সহকারী থানা শিক্ষা অফিসার (ATEO)

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণ ১২০° হলে, তার বাহুর সংখ্যার বর্গের মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ = ১২০° 
∴ সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = (১৮০ - ১২০)°
= ৬০° 

আমরা জানি, 
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০° 
∴ বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/৬০° 
= ৬ টি

∴ বাহুর সংখ্যার বর্গ = (৬)^২ টি
= ৩৬ টি।

সরলরেখা: 
- দুইটি সরলরেখা সমান্তরাল হলে কোন বিন্দুতে ছেদ করবে না। 
- দুইটি সরলরেখা আড়াআড়িভাবে সর্বোচ্চ একটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে। 
- দুইটি সরলরেখা পরস্পরের উপর সমাপতিত হলে উক্ত রেখা দুইটি অসংখ্য বিন্দুতে মিলিত হয়। 

প্রশ্ন: (1, 1) এবং (2, 2) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত? 

সমাধান: 
বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = √{(x - x₁)² + (y - y₁)²}
= √{(2 - 1)² + (2 - 1)²}
= √{(1)² + (1)²}
= √(1 + 1) 
= √2

প্রশ্ন: ১৫ টি বিন্দুর মধ্যে ৬ টি একই সরলরেখায় অবস্থান করছে। এই ১৫ টি বিন্দু দিয়ে সর্বমোট কতটি সরলরেখা আঁকা সম্ভব? 

সমাধান: 
সরলরেখা তৈরি করতে মোট বিন্দু লাগে = ২ টি 
∴ ১৫ টি বিন্দু দিয়ে সরলরেখা আঁকা যায় = ^১৫C_২ টি
= ১০৫ টি 

এখানে,
 ৬ টি বিন্দু সমরেখ তাই তাদের দিয়ে আলাদা বা বিচ্ছিন্ন রেখা পাওয়া যায়না। 
∴ ৬ টি বিন্দু দিয়ে সরলরেখা হত ^৬C_২ = ১৫ টি; যা মোট থেকে বাদ যাবে এবং ৬টি বিন্দু একটি সরলরেখা গঠন করে তাই ১ যোগ হবে। 

∴ মোট সরলরেখা হবে = (১০৫ - ১৫ + ১) টি
= ৯১ টি ।

প্রশ্ন: 2x + 3y - 12 = 0 রেখাটি x- অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাংক-

সমাধান: 
প্রদত্তরেখা 2x + 3y - 12 = 0
x -অক্ষের ছেদবিন্দুতে y = 0
∴ 2x - 12 = 0
বা, 2x = 12
বা, x = 12/2
∴ x = 6
∴ x- অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাং = (6, 0)  ।

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৭ হলে, বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে, কর্ণের সংখ্যা = {n × (n - ৩)}/২ 
= ৭ × (৭ - ৩)/২
= ৭ × (৪/২)
= ৭ × ২
= ১৪ টি। 

প্রশ্ন: নিচের কোন সমীকরণটি সরলরেখা প্রকাশ করে না? 

সমাধান: 
y = 4x - 1,
3y + 2x - 6 = 0 এবং,
y - 5x + 2 = 0
অপশনে উল্লিখিত উপরের সমীকরণ তিনটিতে xy সংবলিত পদ নেই।

কিন্তু, 
y(2 - x) = 3
বা 2x - xy = 3, এই সমীকরণে xy সংবলিত পদ আছে তাই এটি সরলরেখা হবে না।

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের মানের অনুপাত ২ : ১ হলে, বহুভুজটি হবে- 

সমাধান: 
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণ যথাক্রমে ২ক ও ক 

প্রশ্নমতে,
২ক + ক = ১৮০° 
বা, ৩ক = ১৮০°
∴ ক = ৬০°
∴ অন্তঃস্থ কোণ = (২ × ৬০°) = ১২০°
এবং বহিঃস্থ কোণ = ৬০°

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৬০°
= ৬ টি 

অতএব, বহুভুজটি হবে একটি ষড়ভুজ।

প্রশ্ন: (3x + 2y) = 24 এবং (4x + 3y) = 33 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
3x + 2y = 24 ...... (1)
4x + 3y = 33 ...... (2)

{(1) × 3}  - {(2) × 2} নং সমীকরণ থেকে পাই, 
9x + 6y - 8x - 6y = 72 - 66 
∴ x = 6

x এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
3 × 6 + 2y = 24 
⇒ 18 + 2y = 24
⇒ 2y = 24 - 18
⇒ 2y = 6
∴ y = 3

∴ সরলরেখা দুটি (6, 3) বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মাণ কেন্দ্রস্থ কোণ ৮০° হলে বৃত্তস্থ কোণ- 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ, বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগ্ণ হয়ে থাকে। 

এখন, 
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মাণ কেন্দ্রস্থ কোণ = ৮০° হলে
∴ বৃত্তস্থ কোণ হবে = ৮০°/২ 
= ৪০°। 

প্রশ্ন: x + 3y = 0 সমীকরণের লেখচিত্র কী হবে? 

সমাধান: 
x + 3y = 0 
বা, 3y = - x 
∴ y = (- 1/3)x, যা y = mx এর অনুরূপ- 
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ y = mx 
∴ x + 3y = 0 সমীকরণের লেখচিত্র হবে মূল বিন্দুগামী সরলরেখা। 

প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের কোণগুলোর অনুপাত 5 : 6 : 7 : 8 : 9 : 10 হলে, ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম কোণের গড় কত?

সমাধান: 
কোণগুলোর সমষ্টি = (5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) = 45
∴ ষড়ভুজের 6 কোণের সমষ্টি = 720° 

∴ ছোট কোণ = (5/45) × 720° = 80° 
এবং
বৃহত্তম কোণ = (10/45) × 720° = 160°

∴ ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম কোণের গড় = (80° + 160°)/2
= 120° ।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ৪০% কমে, তবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত কমে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
অর্থাৎ, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৪০% কমলে ২ বার ৪০% করে কমবে।
∴ প্রথম বার কমে হবে = (১০০ - ৪০)%
= ৬০%

আবার, 
দ্বিতীয় বার কমবে = ৬০ এর ৪০% 
= ৬০ × (৪০/১০০) 
= ২৪০০/১০০ 
= ২৪% 

∴ ক্ষেত্রফল মোট কমবে = (৪০ + ২৪)% 
= ৬৪% ।

প্রশ্ন: কোন বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x, y) হলে, মূল বিন্দুর দূরত্ব কত? 

সমাধান: 
মূল বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (0, 0) 
একটি বিন্দু (x, y) 

∴ দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব = √{(x - x₁)² + (y - y₁)²}
= √{(x - 0)² + (y - 0)²}
= √(x² + y²)

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ 150° হলে কর্ণের সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = 360°/(180° - অন্তঃকোণ) 
= 360°/(180° - 150°)
= 360°/30°
= 12 টি 

∴ কর্ণের সংখ্যা = {n × (n - 3)}/2
= {12 × (12 - 3)}/2
= (12 × 9)/2 
= 108/2 
= 54 টি।

প্রশ্ন: সরলরেখার প্রান্ত বিন্দু কয়টি? 

সমাধান: 

প্রশ্ন: y = 5 এবং x = 3y + 2 সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি? 

সমাধান: 
y = 5 ...... (1) 
x = 3y + 2 ........ (2) 
(1) নং সমীকরণ হতে পাই,
y = 5 

(2) নং সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই, 
x = 3 × 5 + 2 
বা, x = 15 + 2 
∴ x = 17 

∴ সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (17, 5).

প্রশ্ন: একটি বিন্দু দিয়ে কয়টি বৃত্ত অংকন করা যাবে? 

সমাধান: 
- একটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত অংকন করা যাবে। 

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত: 
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না। 
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়। 
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়। 
- বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে। 
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়। 
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।