Math Master

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৩৫ সে.মি. এবং এর পরিসীমা ১.২ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক সে.মি.

আমরা জানি,
১.২ মিটার = ১২০ সে.মি.
∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(ক + ৩৫) সে.মি.

প্রশ্নমতে,
২(ক + ৩৫) = ১২০
⇒ ২ক + ৭০ = ১২০
⇒ ২ক = ১২০ - ৭০
⇒ ২ক = ৫০
∴ ক = ২৫

∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (৩৫ × ২৫) = ৮৭৫ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।

এখানে,
প্রত্যেকটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর যোগফলকে তৃতীয় (বৃহত্তম) বাহুর সাথে তুলনা করে পাই,
৪ + ৭ = ১১ > ৯ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
২ + ৫ = ৭ > ৬ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
৫ + ৭ = ১২ < ১৩ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
৩ + ৫ = ৮ > ৫ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।

প্রশ্ন: 12 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 12 সে.মি.

∴ সমবাহু ত্রিভুজের বাহু = √3 × বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= √3 × 12 সে.মি.
= 12√3 সে.মি.

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √3/4 × (বাহু)²
= (√3/4) × (12√3)²
= (√3/4) × 144 × 3
= 108√3 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
বর্গের বাহু a হলে,
কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2

প্রশ্নমতে, 
a√2 = 6√2
⇒ a = 6

∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = 6² = 36 বর্গ একক

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 26 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় থাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে।
∴ XE : EF = 2 : 1
⇒ 26 : EF = 2 : 1
⇒ 26/EF = 2/1
⇒ 2EF = 26
⇒ EF = 26/2
⇒ EF = 13

∴ ত্রিভুজটির মধ্যমা, XF = XE + EF = 26 + 13 = 39 সে.মি.

প্রশ্ন: সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে,
অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
∴ সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (6 - 2) × 180°
= 4 × 180°

∴ অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ = 2(4 × 180°)
= 8 × 180°
= 8 × 2 সমকোণ
= 16 সমকোণ

প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের দুই-তৃতীয়াংশের সমান। কোণটির মান কত?

সমাধান:
একটি কোণ ক হলে,
কোণটির পূরক কোণ = (৯০° - ক)

এখন,
ক = (৯০° - ক) × (২/৩)
⇒ ক = (১৮০° - ২ক)/৩
⇒ ৩ক = ১৮০° - ২ক
⇒ ৩ক + ২ক = ১৮০°
⇒ ৫ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৮০°/৫
⇒ ক = ৩৬°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১৭ সে.মি. এবং পরিসীমা ৪০ সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব a, ভূমি b এবং অতিভুজ c = 17 সেমি হলে,
a + b + 17 = 40
⇒ a + b = 23 ...................... (i)

আবার,
a² + b² = 17²
⇒ (a + b)² - 2ab = 289
⇒ (23)² - 2ab = 289
⇒ 529 - 2ab = 289
⇒ 2ab = 529 - 289
⇒ 2ab = 240
⇒ ab = 120 .................... (ii)

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ab
= (1/2) × 120
= 60 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ সে.মি. ও ৯ সে.মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ৯ বর্গ সে.মি.
= ৩৬ বর্গ সে.মি.

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, ক^২ = ৩৬ বর্গ সে.মি.
⇒ ক = ৬ সে.মি.

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ক
= (৪ × ৬) সে.মি
= ২৪ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ মি., ১৫ মি. এবং ১৭ মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
এখানে পরিসীমা S = (৮ + ১৫ + ১৭)/২
= ৪০/২
= ২০ মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = √{S (S - a) (S - b) (S - c)}
= √{২০(২০ - ৮) (২০ - ১৫) (২০ - ১৭)}
= √(২০ × ১২ × ৫ × ৩)
= √৩৬০০
= ৬০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্ত:স্থ কোণ ১৭২°। বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্ত:স্থ কোণ = ১৭২°
∴ বহুভুজটির বহিঃস্থ কোণ = ১৮০° - ১৭২° = ৮°

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৮°
= ৪৫ টি

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ৩ সে.মি. ছোট, কিন্তু অতিভুজ, ভূমি অপেক্ষা ৩ সে.মি. বড়। ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ভূমি = x সে.মি.
লম্ব = (x - 3) সে.মি.
অতিভুজ = (x + 3) সে.মি.

সুতরাং,
(x + 3)² = x² + (x - 3)²
⇒ x² + 6x + 9 = x² + x² - 6x + 9
⇒ x² + 6x + 9 - x² - x² + 6x - 9 = 0
⇒ x² + 12x = 0
⇒ x(x - 12) = 0

হয়,
x = 0 
যা অসম্ভব।

অথবা, x - 12 = 0
∴ x = 12 সে.মি.

প্রশ্ন: 7 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট কোন বৃত্তের কেন্দ্র হতে 25 সে.মি. দূরত্বের কোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্যের অর্ধেক কত সে.মি.?

সমাধান:

মনে করি,
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ব্যাসার্ধ, OA = 7 সে.মি.
বৃত্তের কেন্দ্র হতে দূরত্ব, OB = 25 সে.মি.
যেহেতু, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ও স্পর্শক পরস্পর লম্ব।

∴ ΔOAB হতে পাই,
আমরা জানি,
OB² = OA² + AB²
⇒ AB² = OB² - OA²
⇒ AB² = 25² - 7²
⇒ AB² = 625 - 49
⇒ AB = √576
∴ AB = 24

∴ অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্যের অর্ধেক = 24/2 = 12 সে.মি.

প্রশ্ন: (x - 10)° কোণের সম্পূরক কোণ (x - 30)° হলে, x = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180° হলে কোণ দুইটিকে পরস্পরের সম্পূরক কোণ বলে।

এখন,
(x - 10)° + (x - 30)° = 180°
⇒ 2x - 40° = 180°
⇒ 2x = 180° + 40°
⇒ 2x = 220°
⇒ x = 220°/2
∴ x = 110°

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৬৪√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)(বাহু)^২
এখন, (√৩/৪)(বাহু)২ = ৬৪√৩
⇒ (১/৪)(বাহু)^২ = ৬৪
⇒ (বাহু)^২ = ৬৪ × ৪
⇒ (বাহু)^২ = ২৫৬
⇒ বাহু = √২৫৬
⇒ বাহু = ১৬

∴ ত্রিভুজের পরিসীমা = (১৬ + ১৬ + ১৬) সে.মি.
= ৪৮ সে.মি.

প্রশ্ন: 48 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ABCD বর্গের পরিসীমা = 48 মিটার
∴ ABCD বর্গের বাহু = 48/4 = 12 মিটার

এখন,
কর্ণ = ব্যাস = বাহু × √2 = 12√2
∴ ব্যাসার্ধ = 12√2/2 = 6√2

∴ ক্ষেত্রফল = π(6√2)²
= 72π বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুইটি কোণের পার্থক্য ৬ ডিগ্রী হলে বৃহত্তম কোণটি কত ডিগ্রী হবে?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ = ক
বৃহত্তম কোণ = ক + ৬°

প্রশ্নমতে,
ক + ক + ৬° = ৯০°
⇒ ২ক = ৯০° - ৬°
⇒ ক = ৮৪°/২
⇒ ক = ৪২°

∴ বৃহত্তম কোণ = ৪২° + ৬° = ৪৮°