Math Master

১ম পদ a = ১,
সাধারণ অন্তর d = ৪ - ১ = ৩

∴ ৩৫-পদ = a + (৩৫ - ১)d
= ১ + (৩৪ × ৩)
= ১০৩

১ম পদ a,
সাধারণ অন্তর d = ৮,

৭ম পদ = a + (৭ - ১)d = ৫২
বা, a + ৬ × ৮ = ৫২
বা, a = ৫২ - ৪৮ = ৪

∴ ২১ তম পদ = a + (২১ - ১)d
= ৪ + ২০ × ৮
= ৪ + ১৬০
= ১৬৪

a = 1,
d = 5 - 1 = 4,
ধরি,
n-তম পদ,
a + (n - 1)d = 385
বা, 1 + (n - 1)4 = 385
বা, (n - 1)4 = 384
বা, n - 1 = 96
∴ n = 97

১ম পদ (a) = ৩,
সাধারণ অন্তর (d) = ৬ - ৩ = ৩,
শেষ পদ = ৯৬
∴ পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(৯৬ - ৩)/৩} + ১
= ৩১ + ১
= ৩২

n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
∴ 105টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = 105(105 + 1)/2
= (105 × 106)/2
= 5565

স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {৩১(৩১ + ১)(২.৩১ + ১)}/৬
= (৩১ × ৩২ × ৬৩)/৬
= ১০,৪১৬

১ম পদ (a) = ৫,
সাধারণ অন্তর (d) = ৯ - ৫ = ৪
∴ n-তম পদ = a + (n - 1)d = ৮১
বা, ৫ + (n - ১)৪ = ৮১
বা, (n - ১)৪ = ৭৬
বা, n - ১ = ১৯
∴ n = ২০

∴ সমষ্টি (s) = n/2{2a + (n - 1)d}
= ২০/২{২×৫ + (২০ - ১)৪}
= ১০(১০ + ৭৬)
= ১০ × ৮৬
= ৮৬০

এখানে,
দু'টি ধারা,
(i) ২, ৩, ৪, ৫
(ii) ৪, ৭, ১০, ১৩
∴ পরবর্তী পদ = ১৩

a = ২৯,
d = ২৫ - ২৯ = -৪,
n = ১০
∴ সমষ্টি = n/২{২a + (n - ১)d}
= ১০/২{২ × ২৯ + (১০ - ১)(-৪)}
= ৫(৫৮ - ৩৬)
= ৫ × ২২
= ১১০

n = 3 হলে,
৩য় পদ = Sin{(2.3 + 1) π/2}
= Sin(7 × 90°)
= Sin630°
= -1

a = 1,
d = ?
পদ সংখ্যা = n
সমষ্টি = (1 + 99) × পদসংখ্যা/2
বা, 2500 = (100 × n)/2
∴ n = 50
আবার,
n = {(99 - 1)/d}+ 1
বা, 50 = (98/d) + 1
বা, 49 = 98/d
∴ d = 2

১ম পদ = a,
সাধারণ অন্তর = d
∴ ৫ম = a + (৫ - ১)d
= a + ৪d
এবং
১২ তম পদ = a + (১২ - ১)d
= a + ১১d
∴ ৫ম পদ এবং ১২তম পদের সমষ্টি = ২a + ১৫d = ৪৯

∴ ১ম ১৬টি পদের সমষ্টি = ১৬/২ × {২a + (১৬ - ১)d}
= ৮ × (২a + ১৫d)
= ৮ × ৪৯
= ৩৯২

a = 6,
r = 12/6 = 2
∴ ৭ম পদ = ar^7-1
= 6.2⁶
= 384

a = ১,
r = ২/১ = ২,
n তম পদ = ar^n-১
বা, ১২৮ = ১ × r^n-১
বা, r^n-১ = ২^৭
বা, ২^n-১ = ২^৭
বা, n - ১ = ৭
∴ n = ৮

১ম পদ = a,
সাধারণ অন্তর = r,
∴ ৫ম পদ = ar⁴ = 40 ..... (1)
ষষ্ঠ পদ = ar⁵ = 80 ...... (2)
(2) নং ÷ (1) নং করে পাই,
⇒ r = 2

এখন,
(1) নং থেকে পাই,
a.2⁴ = 40
বা, 16a = 40
∴ a = 2.5

a = 12,
r = 24/12 = 2
∴ n তম পদ = ar^n-1
বা, 768 = 12.2^n-1
বা, 2^n-1 = 64 = 2⁶
বা, n - 1 = 6
∴ n = 7
∴ সমষ্টি = a.(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 12 × (2⁷ - 1)/(2 - 1)
= 12 × 127
= 1524

a = 16,
r = 32/16 = 2
∴ n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a.(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 16.(2ⁿ - 1)/(2 - 1)
= 16(2ⁿ - 1)
∴ 16(2ⁿ -1) = 240
বা, 2ⁿ - 1 = 15
2ⁿ = 16 = 2⁴
∴ n = 4

a = 1/3,
r = (1/12)/(1/3)
= 1/12 × 3
= 1/4 < 1
∴ সমষ্টি = a.(1 - rⁿ)/(1 - r)
= 1/3.{1 - (1/4)⁶}/(1 - 1/4)
= (1/3){(1 - 1/4096)/(1 - 1/4)}
= 1/3 × (4095/4096)/(3/4)
= 1/3 × 4095/4096 × 4/3
= 455/1024