গুণোত্তর ধারা

প্রশ্ন: কোন অনুক্রমের n তম পদ 1/{n(n + 1)} হলে ধারাটির ৫ম পদ কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
অনুক্রমের n তম পদ = 1/{n(n + 1)} 
∴ অনুক্রমের ৫ম পদ = 1/{5 × (5 + 1)}
= 1/(5 × 6)
= 1/30

প্রশ্ন: ৩ + ৬ + ১২ + ২৪ + ... ধারাটির ৮ম পদটি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
১ম পদ a = ৩
সাধারণ অনুপাত r = ৬ ÷ ৩ = ২

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = a × r^{n - ১}

∴ ৮ম পদ = ৩ × ২^{৮ - ১}
= ৩ × ২^৭
= ৩ × ১২৮
= ৩৮৪

১ম পদ, a = ১/৫
সাধারণ অনুপাত, r = ১/২৫ × ৫/১ = ১/৫
∴ অনন্ত ধারাটির সমষ্টি = a/(১ - r)
= (১/৫)/{১ - (১/৫)}
= (১/৫)/(৪/৫)
= ১/৫ × ৫/৪
= ১/৪

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 36 ও 9 হলে, ধারাটির চতুর্থ পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 36
দ্বিতীয় পদ = 9

∴ অনুপাত, r = 9/36
= 1/4

∴ চতুর্থ পদ = ar^{4 - 1} = ar³
= 36 × (1/4)³
= 36/64
= 9/16

∴ ধারাটির পঞ্চম পদ = 9/16.

প্রশ্ন: (1/√3), 1, √3.......... প্রদত্ত অনুক্রমটির কত তম পদ 27√3?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অনুক্রমটির প্রথম পদ, a = 1/√3
সাধারন অনুপাত, r = 1/(1/√3 ) = √3
n-তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 27√3
⇒ (1/√3) × (√3)^{n - 1} = 27√3
⇒ (√3)^{n - 1} = 27√3 × √3
⇒ (√3)^{n - 1} = 81
⇒ (√3)^{n - 1} = {(√3)²}⁴
⇒ (√3)^{n - 1} = (√3)⁸
⇒ n - 1 = 8 
⇒ n = 8 + 1 = 9 

অর্থাৎ অনুক্রমটির 9-তম পদ হলো 27√3

ধরি, ১ম পদ = a, সাধারন অনুপাত = r
∴  নবম পদ = ar⁸ = 1280....(1) পঞ্চম পদ = ar⁴ = 80.......(2)
(1)নং ÷ (2)নং ⇒ ar⁸/ar⁴ = 1280/80 বা, r⁴ = 16 = 2⁴ ∴ r = 2

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 3 সাধারণ অনুপাত 4 হলে 6টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
প্রথম পদ a = 3,
সাধারণ অনুপাত r = 4,
পদ সংখ্যা n = 6

গুণোত্তর ধারার যোগফলের সূত্র:
S_n = a × (rⁿ - 1)/(r - 1) 
⇒ S_6​ = 3 × (4⁶ - 1)​/(4 - 1)
= 3 × (4096 - 1)/3
= 4096 - 1
= 4095

∴6টি পদের যোগফল 4095

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 এবং 9, তাহলে ধারাটির দশম পদ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে
ধারাটির প্রথম পদ, a = 27
ধারাটির দ্বিতীয় পদ, ar^{2 - 1} = ar = 9

অতএব সাধারণ অনুপাত, r = 9/27 = 1/3

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ দশম পদ, ar^{10 - 1} = 27(1/3)⁹
= (3³ × 1)/(3³ × 3⁶)
= 1/3⁶
= 1/729

সুতরাং, ধারাটির দশম পদ 1/729

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 এবং 9 হলে ধারাটির নবম পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা। 
প্রথম পদ = 27  
দ্বিতীয় পদ = 9
এবং সাধারণ অনুপাত r = 9/27 = 1/3

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1}
9 তম পদ = ar^{9 - 1} 
= ar⁸ 
= 27 × (1/3)⁸
= 3³ × (1/3⁸)
= 1/3⁵
= 1/243

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) । ধারাটির 15টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1) 

∴ 15টি পদের সমষ্টি,
= 15(15 + 1)
= 15 × 16
= 240

একটি অনুক্রমের সাধারণ পদ : ( - 1 )^{n -1}{n/(2n + 1)} 

n = 1 হলে, ১ম পদ = ( - 1 )^{1 - 1} {1/(2 × 1 + 1)} = ( - 1)⁰ ×(1/3) = 1 × (1/3) = 1/3
n = 2 হলে, ২য় পদ = ( - 1 )^{2 - 1} {2/(2 × 2 + 1)} = ( - 1)¹ ×(2/5) = - 1 × (2/5) = - 2/5
n = 3 হলে, ৩য় পদ =  ( - 1 )^{3 - 1} {3/(2 × 3 + 1)} = ( - 1)² ×(3/7) = 1 × (3/7) = 3/7
n = 4 হলে, ৪র্থ পদ = - 4/ 9
------------------------------
------------------------------
সুতরাং অনুক্রমটি : 1/3, - 2/5, 3/7. - 4/9,... ..... ......

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ b এবং সাধারণ অনুপাত r। যদি গুণোত্তর ধারার প্রথম তিনটি পদের গুণফল 216 হয়, তবে b = কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম তিনটি পদ হলো a, ar এবং ar²।
প্রশ্নমতে, ধারাটির দ্বিতীয় পদ, b = ar

আবার, প্রথম তিনটি পদের গুণফল = a × ar × ar² = 216
⇒ a³r³ = 216
⇒ (ar)³ = 216
⇒ b³ = 216 [যেহেতু b = ar]
⇒ b³ = 6³
∴ b = 6

প্রশ্ন: 12 + 24 + 48 + ..... ধারাটির কততম পদ 768?

সমাধান:
ধারাটির,
প্রথম পদ, a = 12
সাধারণ অনুপাত, r = 24/48 = 2 > 1

ধরি,
n-তম পদ = 768
⇒ ar^{n - 1} = 768
⇒ 12 × 2^{n - 1} = 768
⇒ 2^{n - 1} = 768/12
⇒ 2^{n - 1} = 64
⇒ 2^{n - 1} = 2⁶
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 7

প্রশ্ন: 2 - 4 + 8 - 16 +................ ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r =(- 4)/2 = 8/(- 4) = - 2;  [r < 1]

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদের সমষ্টি,  Sn = a(1 - rⁿ)/(1 - r)  ; r < 1
9 টি পদের সমষ্টি,  S₉ = 2{1 - (- 2)⁹}/(1 + 2)
= {2 × (1 + 512)}/3
= (2 × 513)/3
= 2 × 171
= 342

প্রশ্ন:

সমাধান: 
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার, ১ম পদ, a = - 1
এবং সাধারণ অনুপাত, r = (1/2)/(- 1) = - 1/2 ; r < 1

আমরা জানি, 
অসীম ধারাটির যোগফল, S = a/(1 - r)  ; [r < 1]
= (- 1)/{1 - (- 1/2)}
= (- 1)/(1 + 1/2)
= (- 1)/(3/2)
= - 1 × (2/3)
= - 2/3

সুতরাং, অসীম ধারাটির যোগফল - 2/3 হবে। 

প্রশ্ন: 4 + (4/3) + (4/9) + ........... ধারাটির ১ম পাঁচটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = (4/3)/4 = (4/3) × (1/4) = 1/3
পদসংখ্যা, n = 5

∴ ১ম পাঁচটি পদের সমষ্টি, S₅ = 4 × [{1 - (1/3)⁵}/{1 - (1/3)}]
= 4 × [{1 - (1/243)}/{(3 - 1)/3}]
= 4 × [{(243 - 1)/243}/(2/3)]
= 4 × [(242/243)×(3/2)}]
= 4 × (726/486)
= 484/81

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে চতুর্থ পদটি 54 এবং সপ্তম পদটি 1458 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অনুপাত = r

চতুর্থ পদ = 54
∴ ar^4-1 = 54
⇒ ar³ = 54 ......(1)

সপ্তম পদ = 1458
∴ ar^7-1 = 1458
⇒ ar⁶ = 1458 ......(2)

(2) নং সমীকরণকে (1) দ্বারা ভাগ করলে,
ar⁶/ar³ = 1458/54
⇒ r³ = 27
⇒ r = 3

(1) নং সমীকরণে r এর মান বসিয়ে পাই,
a × 27 = 54
⇒ a = 2

∴ প্রথম পদ হলো 2

প্রশ্ন: একজন কৃষক প্রথম দিনে 1টি গাছ রোপণ করলো, দ্বিতীয় দিনে 2টি গাছ রোপণ করলো, তৃতীয় দিনে 4টি গাছ রোপণ করলো। এভাবে প্রতিদিন গাছ রোপণ দ্বিগুণ হচ্ছে। তাহলে 12 দিনে মোট কত গাছ রোপণ করবে?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 2

n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
Sn = a(rⁿ - 1)/(r - 1)

∴ 12 দিনের মোট গাছের সংখ্যা,
S₁₂ = 1 × (2¹² - 1)/(2 - 1)
= (4096 - 1)/1
= 4095

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 4 হলে, প্রথম পাঁচটি পদের গুণফল কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির ১ম পদ = a
এবং সাধারণ অনুপাত = r
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ ৩য় পদ = ar² = 4

সুতরাং, প্রথম পাঁচটি পদের গুণফল = a . ar . ar² . ar³. ar⁴
= a⁵ . r¹⁰
= (ar²)⁵
= 4⁵
= 1024

প্রশ্ন: 4 + 12 + 36 + ... + 972 = কত?

সমাধান:
এখানে, এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 12/4 = 3

আমরা জানি, n তম পদ = a × r^{(n - 1)}
প্রশ্নমতে,
4 × 3^{(n - 1)} = 972
⇒ 3^{(n - 1)} = 972 / 4
⇒ 3^{(n - 1)} = 243
⇒ 3^{(n - 1)} = 3⁵
⇒ n - 1 = 5
∴ n = 6

যেহেতু r > 1,
∴ ধারাটির সমষ্টি, S_n = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
∴S₆ = 4(3⁶ - 1)/(3 - 1)
= 4(729 - 1)/2
= (4 × 728)/2
= 2 × 728
= 1456

∴ ধারাটির সমষ্টি হলো 1456।

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ 6 এবং পঞ্চম পদ 162। চতুর্থ পদটি কত? 

সমাধান:
গুণোত্তর ধারার সাধারণ সূত্র:
a_n = a₁ × r^{n - 1}

a_2​ = 6 থেকে:
⇒ a₁ × r = 6......(i)

a₅​ = 162 থেকে:
⇒ a₁ × r⁴ = 162......(ii)

(ii) / (i) করলে:
⇒ (a₁​r⁴)​/a₁r = 162/6
⇒ r³ = 27
⇒ r = ³√27
⇒ r = 3

(i) এ r = 3 স্থাপন করে পাই:
⇒ a₁ × 3 = 6  
⇒ a₁ = 2

তাহলে,
a₄ = a₁ × r³
= 2 × 3³
= 2 × 27
= 54

১ম পদ = a,
সাধারণ অনুপাত = r
∴ ১ম 6টি পদের সমষ্টি = a.(r⁶ - 1)/(r - 1)
১ম 3টি পদের সমষ্টি = a.(r³ - 1)/(r - 1)
শর্তানুসারে,
a.(r⁶ - 1)/(r - 1) = 9 × a.(r³ - 1)/(r - 1)
বা, r⁶ - 1 = 9(r³ - 1)
বা, (r³)² - 1 = 9(r³ - 1)
বা, (r³ + 1)(r³ - 1) = 9(r³ - 1)
বা, r³ + 1 = 9
বা, r³ = 8
= 2³
∴ r = 2

প্রশ্ন: কোনো অনুক্রমের n তম পদ = n/(n + ১) হলে, অনুক্রমের ৪র্থ পদটির মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
অনুক্রমের n তম পদ = n/(n + ১) 
∴ অনুক্রমের ৪র্থ পদ = ৪/(৪ + ১) 
= ৪/৫ । 

প্রশ্ন: a + b + c + d + .... একটি গুণোত্তর ধারা হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
a + b + c + d + .... একটি গুণোত্তর ধারা হলে,

ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ / ১মপদ 
= ৩য় পদ / ২য় পদ = চতুর্থ পদ / ৩য় পদ
∴ b/a = c/b = d/c

∴ b/a = d/c সম্পর্কটি সঠিক।

এখানে,
১ + ৫ = ৬
৬ + ১০ = ১৬
১৬ + ২০ = ৩৬
৩৬ + ৪০ = ৭৬
৭৬ + ৮০ = ১৫৬

প্রশ্ন: 64 + 32 + 16 +.................. ধারাটির 10ম পদ কত? 

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 64
সাধারণ অনুপাত, r = 32/64 = 1/2
n-তম পদ = ar^n-1
∴ 10ম পদ = ar^{(10 - 1)}
= 64 × (1/2)⁹
= 64 × (1/2⁹)
= 2⁶/2⁹
= 1/2³
= 1/8

প্রশ্ন: (1/4) + (1/4²) + (1/4³) + .... অনন্ত ধারার সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
১ম পদ, a = 1/4
সাধারণ অনুপাত, r = 1/4

∴ ধারাটির সমষ্টি, s = a/(1 - r) [যেহেতু, r < 1]
= (1/4)/(1 - 1/4)
= (1/4)/(3/4)
= (1/4) × (4/3)
= 1/3

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ১ম পদ ও ২য় পদ যথাক্রমে 81 এবং 27 হলে ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান: 
ধারাটির ১ম পদ, a = 81
ধারাটির ২য় পদ = 27
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 27/81 = 1/3 

আমরা জানি,
n তম পদ = ‍ar^{n - 1}
∴ 7 তম পদ = ar^{(7 - 1)}
= 81 × (1/3)⁶
= 3⁴ × (1/3⁶)
= 3⁴/3⁶
= 1/3^{6 - 4}
= 1/3²
= 1/9

প্রশ্ন: 15 + 30 + 60 + ...... + 960 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে, এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 15
সাধারণ অনুপাত, r = 30/15 = 2

আমরা জানি, n তম পদ = ar^{(n - 1)}
প্রশ্নমতে,
15 × 2^{(n - 1)} = 960
⇒ 2^{(n - 1)} = 960/15
⇒ 2^{(n - 1)} = 64
⇒ 2^{(n - 1)} = 2⁶
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 7

যেহেতু r > 1,
∴ ধারাটির সমষ্টি, S_n = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
∴ S₇ = 15(2⁷ - 1)/(2 - 1)
= 15(128 - 1)/1
= 15 × 127
= 1905

1, 2, 3 ...... ধারার n তম পদ = 1 + (n - 1)1 = n
2, 3, 4 ...... ধারার n তম পদ = 2 + (n - 1)1 = n + 1
∴ 1/2, 2/3, 3/4 ...... ধারার n তম পদ = n/(n + 1)

প্রশ্ন: 1/√5, 1, √5, ...... ধারাটির কোন পদ 25√5 হবে?

সমাধান:
এখানে, 
প্রথম পদ, a = 1/√5
সাধারণ অনুপাত, r = 1/(1/√5) = √5

ধরি, n তম পদ = 25√5

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 25√5
⇒ (1/√5) × (√5)^{n - 1} = 25√5
⇒ (√5)^{n - 1} = 25√5 × √5
⇒ (√5)^{n - 1} = 25 × 5
⇒ (√5)^{n - 1} = 125 
⇒(√5)^{n - 1} = (√5)⁶
⇒ n - 1 = 6
⇒ n = 7

∴ ৭ম পদ 25√5

এখানে জোড় সংখ্যক পদের সমষ্টি = ০
এবং বিজোড়                           = a
∴ (2n + 1) বিজোড় সংখ্যা
∴ সমষ্টি = a