৪০ দিনে ৪৭তম বিসিএস প্রস্তুতি - Archived

Timon of Athens, tragedy in five acts by William Shakespeare, probably written sometime in 1605–08 and published in the First Folio of 1623 from an authorial manuscript, probably unfinished.
Some parts of the play may be by Thomas Middleton. It belongs to Shakespeare’s late experimental period, when he explored a new kind of tragic form.
Shakespeares' other Tragedies are:
Hamlet, Macbeth, Othello, King Lear, Julius Caesar, Romeo and Juliet, Antony and Cleopatra, Titus Andronicus, etc.
Source: Britannica.com

x⁰ + y^x0
= 1 + y¹ (x⁰ = 1)
= 1 + y

625(√5)^2x = 1
বা, (√5)^2x = 1/625
বা, (√5)^2x = 1/(5×5×5×5)
বা, (√5)^2x = 1/(√5)⁸
বা, (√5)^2x = (√5)^-8
বা, 2x = -8
বা, x = -4

এখানে ধারাটির পদগুলো ১, ৩, ৫, ৭, ......... ৪৯। এটি একটি সমান্তর ধারা।
সুতরাং ধারাটির নির্ণেয় গড় = (শেষ পদ + প্রথম পদ)/২
= (৪৯+১)/২
= ৫০/২
= ২৫

দেওয়া আছে, a^b = b^a, a = 2b
এখন, a^b = b^a
বা, (2b)^b = b^2b
বা, 2^b . b^b = (b^b)²
বা, 2^b = b^b
বা, 2 = b
সুতরাং, b = 2
এখন, a = 2b = 2×2 = 4

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে n তম পদ = a + (n-1)d
এখানে, ৭তম পদ, ৬০ = a + (৭-১)৯
বা, ৬০ = a + ৫৪
বা, a = ৬
সুতরাং ১২তম পদ = ৬ + (১২-১) ৯
= ৬ + ১১ × ৯
= ৬ + ৯৯
= ১০৫

3.2ⁿ - 4.2^(n-2)
= 3.2ⁿ - 2².2^(n-2)
= 3.2ⁿ - 2^(2+n-2)
= 3.2ⁿ - 2ⁿ
= 2ⁿ (3-1)
= 2ⁿ × 2
= 2⁽ⁿ⁺¹⁾

এখানে, ধারাটির পদ সংখ্যা = (শেষপদ - প্রথম পদ)/সাধারণত অন্তর + ১
= (৩৬-৩)/৩ + ১
= ১১ + ১
= ১২
এবং গড় = (৩৬+৩)/২
= ৩৯/২
সুতরাং সমষ্টি = ১২ × ৩৯/২
= ৬ × ৩৯
= ২৩৪

কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি পদ ৫ ও ১৭ হলে, সাধারণ অন্তর = ১৭-৫ = ১২।
সুতরাং তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + সাধারণ অন্তর
= ১৭+১২
= ২৯

log₃²⁴³ + log₃²⁷ + log₃⁸¹
= log₃³⁵ + log₃³³ + log₃³⁴
= 5 log₃³ + 3 log₃³ + 4 log₃³
= 5 × 1 + 3 × 1 + 4 × 1 [log_a^a = 1]
= 5 + 3 + 4
= 12

দেখা যাচ্ছে যে, তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + প্রথম পদ = ১+১ =২
আবার, চতুর্থ পদ = তৃতীয় পদ + দ্বিতীয় পদ = ২+১ = ৩
পঞ্চম পদ = চতুর্থ পদ + তৃতীয় পদ = ৩+২ = ৫
সুতরাং নবম পদ = অষ্টম পদ + সপ্তম পদ = ২১+১৩ = ৩৪

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n+1)/2}^২
সুতরাং, ১^৩ + ২^৩ + ৩^৩ + ......... + ১০^৩ = {১০(১০+১)/২}^৩
= (৫×১১)^২
= ৩০২৫

(5/3)^x = 1
Or, (5/3)^x = (5/3)⁰ [(5/3)⁰ = 1]
Or, x = 0

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে n তম পদ = a + (n-1)d।
এখন, n তম পদ ৩১১ হলে, ৫ + (n-১) × ৩ = ৩১১
বা, (n-১) × ৩ = ৩১১ - ৫
বা, n-১ = ৩০৬/৩
বা, n-১ = ১০২
বা, n = ১০২ + ১
বা, n = ১০৩

8^x + 8^x + 8^x + 8^x + 8^x + 8^x + 8^x + 8^x
= 8.8^x
= 8^(x+1)
= 2^3(x+1)
= 2^(3x+3)

এখানে, প্রথম পদ = ২০, শেষ পদ = ১৪০ এবং সাধারণ অন্তর = ৫।
সুতরাং পদ সংখ্যা = (শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণত অন্তর + ১
= (১৪০-২০)/৫ + ১
= ১২০/৫ + ১
= ২৪ + ১
= ২৫

এখানে, ২ + ৬ + ১৮ + ..... ধারাটির‌
প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অনুপাত, r = ৬/২ = ৩
এবং পদ সংখ্যা, n = ৫
সুতরাং সমষ্টি = a (rⁿ - 1)/(r-1)
= ২ × (৩^৫ - ১)/(৩-১)
= ২ × (২৪৩-১)/২
= ২৪২

log₂¹²⁸
= log₂²⁷
= 7 log₂²
= 7 × 1 [log₂² = 1]
= 7

৩ × ২ + ১ = ৭
৭ × ২ + ১ = ১৫
১৫ × ২ + ১ = ৩১
৩১ × ২ + ১ = ৬৩
৬৩ × ২ + ১ = ১২৭

a⁷ × a^-5 × a³ × a^-6 × a³ × a^-2
= a^{(7-5-2+3-6+3)}
= a^13-13
= a⁰
= 1