গুণোত্তর ধারা

অনুক্রমটি n + 2^n-1
∴ পঞ্চম পদ = 5 + 2^5-1 = 5 + 2⁴ = 21
ষষ্ঠ পদ = 6 +2^6-1 = 6 + 2⁵ = 38
∴ ব্যবধান = 38 - 21 = 17

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে,
প্রথম পদ (a) = ৩,
সাধারণ অনুপাত (r) = -২,
পদসংখ্যা (n) = ৮
∴  সমষ্টি (s) = a × {(1 - rⁿ)/ (1 - r)} [যেহেতু, r < 1]
= ৩ × {(১ - (-২)^৮)/(১ - (-২))}
= ৩ × (১ - ২৫৬)/৩
= ১ - ২৫৬
= -২৫৫

প্রশ্ন:

সমাধান:

১ম পদ a = 1/√2
সাধারণ অনুপাত r = (-1) ÷ 1/√2 = -√2
n তম পদ = 8√2
প্রশ্নমতে
বা, 8√2 = (1/√2)(-√2)^(n-1)
বা, 8√2√2 = (-√2)^(n-1)
বা, 16 = (-√2)^(n-1)
বা, (-√2)⁸ = (-√2)^(n-1)
বা, n - 1 = 8
∴ n = 9
নির্ণেয় প্রদত্ত ধারাটির নবম পদের মান 8√2

প্রশ্ন: 7 - 14 + 28 - 56 + ........ ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত, r = - 14/7 = - 2 ; r < 1
পদ সংখ্যা, n = 9

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)

9টি পদের সমষ্টি = 7{1 - (- 2)⁹}/{1 - (- 2)}
= 7(1 + 512)/(1 + 2)
= (7 × 513)/3
= 7 × 171
= 1197

প্রশ্ন: (3/2) + 3 + 6 + ............... ধারাটির কোন পদটি 192 হবে?

সমধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 3/2
সাধারণ অনুপাত, r = 2

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1} 
⇒ 3/2 × 2^{n - 1} = 192
⇒ 2^{n - 1} = (192 × 2) / 3
⇒ 2^{n - 1} = 128
⇒ 2^{n - 1} = 2⁷
⇒ n - 1 = 7
n = 8

সুতরাং 8th তম পদ 192

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r, ধারাটির চতুর্থ পদ - 2 এবং নবম পদ 8√2 হলে ধারাটির 12 তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = ar^{n - 1}
৪র্থ পদ, ar³ = - 2 ...... (1)
৯ম পদ, ar⁸ = 8√2​ ......(2)

এখ, (2) ÷ (1) করে পাই, 
⇒ ar⁸/ar³ = 8√2/- 2
⇒ r⁵ = - 4√2 = (- √2)⁵
∴ r = - √2

(1) ⇒ ar³ = - 2
⇒ a(- √2)³ = - 2
⇒ a = - 2/(- 2√2)
∴ a = 1/√2
 
∴ ধারাটির 12 তম পদ = ar^{12 - 1} = ar¹¹
= (1/√2) × (- √2)¹¹
= (1/√2) × (- 32√2)
= - 32

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 +................. ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
ধারাটির ১ম পদ, a = 1 
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2  
এখানে, r এর মান 1 থেকে বড়  তাই 
সমষ্টি, S_n = a.(rⁿ - 1)/r - 1 
= 1. (2⁵ - 1)/2 - 1 
= (32 - 1)/1 
= 31 

∴ 5 টি পদের সমষ্টি = 31

দেওয়া আছে, প্রদত্ত ধারার প্রথম পদ, a = 5
দ্বিতীয় পদ = x
তৃতীয় পদ = y
এবং চতুর্থ পদ = 135
মনে করি, ধারাটির সাধারণ অনুপাত, q
সুতরাং ধারাটির চতুর্থ পদ = aq^4-1
= 5. q³
= 5q³
প্রশ্নমতে, 5q³ = 135
বা, q³ = 135/5
বা, q³ = 27
বা, q³ = 3³
বা, q = 3
এখন, দ্বিতীয় পদ, x = aq^2-1
= aq¹
= aq
= 5.3
= 15

এবং তৃতীয় পদ, y = aq^3-1
= aq²
= 5.3²
= 5.9
= 45
এখন x এবং y যোগফল = 15+45
= 60

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে পঞ্চম পদটি 160 এবং অষ্টম পদটি 1280 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r 

পঞ্চম পদ = 160
∴ ar^5-1 = 160
⇒ ar⁴ = 160 ......(1)

অষ্টম পদ = 1280
∴ ar⁷ = 1280 ......(2)

(2) নং কে (1) দ্বারা ভাগ করে পায়ী, 
ar⁷/ar⁴ = 1280/160
⇒ r^7-4 = 8
⇒ r³ = 2³
⇒ r = 2

(1) নং হতে পাই,
a . 2⁴ = 160
⇒ a = 160/16
⇒ a = 10

∴ প্রথম পদ হলো ১০

প্রশ্ন: 4x + 1, 18, 36 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে x = কত? 

সমাধান: 
অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ
⇒ 18/(4x + 1) = 36/18
⇒ 18/(4x + 1) = 2
⇒ 18 = {2 × (4x + 1)} 
⇒ 8x + 2 = 18
⇒ 8x = 18 - 2
⇒ 8x = 16
⇒ x = 16/8
∴ x = 2

প্রশ্ন: একটি জ্যামিতিক সিরিজের তৃতীয় পদ 3 হলে প্রথম পাঁচটি পদের গুণফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
তৃতীয় পদ, ar² = 3

প্রথম পাঁচ পদের গুণফল S হলে,
S = a × ar × ar² × ar³ × ar⁴
= a⁵r¹⁰
= (ar²)⁵
= 3⁵
= 243

∴ প্রথম পাঁচ পদের গুণফল 243

মনে করি,
১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
∴ ২য় পদ ar = ২১,
৩য় পদ ar² =৬৩
∴ ar²/ar = ৬৩/২১
বা, r = ৩
∴ a = ২১/৩ = ৭
∴ ৪র্থ পদ = ar^৩
= ৭ × ২৭
= ১৮৯

প্রশ্ন: (1/√2) + 1 + √2 + ....... ধারাটির কোন পদ 16√2 হবে? 

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা। 
যার প্রথম পদ, a = 1/√2
সাধারণ অনুপাত, r = 1/(1/√2) = √2

আমরা জানি, 
n-তম পদ, an = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে, 
(1/√2)(√2)^{n - 1} = 16√2
⇒ (√2)^{n - 1} = 16√2 × √2
⇒ (√2)^{n - 1} = 32 = 2⁵
⇒ (√2)^{n - 1} = (√2)¹⁰
⇒ n - 1 = 10
⇒ n = 10 + 1
∴ n = 11

অতএব, ধারাটির 11 তম পদ 16√2 হবে। 

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 2 এবং চতুর্থ পদ 54। ধারাটির কততম পদ 4374?

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + … ধারাটির প্রথম n পদের যোগফল 765 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ a = 3,
সাধারণ অনুপাত r = 6/3 = 2
প্রথম n পদের যোগফল, S_n = 765

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদের যোগফল,
S_n = {a × (rⁿ - 1)}/(r - 1) 
⇒ 765 = (3 × 2ⁿ - 1)/(2 - 1)
⇒ 765 = 3 × 2ⁿ - 1
⇒ 765/3 = 2ⁿ - 1 
⇒ 255 = 2ⁿ - 1
⇒ 256 = 2ⁿ
⇒ 2ⁿ = 2⁸
∴ n = 8 

∴ n এর মান 8

দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1}
২য় পদ = ar^{2 - 1} = 7r = x
৩য় পদ = ar^{3 - 1} = 7r² = y
৪র্থ পদ = ar^{4 - 1} = ar³

প্রশ্নমতে,
ar³ = 2401
বা, 7r³ = 2401
বা, r³ = 2401/7
বা, r³ = 343
বা, r³ = 7³
বা, r = 7

∴ x = 7 × 7
= 49

∴ x এর মান 49.

প্রশ্নোক্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে,
প্রথম পদ (a) = ১,
সাধারণ অনুপাত (r) = ২,
n = ১৫
∴ সমষ্টি (s) = ১ × {(২^১৫ - ১)/(২ - ১)}
= ২^১৫ - ১
= ৩২৭৬৭

প্রশ্ন: ১ - ১ + ১ - ১ + ......... এই ধারাটির (২n + ১) পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা ।
যারা প্রথম পদ a = ১
সাধারণ অনুপাত, r = - ১/১ = - ১ < ১ 

আমরা জানি,
কোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি, S_n = a(১ - rⁿ)/(১ - r)  ; r < - ১
সমষ্টি = ১(১ - (- ১)^{২n + ১})/{১ - (- ১)}
= [১ - (- ১)^২n × (- ১)^১]/(১ + ১)
= (১ + ১)/২  ; [(- ১)^২n = ১]
= ২/২ 
= ১ 

সুতরাং, (২n + ১) পদের সমষ্টি ১ । 

এখানে প্রথমপদ, a = 1/√2
সাধারণ অনুপাত, r = √2
ধরি r তম পদ হবে = 8√2

প্রশ্নমতে,
arⁿ⁻¹ = 8√2
বা, 1/√2 × (√2)ⁿ⁻¹ = 8√2
বা, (√2)ⁿ⁻¹ = 8√2 × √2
বা, (√2)ⁿ⁻¹ = (√2)⁶ × √2 × √2
বা, (√2)ⁿ⁻¹ = (√2)⁸
বা, n−1 = 8
∴ n = 9

n তম পদ = ar^n-1
দ্বিতীয় পদ = -48
ar^{2 - 1} = -48 .........(1)
৫ম পদ = 3/4
ar⁴ = 3/4 .........(2)
r = -(1/4)

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি - 162 এবং পঞ্চম পদটি 3/4 হলে, প্রথম পদটি কত হবে? 

সমাধান:
আমরা জানি, কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a,
সাধারণ অনুপাত q হলে n তম পদ = aq^{n - 1}
সুতরাং,
দ্বিতীয় পদ = aq^{2 - 1}
= aq
= - 162
∴ a = - 162/q ........ (1)

আবার,
পঞ্চম পদ = aq ^{5 - 1}
= aq⁴
= (- 162/q)q⁴
= - 162q³

প্রশ্নমতে,
- 162q³ = 3/4
⇒ q³ = - 3/648
⇒ q³ = - 1/216
⇒ q³ = (- 1/6)³
∴ q = - 1/6

সুতরাং, ১ম পদ = - 162/(-1/6)
= 972

প্রশ্ন: 2a + 2, 10, 20, .......... গুণোত্তর ধারাটিতে a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ = 2a + 2
দ্বিতীয় পদ = 10 
তৃতীয় পদ = 20

আমরা জানি,
সাধারণ অনুপাত = দ্বিতীয় পদ/প্রথম পদ = তৃতীয় পদ/দ্বিতীয় পদ 

প্রশ্নমতে,
10/(2a + 1) = 20/10
⇒ 10/(2a + 2) = 2
⇒ 10 = 2(2a + 2)
⇒ 10 = 4a + 4
⇒ 4a = 10 - 4
⇒ 4a = 6
⇒ a = 6/4
⇒ a = 3/2

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদ 16 এবং ষষ্ঠ পদ 128 হলে, অনুক্রমের প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a,
সাধারণ অনুপাত q হলে
n তম পদ = aq^{n - 1}
সুতরাং, তৃতীয় পদ = aq^{3 - 1} = aq² = 16
∴ a = 16/q² ......... (i)

আবার, ষষ্ঠ পদ = aq^{6 - 1} = aq⁵ = (16/q²)q⁵ = 16q³

প্রশ্নমতে,
16q³ = 128
⇒ q³ = 128/16
⇒ q³ = 8
⇒ q³= 2³
∴ q = 2

সুতরাং, প্রথম পদ = 16/(2)²
= 16/4
= 4

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: (1/√5) + 1 + √5 + ......................... ধারাটির কোন পদ 625 হবে?

সমাধান:
ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে, সাধারণ অনুপাত, r = দ্বিতীয় পদ/প্রথম পদ
= 1/(1/√5)
= √5
প্রথম পদ, a = 1/√5

আমরা জানি,
n তম পদ = a × r^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
a × r^{n - 1} = 625
⇒ (1/√5) × (√5)^{n - 1} = 625
⇒ (√5)^{- 1} × (√5)^{n - 1} = 625
⇒ (√5)^{n - 2} = 625
⇒ (√5)^{n - 2} = (√5)⁸
⇒ n - 2 = 8
⇒ n = 10

∴ ধারাটির 10 তম পদ 625

প্রশ্ন: একটি ধারার n তম পদ m^{(n + 2)}। যদি তৃতীয় পদ 243 হয়, তবে m এর মান কত?

সমাধান: 
এখানে,
n তম পদ m^{(n + 2)}
3য় পদ = 243
n = 3 হলে,
m₃ ​= m^{(3 + 2)} = m⁵

প্রশ্নমতে, 
m⁵ = 243
⇒ m⁵  = 3⁵
⇒ m = 3
∴ m এর মান = 3 

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 3 + x + y + 81 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 3

ধরি,
সাধারণ অনুপাত = r

প্রশ্নমতে,
ar^4-1 = 81
⇒ ar³ = 81
⇒ 3 . r³ = 81
⇒ r³ = 27
∴ r = 3

∴ ধারাটির দ্বিতীয় পদ,
x = ar^{2 - 1}
= 3 × 3^{2 - 1}
∴ x = 9

∴ ধারাটির তৃতীয় পদ,
y = 3 × 3^{3 - 1}
= 3 × 3²
∴ y = 27

∴ xy = 9 × 27
= 243

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 90 এবং পঞ্চম পদটি 810 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অনুপাত = r
∴ তৃতীয় পদ, T₃ = ar² = 90 ...... (1)
আবার, পঞ্চম পদ, T₅ = ar⁴ = 810 ...... (2)
(2) ÷ (1) নং হতে পাই,
(ar⁴/ar²) = 810/90
⇒ r² = 9
⇒ r = √9
∴ r = 3

(1) নং সমীকরণে r-এর মান বসিয়ে পাই,
a × (3)² = 90
⇒ 9a = 90
⇒ a = 90/9
∴ a = 10

∴ গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ = 10

প্রশ্ন:

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = (2/3)/2 = 1/3

∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= 2/{1 - (1/3)}
= 2/{(3 - 1)/3}
= 2/(2/3)
= 2 × (3/2)
= 3

প্রশ্ন: 15 + 30 + 60 + ........................ ধারাটির অষ্টম পদ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ, a = 15
সাধারণ অনুপাত, r = 30/15 =2
আমরা জানি ,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = a × r ^{n  - 1}
গুণোত্তর ধারার অষ্টম পদ =15 × 2 ^{8 - 1}
= 15  × 2⁷
= 15 × 128
= 1920 

প্রশ্ন: ৬৪ + ৩২ + ১৬ + ৮ + ....... ধারাটির অষ্টম পদের মান কত? 

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ a = ৬৪ 
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = ৩২/৬৪ 
= ১/২ 

আমরা জানি, 
ধারাটির n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ ধারাটির অষ্টম পদ = ar^{৮ - 1}
= ৬৪ × (১/২)^{৮ - ১} 
= ৬৪ × (১/২)^৭ 
= ৬৪ × (১/১২৮)
= ১/২