গুণোত্তর ধারা

প্রশ্ন: ০.৪ + ০.০৪ + ০.০০৪ + ...... অসীম ধারাটির সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = ০.৪ 
= ৪/১০ = ২/৫

ধারাটির সাধারণ অনুপাত r = ০.০৪/০.৪ = ১/১০

∴ সমষ্টি, S = a/(1 - r) 
= ০.৪/(১ - ১/১০)
= ০.৪/(৯/১০)
= ৪/৯

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 16 ও 8 হলে, ধারাটির অষ্টম পদ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 16
দ্বিতীয় পদ = 8

∴ অনুপাত, r = 8/16
= 1/2

∴ অষ্টম পদ = ar^{8 - 1} = ar⁷
= 16 × (1/2)⁷
= 16/128
= 1/8

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + …………… এই ধারাটির কোন পদের মান 768?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
ধারাটির ১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2

∴ n তম পদ = a r^{n - 1}

⇒ 3 × 2^{n -1} = 768
⇒ 2^{n -1} = 768/3
⇒ 2^{n -1}  = 256
⇒ 2^{n - 1}  = 2⁸
⇒ n - 1 = 8
∴ n = 9

∴ ধারাটির ৯ম পদের মান 768

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ 3, শেষ পদ 243 এবং সাধারণ অনুপাত 3 হলে ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারাটির দ্বিতীয় পদ = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 3
প্রথম পদ, a = 3/3 = 1
n তম পদ = ar^{n - 1} 
⇒ 243 = 1 × 3^{n - 1}
⇒ 3⁵ = 3^{n - 1}
⇒ n - 1 = 5
⇒ n = 5 + 1 = 6

গুণোত্তর ধারার n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a × (rⁿ - 1)/(r - 1) [যেখানে, r > 1]

∴ ধারাটির 6 টি পদের সমষ্টি = 1 × {(3⁶ - 1)/(3 -1)}
= (729 - 1)/2
= 728/2
= 364

প্রশ্ন: 4 + 12 + 36 + ....... এই ধারার প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
এই ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 3
এবং পদ সংখ্যা n = 7

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার প্রথম n টি পদের সমষ্টি, 
Sn = a × [(rⁿ - 1)/(r - 1)]
S₇ = 4 × [(3⁷ - 1)/(3 - 1)]
= 4 × [(3⁷ - 1)/2]
= 4 × [(2187 - 1)/2]
= 4 × [2186/2]
= 4 × 1093
= 4372

∴ 7 টি পদের যোগফল 4372

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + ......... ধারাটির কততম পদ 1458?

সমাধান:
প্রথম পদ a = 2,
সাধারণ অনুপাত r = 3

আমরা জানি,
n তম পদ a_n = ar^{n - 1}
⇒ a_n = 2 × 3^{n - 1}
⇒ 1458/2 = 3^{n - 1}
⇒ 729 = 3^{n - 1}
⇒ 3⁶ = 3^{n - 1}
⇒ 6 = n - 1
⇒ n = 7

∴ 7 তম পদ 1458

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 2 এবং - 2/3 হলে, ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 2
ধারাটির দ্বিতীয় পদ, ar^{2 - 1} = ar = - 2/3 

∴ সাধারণ অনুপাত,r = (- 2/3)/2 = - 1/3

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = ar^{n - 1}
∴ সপ্তম পদ, ar^{7 - 1} = 2 × (- 1/3)⁶
= 2 × 1/729
= 2/729

এখানে a = 27 এবং
r =9/ 27 = 1/3,
সুতরাং পঞ্চম পদ = ar^{n - 1}
= 27×(1/3) ^{5 - 1}
= 27 × (1/3)⁴ 
= 27/81
= 1/3

প্রশ্ন: 1, 4, 9, 16, 25 ............. সংখ্যাগুলোর পরবর্তী সংখ্যা নীচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া সংখ্যা সিরিজ: 1, 4, 9, 16, 25, ...

প্রতিটি সংখ্যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা:
1 = 1², 4 = 2², 9 = 3², 16 = 4², 25 = 5² 
তাই পরবর্তী সংখ্যা = 6² = 36

∴পরবর্তী সংখ্যা হলো 36

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 +................. 6টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির ১ম পদ, a = 1 
সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2  
এখানে, r এর মান 1 থেকে বড়। 

∴ ধারাটির সমষ্টি, S_n = a.(rⁿ - 1)/r - 1 
= 1 × (2⁶ - 1)/2 - 1 
= (64 - 1)/1 
= 63 

∴ 6টি পদের সমষ্টি = 63 ।

এখানে, ২ + ৬ + ১৮ + ..... ধারাটির‌
প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অনুপাত, r = ৬/২ = ৩
এবং পদ সংখ্যা, n = ৫
সুতরাং সমষ্টি = a (rⁿ - 1)/(r-1)
= ২ × (৩^৫ - ১)/(৩-১)
= ২ × (২৪৩-১)/২
= ২৪২

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + ......... ধারাটির 10তম পদ কত?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারাটির,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = a × r^{n - 1}
∴ 10তম পদ = 3 × 2^{10 - 1}
= 3 × 2⁹
= 3 × 512
= 1536

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 + ...... গুণোত্তর ধারাটির দশম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 128
সাধারণ অন্তর, d = 64/128 = 1/2

আমরা জানি, 
n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ দশম পদ = 128 × (1/2)^{10 - 1}
= 128 × (1/2)⁹
= 128 × (1/512)
= 1/4

প্রশ্ন: 5 + (5/3) + (5/9) + ........  ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ = 5
ধারাটির ২য় পদ = 5/3

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ
= (5/3)/5
= (5/3) × (1/5)
= 1/3 

∴ সাধারণ অনুপাত = 1/3 ।

প্রশ্ন: 3 - 6 + 12 - 24 + ......ধারাটির প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = - 6/3 = - 2

আমরা জানি, 
প্রথম n পদের সমষ্টি,
S_n = a(1 - rⁿ)/(1 - r)  ; [| r | < 1]
প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি S₇ = 3 [1 - ( - 2)⁷]/[1 - (- 2)]  
= 3(1 + 128)/3
= (3 × 129)/3
= 129

সুতরাং, প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি 129

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে চতুর্থ পদটি 64 এবং সপ্তম পদটি 512 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r

চতুর্থ পদ = 64
∴ ar^{4 - 1} = 64
⇒ ar³ = 64 ......(1)

সপ্তম পদ = 512
∴ ar⁶ = 512 ......(2)

(2) নং কে (1) দ্বারা ভাগ করে পায়ী,
ar⁶/ar³ = 512/64
⇒ r^{6 - 3} = 8
⇒ r³ = 2³
⇒ r = 2

(1) নং হতে পাই,
a . 2³ = 64
⇒ a = 64/8
⇒ a = 8

∴ প্রথম পদ হলো 8

১ম পদ a = 4
সাধারণ অনুপাত r = 12/4 = 3
সমষ্টি s = a(rⁿ - 1)/(r -1)
সাতটি পদের সমষ্টি s₇ = 4(3⁷ - 1)/(3 - 1)
s₇ = 4372

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + ....… ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি 765 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি হলো, 
3 + 6 + 12 + 24 + …
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার, প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2  ; r > 1

আমরা জানি, 
n সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sn = a × (rⁿ - 1)/(r - 1)
= 3 × (2ⁿ - 1)/(2 - 1)  ; [এখানে a = 3, r = 2] 
= 3 × (2ⁿ - 1)

প্রশ্নানুসারে,
3 × (2ⁿ - 1) = 765
⇒ 2ⁿ - 1 = 765/3
⇒ 2ⁿ - 1 = 255
⇒ 2ⁿ = 256
⇒ 2ⁿ = 2⁸
∴ n = 8

যেহেতু ধারাটির জোড় সংখ্যা পদ সংবলিত এবং পদগুলোর অর্ধেক ধনাত্মক এবং অর্ধেক ঋণাত্মক
∴ যোগফল = 0.

প্রশ্ন: কোন গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ 1/16 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?

সমাধান:
ধরি 
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ = a

দেওয়া আছে, 
পঞ্চম পদ ar⁴ = 1/16
সাধারণ অনুপাত r = 1/2

এখন
a(1/2)⁴ =  1/16
⇒ a (1/16) = 1/16
⇒ a/16 = 1/16
⇒ a = 1

∴ প্রথম পদ a = 1

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24…... ধারাটির সপ্তম পদ কত? 

সমাধান:
গুণোত্তর ধারার সাধারণ সূত্র:
a_n = a₁ × r^{n - 1}
প্রথম পদ a₁ = 3,
সাধারণ অনুপাত r = 6/3 = 2

৭ম পদ a_7​:
a₇ = 3 × 2^7-1
= 3 × 2⁶
= 3 × 64
= 192

∴ সপ্তম পদ = 192

এখানে ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
সাধারণ অনুপাত, r =৬৪/১২৮ = ১/২
প্রথম পদ, a = ১২৮ এবং n-তম পদ = ar^(n-১)
শর্তমতে, ar^(n-১) = ২
বা, ১২৮ × (১/২)^(n-১) = ২
বা, (১/২)^(n-১) = ২/১২৮
বা, (১/২)^(n-১) = ১/৬৪
বা, (১/২)^(n-১) = (১/২)^৬
বা, n - ১ = ৬
বা, n = ৬ + ১
বা, n = ৭

প্রশ্ন: 3 + 3√2 + 6 + 6√2 + ........................................ ধারাটির কোন পদ 192 হবে?

সমাধান:
ধারাটি গুণোত্তর ধারা।
কারণ এদের সাধারণ অনুপাত r = ২য় পদ/১ম পদ = 3√2/3 = √2
১ম পদ a = 3
∴ n তম পদ = ar^{n - 1}

শর্তমতে,
ar^{n - 1} = 192
⇒ 3 × (√2)^{n - 1} = 192
⇒ (√2)^{n - 1} = 64
⇒ (2^1/2)^{n - 1} = 2⁶
⇒ 2^{(n - 1)/2} = 6
⇒ (n - 1)/2 = 6
⇒ n - 1 = 12
∴ n = 13