ডেইলি কুইজ [১৪০ দিনের রুটিনের অংশ]

প্রশ্ন: একটি রিক্সার চাকায় ১৮° পরপর স্পোক লাগানো থাকে। তাহলে সম্পূর্ণ চাকাটিতে মোট কতটি স্পোক লাগানো আছে?

সমাধান:
আমরা জানি,
 চাকার কেন্দ্রে মোট উৎপন্ন কোণ = ৩৬০°

∴ ১৮° পরপর স্পোক লাগানো থাকলে
মোট স্পোকের সংখ্যা = ৩৬০°/ ১৮° 
= ২০ টি

∴ সম্পূর্ণ চাকাটিতে মোট ২০ টি স্পোক লাগানো আছে।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8 ও 15 সে মি হলে, ত্রিভুজটির অতিভুজের দ্বিগুণ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8 ও 15 সে মি 

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
অতিভুজ²= 8² + 15²
= 64 + 225
= 289
= 17²
∴ অতিভুজ = 17
তাহলে, অতিভুজের দ্বিগুণ = 17 × 2 = 34

প্রশ্ন: যদি cosθ = 0.7 তাহলে sinθ = ? যেখানে,  0 ≤ θ < 90°

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosθ = 0.7

আমরা জানি,
sin²θ + cos²θ = 1
বা, sin²θ + (0.7)²= 1
বা, sin²θ + 0.49 = 1
বা, sin²θ = 1 - 0.49 = 0.51
∴ sinθ = √0.51

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত ৪ : ৩ এবং ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গ সে. মি. হলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের পার্থক্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত ৪ : ৩ 

মনে করি,
কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৪ক ও ৩ক
প্রশ্নমতে,
(১/২) × ৪ক × ৩ক = ২১৬
বা, (১/২) × ১২ক^২= ২১৬
বা, ৬ক^২= ২১৬
বা, ক^২= ২১৬/৬
বা, ক^২ = ৩৬
বা, ক = √৩৬
∴ ক = ৬

রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে (৪ × ৬) বা ২৪ সে. মি. এবং (৩ × ৬) বা ১৮ সে. মি.

∴ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের পার্থক্য = (২৪ - ১৮) = ৬ সে. মি.

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 80 বর্গ সে. মি. এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 14 সে. মি. এবং 6 সে . মি. হলে, ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতার তিন চতুর্থাংশ কত সে. মি. হবে?

সমাধান:
মনে করি,
ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা P সে. মি.
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 14 সে. মি. এবং 6 সে . মি


আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
⇒ 80 = (1/2) × (14 + 6) × P
⇒ 80 =(1/2) × 20 × P
⇒ 80 = 10P
∴ P = 80/10 = 8 সে. মি.

∴  ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা 8 সে. মি
তাহলে, ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতার তিন চতুর্থাংশ = 8 × (3/4) = 6  সে. মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 13 মিটার, প্রস্থ 5 মিটার হলে এর দৈর্ঘ্য কত সে. মি. হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 13 মিটার, প্রস্থ 5 মিটার
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য P মি.

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{(দৈর্ঘ্য²+ (প্রস্থ)²}
বা, 13 = √{(P)²+ (5)²}
বা, 13 = √(P²+ 25)
বা, √(P²+ 25) =13
বা, P²+ 25 = 13²
বা, P²= 169 - 25
বা, P²= 144
বা, P = √144
∴ P = 12

∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 12 মি. = (12 × 100) বা 1200 সে. মি.

প্রশ্ন: Sin{(8π/2) + θ} = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
Sin{(8π/2) + θ} 
= Sin{8 × (π/2) + θ}
= Sin{(8 × 90°)+ θ}
অর্থাৎ, 90° করে 8 বার ঘুরে ১ম চতুর্ভাগে আসবে। যেখানে Sinθ ধনাত্মক।
∴ Sin{(8π/2) + θ} = Sinθ

প্রশ্ন: 55° কে বৃত্তীয় পদ্ধতিতে প্রকাশ করুন

সমাধান:
আমরা জানি,
180° = π রেডিয়ান
1° = π/180° রেডিয়ান
∴ 55° = (π × 55°)/180° রেডিয়ান
= 11π/36  রেডিয়ান

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ও ভূমি সমান হলে, অতিভুজের অর্ধেক কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ও ভূমি সমান 
মনে করি,
সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব = ভূমি = P

আমরা জানি,
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
= P²+ P²
= 2P²
⇒ অতিভুজ² = 2P²
⇒ অতিভুজ = √2P
⇒ অতিভুজ/2 = √2P/2
∴ অতিভুজ/2 = P/√2

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন 729 ঘনসে.মি. হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি ঘনকের আয়তন 729 ঘনসে.মি
মনে করি,
ঘনকের ধার P সে. মি.

আমরা জানি,
ঘনকের আয়তন = (ঘনকের ধার)³ = P³ ঘনসে.মি 

প্রশ্নমতে,
P³ = 729
বা, P³ = 9³
বা, P = 9

∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3 × ঘনকের ধার
= √3 × 9
= 9√3 সে. মি.

প্রশ্ন: সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে. মি. এবং উচ্চতা 4 সে. মি. হলে, এর বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 7 সে. মি.
উচ্চতা, h = 4 সে. মি

আমরা জানি,
সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh
= 2 × π × 7 × 4
= 56π

∴ সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 56π

প্রশ্ন: tan(θ + 30°) = √3 হলে, cosθ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tan(θ + 30°) = √3 
⇒ tan(θ + 30°) = tan60°
⇒ (θ + 30°) = 60°
⇒ θ = 60° - 30°
⇒ θ = 30°

∴ cosθ = cos30° = √3/2

প্রশ্ন: একটি সুষম অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টির অর্ধেক কত?

সমাধান:
এখানে,
অষ্টভুজের বাহুর সংখ্যা = 8

আমরা জানি,
যেকোনো বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ = (n - 2) × 180°

∴ অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি = (8 - 2) × 180° = 6 × 180° = 1080°
তাহলে, সুষম অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টির অর্ধেক = 1080°/2
= 540°
= 540°/90° সমকোণ
= 6 সমকোণ

প্রশ্ন: 24 মিটার লম্বা একটি মই ভূমির সাথে 30° কোণ করে দেয়ালের শীর্ষ স্পর্শ করে। দেয়ালের উচ্চতা কত?

সমাধান:

দেয়ালটির উচ্চতা AB = ?
মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = 24 মিটার
Sin∠ACB = AB/AC
Sin 30° = AB/24
1/2 = AB/24
2AB = 24
AB = 24/2 = 12

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১০ ফুট এবং লম্ব ৬ ফুট হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১০ ফুট
এবং লম্ব ৬ ফুট

আমরা জানি,
লম্ব^২+ ভূমি^২ = অতিভুজ^২
বা, ৬^২+ভূমি^২= ১০^২
বা, ৩৬ + ভূমি^২ = ১০০
বা, ভূমি^২ = ১০০ - ৩৬
বা, ভূমি = √৬৪
∴ ভূমি = ৮

তাহলে, ভূমির দৈর্ঘ্য ৮ ফুট

প্রশ্ন: একটি কোণকের উচ্চতা 12 সে. মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 6 সে. মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের উচ্চতা, h = 12 সে. মি.
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 6 সে. মি.

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন = (1/3) × π × r² × h ঘনএকক
= (1/3) × π × 6² × 12 ঘনসে.মি.
= (1/3) × π × 36 × 12 ঘনসে.মি.
= 144Π ঘনসে.মি.