Math Master

প্রশ্ন: m স্বাভাবিক সংখ্যা এবং (- 2)^2m = 2^{9 - m} হলে m এর মান কত?

সমাধান:
(- 2)^2m = 2^{9 - m}
⇒ 2^2m = 2^{9 - m} 
⇒ 2m = 9 - m
⇒ 2m + m = 9
⇒ 3m = 9
⇒ m = 9/3
⇒ m = 3

প্রশ্ন: 2^{x - 6} = 1/32 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
2^{x - 6} = 1/32
⇒ 2^{x - 6} = 1/2⁵
⇒ 2^{x - 6} = 2^{- 5}
⇒ x - 6 = - 5 
⇒ x = - 5 + 6
⇒ x = 1

প্রশ্ন: log_a (ab) = c হলে log_b (ab) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_a (ab) = c
⇒ log_a a + log_a b = c
⇒ 1 + log_a b = c
⇒ log_a b = c - 1
⇒ 1/log_b a = c - 1
⇒ logb a = 1/(c -1)

∴ log_b (ab)
= log_b a + log_b b 
= {1/(c - 1)} + 1
= (1 + c - 1)/(c - 1)
= c/(c - 1)

প্রশ্ন: যদি (a/b)^{x - 1} = (b/a)^{x - 3} হয় তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{x - 1} = (b/a)^{x - 3}
⇒ (a/b)^{x - 1} = 1/(a/b)^{x - 3}
⇒ (a/b)^{x - 1} = (a/b)^{- (x - 3)}
⇒ x - 1 = - (x - 3)
⇒ x - 1 = - x + 3
⇒ x + x = 3 + 1
⇒ 2x = 4
⇒ x = 4/2
⇒ x = 2

প্রশ্ন: log_x 144 = 4 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x 144 = 4
⇒ x⁴ = 144
⇒ x⁴ = 16 × 9
⇒ x⁴ = 2⁴ × 3²
⇒ x⁴ = 2⁴ × {(√3)²}²
⇒ x⁴ = 2⁴ × (√3)^{2 × 2}
⇒ x⁴ = 2⁴ × (√3)⁴
⇒ x⁴ = (2√3)⁴
⇒ x = 2√3

প্রশ্ন: 2^{(2x + 2)} = 8^{(x + 3)} হলে, x² এর মান কত?

সমাধান:
2^{(2x + 2)} = 8^{(x + 3)}
⇒ 2^{(2x + 2)} = (2³)^{(x + 3)}
⇒ 2^{(2x + 2)} = 2^{(3x + 9)}
⇒ 2x + 2 = 3x + 9
⇒ 3x - 2x = 2 - 9
⇒ x = - 7

∴ x² = (- 7)² 
= 49

প্রশ্ন: log_x (1/8) = - 2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x (1/8) = - 2
⇒ x^{- 2} = 1/8
⇒ x^{- 2} = 1/(√8)²
⇒ x^{- 2} = (√8)^{- 2}
⇒ x = √8
⇒ x = √(4 × 2)
⇒ x = 2√2

প্রশ্ন: 2^{2x + 1} = 512 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
2^{2x + 1} = 512
⇒ 2^{2x + 1} = 2⁹
⇒ 2x + 1 = 9
⇒ 2x = 9 - 1
⇒ 2x = 8
⇒ x = 8/2
⇒ x = 4

প্রশ্ন: 343√7 এর 7 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
log₇ (343√7)
=log₇ (7³ × 7^1/2)
= log₇ 7^{{3 + (1/2)}}
= log₇ 7^{{(6 + 1)/2}}
= log₇ 7^7/2
= (7/2) log₇ 7
= 7/2

প্রশ্ন: (3^{- 1} + 2^{- 1})^{- 1} এর মান কত?

সমাধান:
(3^{- 1} + 2^{- 1})^{- 1}
= {(1/3) + (1/2)}^{- 1}
= {(2 + 3)/6}^{- 1}
= (5/6)^{- 1}
= 1/(5/6)
= 6/5

প্রশ্ন: log₁₀ 2 = 0.10 হলে log₂ 10 এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀ 2 = 0.1
⇒ log₁₀ 2 = 1/10
⇒ 1/log₂ 10 = 1/10
⇒ log₂ 10 = 10

প্রশ্ন: 2401(√7)^2x = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
⇒ (√7)^2x = 1/2401
⇒ (√7)^2x = 1/(7⁴)
⇒ (√7)^2x = 7^{- 4}
⇒ (√7)^2x = {(√7)²}^{- 4}
⇒ (√7)^2x = (√7)^{- 8}
⇒ 2x = - 8
⇒ x = (- 8/2)
⇒ x = - 4

প্রশ্ন: log₄ 2 = b হলে b এর মান কত?

সমাধান:
log₄ 2 = b
⇒ 4^b = 2
⇒ (2²)^b = 2
⇒ 2^2b = 2¹
⇒ 2b = 1
⇒ b = 1/2

প্রশ্ন: যদি x = y^b, y = z^c এবং z = x^d হয় তাহলে bcd এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = y^b, y = z^c এবং z = x^d

এখন,
x = y^b
⇒ x =(z^c)^b
⇒ x = z^bc
⇒ x = (x^d)^bc
⇒ x¹ = x^bcd
⇒ bcd = 1

প্রশ্ন: log_x (3/2) = - 1/2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x (3/2) = - 1/2
⇒ x^{- (1/2)} = 3/2
⇒ 1/x^(1/2) = 3/2
⇒ 1/√x = 3/2
⇒ (1/√x)² = (3/2)² [বর্গ করে]
⇒ 1/x = 9/4
⇒ x = 4/9

প্রশ্ন: 400 এর লগ 4 হলে লগের ভিত্তি কত?

সমাধান:
ধরি, ভিত্তি = a

প্রশ্নমতে,
log_a 400 = 4
⇒ a⁴ = 400
⇒ a⁴ = (20)²
⇒ a⁴ = (4 × 5)²
⇒ a⁴ = {(2√5)²}²
⇒ a⁴ = (2√5)⁴
⇒ a = 2√5

অর্থাৎ 400 এর লগ 4 হলে লগের ভিত্তি হবে 2√5