ্ন: একটি স্কুলের বার্ষিক পরীক্ষায় ৮৫ জন ছাত্রের মধ্যে ৬৮ জন ছাত্র ফেল করলে পাশের হার কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট ছাত্র = ৮৫ জন 
ফেল করে = ৬৮ জন
∴ পাশ করে = ৮৫ - ৬৮ = ১৭ জন

এখন,
৮৫ জন ছাত্রের মধ্যে পাশ করে = ১৭ জন
∴ ১ জন ছাত্রের মধ্যে পাশ করে = (১৭/৮৫) জন 
∴ ১০০ জন ছাত্রের মধ্যে পাশ করে = (১৭ × ১০০)/৮৫ জন = ২০ জন 

∴ পাশের হার = ২০%

প্রশ্ন: টাকায় ৫ টি জিনিস ক্রয় করে ৪ টি দরে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
৫ টি জিনিসের ক্রয়মূল্য = ১ টাকা 
১ টি জিনিসের ক্রয়মূল্য = ১/৫ টাকা 

৪ টি জিনিসের বিক্রয়মূল্য = ১ টাকা 
১ টি জিনিসের বিক্রয়মূল্য = ১/৪ টাকা 

লাভ = (১/৪) - (১/৫) = (৫ - ৪)/২০ = ১/২০ টাকা 

১/৫ টাকায় লাভ হয় = ১/২০ টাকা 
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ৫/২০ টাকা 
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (৫ × ১০০)/২০ = ২৫ টাকা 

অর্থাৎ লাভের পরিমাণ = ২৫%

প্রশ্ন: কোন সম্পত্তির ৭/৮ অংশের মূল্য ৮৫৭৫ টাকা। ঐ সম্পত্তির ৩/৪ অংশের মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
মোট সম্পত্তির পরিমাণ = ক টাকা 

প্রশ্নমতে,
৭ক/৮ = ৮৫৭৫
বা, ৭ক = ৮৫৭৫ × ৮
বা, ক = (৮৫৭৫ × ৮)/৭
বা, ক = ৯৮০০ 

অর্থাৎ মোট সম্পত্তির পরিমাণ = ৯৮০০ টাকা 

∴ মোট সম্পত্তির ৩/৪ অংশ = ৯৮০০ এর (৩/৪) অংশ
= ৭৩৫০ টাকা 

প্রশ্ন: বার্ষিক 10% হারে 2 বছরে 1200 টাকার সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত টাকা হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, p = 1200 টাকা 
মুনাফার হার, r = 10%
সময়, n = 2 বছর 

আমরা জানি,
সরল মুনাফা,
I =pnr/100
= (1200 × 2 × 10)/100
= 240

এবং চক্রবৃদ্ধি মুনাফা, 
C.I. = A - p = p{1 + (r/100)}ⁿ - p
= 1200{1 + (10/100)}² - 1200
= 1200{1 + (1/10)}² - 1200
= 1200{(10 + 1)/10}² - 1200
= 1200(11/10)² - 1200
= 1200(121/100) - 1200
= (12 × 121) - 1200
= 1452 - 1200
= 252

∴ সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য = C.I. - I = (252 - 240) টাকা = 12 টাকা

প্রশ্ন: কতগুলো ঘণ্টা একত্রে বাজার পর যথাক্রমে ৫, ১০, ১৫, ২০ এবং ২৫ সেকেন্ড অন্তর বাজতে লাগলো। ঘণ্টাগুলো কতক্ষন পর পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৫, ১০, ১৫, ২০ এবং ২৫ এর ল.সা.গুর সমান সময়ের পর ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে। 

৫ = ১ × ৫
১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
২৫ = ৫ × ৫ 

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু. = ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৫ = ৩০০

∴ ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = ৩০০ সেকেন্ড = ৩০০/৬০ মিনিট = ৫ মিনিট পর।

প্রশ্ন: একটি খুঁটির অর্ধাংশ মাটির নিচে, এক তৃতীয়াংশ পানির মধ্যে ও ৮ ফুট পানির উপরে আছে। সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য = ক ফুট 

পানি ও মাটিতে আছে = (ক/২) + (ক/৩) = (৩ক + ২ক)/৬ = ৫ক/৬ অংশ 

পানির উপরে আছে = ক - (৫ক/৬) = (৬ক - ৫ক)/৬ = ক/৬ অংশ 

প্রশ্নমতে,
ক/৬ = ৮
বা, ক = ৮ × ৬
বা, ক = ৪৮ 

অর্থাৎ সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য = ৪৮ ফুট 

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৪ গুণের সাথে ১০ যোগ করলে যোগফল ৬ হয়। যদি সংখ্যাটির দ্বিগুণের সাথে ৭ যোগ করা হয় তাহলে যোগফল কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
৪ক + ১০ = ৬
৪ক = ৬ - ১০
৪ক = - ৪
ক = - ৪/৪ 
ক = - ১

∴ ২ক + ৭
= ২ × ( - ১) + ৭
= - ২ + ৭
= ৫

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৭০ বছর। ৫ বছর পূর্বে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ছিলো ১১ : ৪ । পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৭০ বছর।
৫ বছর পূর্বে পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ছিলো = ৭০ - (৫ + ৫) = (৭০ - ১০) বছর = ৬০ বছর 

ধরি,
৫ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিলো = ১১ক বছর 
পুত্রের বয়স ছিলো = ৪ক বছর 

প্রশ্নমতে,
১১ক + ৪ক = ৬০
বা, ১৫ক = ৬০
বা, ক = ৬০/১৫
বা, ক = ৪

অর্থাৎ ৫ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিলো = (১১ × ৪) বছর = ৪৪ বছর এবং পুত্রের বয়স ছিলো = (৪ × ৪) বছর = ১৬ বছর 
∴ পিতার বর্তমান বয়স = (৪৪ + ৫) বছর = ৪৯ বছর 
এবং পুত্রের বর্তমান বয়স = (১৬ + ৫) বছর = ২১ বছর 

প্রশ্ন: একজন বিক্রেতা একটি বাটি ৩০% লাভে ৬৫ টাকায় বিক্রি করেন। যদি তিনি লাভের পরিমাণ ২০% এ নামিয়ে আনেন তাহলে বাটির বিক্রয়মূল্য কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
বাটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ ৩০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + (১০০ এর ৩০%) = (১০০ + ৩০) টাকা = ১৩০ টাকা 

বিক্রয়মূল্য ১৩০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১৩০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ৬৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৬৫)/১৩০ টাকা = ৫০ টাকা 

এখন,
২০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২০/১০০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ৫০ টাকা হলে বিক্রয়ম্যুল্য = (১২০ × ৫০)/১০০ = ৬০ টাকা 

অর্থাৎ যদি বিক্রেতা লাভের পরিমাণ ২০% এ নামিয়ে এনে বিক্রি করেন তাহলে বাটির বিক্রয়মূল্য হবে ৬০ টাকা ।