গুণোত্তর ধারা

প্রশ্ন: 6 + 18 + 54 + …............ গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 4374 হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 6
সাধারণ অনুপাত, r = দ্বিতীয় পদ/প্রথম পদ = 18/6 = 3 

ধরি, 
n তম পদ = 4374
⇒ ar^{n - 1} = 4374
⇒ 6 × 3^{n - 1} = 4374
⇒ 3^{n - 1} = 729
⇒ 3^{n - 1} = 3⁶
⇒ n - 1 = 6
⇒ n = 6 + 1
∴ n = 7

∴ ধারাটির 7 তম পদ 4374 হবে।

প্রশ্ন: 256 + 128 + 64 +................ ধারাটির সাধারন পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = 256
সাধারণ অনুপাত, r = 128/256 = 1/2

আমরা জানি, 
সাধারণ পদ বা n-তম পদ = ar^{n - 1}
= 256 × (1/2)^{n - 1}
= 2⁸ × 1/2^{n - 1}
= (1/2^{- 8}) × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{n - 1 - 8}
= 1/2^{n - 9}

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 24 এবং ষষ্ঠ পদটি 192 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অনুপাত = r

তৃতীয় পদ = 24
∴ ar^{3 - 1} = 24
⇒ ar² = 24 ......(1)

ষষ্ঠ পদ = 192
∴ ar^{6 - 1} = 192
⇒ ar⁵ = 192 ......(2)

(2) নং সমীকরণকে (1) দ্বারা ভাগ করলে,
ar⁵/ar² = 192 / 24
⇒ r^{5 - 2} = 8
⇒ r³ = 8
⇒ r = 2

(1) নং সমীকরণে r এর মান বসিয়ে পাই,
a × 2² = 24
⇒ a × 4 = 24
⇒ a = 6

∴ প্রথম পদ হলো 6

প্রশ্ন: কোন গুণোত্তর ধারার চতুর্থ পদ ৮ এবং সাধারণ অনুপাত ১/২ হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
দেওয়া আছে,
ধারার সাধারণ অনুপাত, r = ১/২
এবং
চতুর্থ পদ = ৮

প্রশ্নমতে,
a × (১/২)^(৪-১) = ৮
⇒ a × (১/২)^৩ = ৮
⇒ a × (১/৮) = ৮
⇒ a = ৮ × ৮
⇒ a = ৬৪

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 1/√2 এবং সাধারণ অনুপাত√2 হলে, ধারাটির কোন পদটি 16√2?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 1/√2
সাধারণ অনুপাত, r = √2

আমরা জানি, 
n-তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে, 
ar^{n - 1} = 16√2
⇒ (1/√2) (√2)^{n - 1} = 16√2
⇒ (√2)^{n - 1} = 16√2 × √2 = 32
⇒ (√2)^{n - 1} = (√2)¹⁰
⇒ n - 1 = 10
⇒ n = 10 + 1
∴ n = 11

অতএব, 11-তম পদটি 16√2

প্রশ্ন: ০.৭ + ০.০৭ + ০.০০৭ + ............. অসীম ধারাটির সমষ্টি হচ্ছে: 

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = ০.৭ 
= ৭/১০ 

ধারাটির সাধারণ অনুপাত r = ০.০৭/ ০.৭ = = ০.১ = ১/১০

∴ সমষ্টি, S = a/(1 - r) 
= (৭/১০)/(১ - ১/১০)
= (৭/১০)/(৯/১০)
= ৭/১০ x ১০/৯ 
= ৭/৯ 

প্রশ্ন: 5 + x + y + 135 +............ গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 5
ধরি,
সাধারণ অনুপাত, r
চতুর্থ পদ = 135
ar^4-1 = 135
r³ = 135/5
r³ = 27
∴ r = 3
এখানে, y হলো তৃতীয় পদ
∴ y = ar^n-1 = 5 × 3^3-1 = 45

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: ০.১৮ + ০.০০১৮ + ০.০০০০১৮ + ........ ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল-

সমাধান:
প্রদত্ত ধারা: ০.১৮ + ০.০০১৮ + ০.০০০০১৮ + ......
এখানে,
প্রথম পদ, a = ০.১৮
সাধারণ অনুপাত, r = ০.০০১৮/০.১৮ = ০.০১

যেহেতু |r| < ১, সেহেতু ধারাটির অসীম সমষ্টি বিদ্যমান।

আমরা জানি,
অসীম পদের সমষ্টি, S_∞ = a/(১ - r)
∴ S_∞ = ০.১৮/(১ - ০.০১)
= ০.১৮/০.৯৯
= ১৮/৯৯
= ২/১১

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ...... + 20² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= [20(20 + 1){(2 × 20) + 1}]/6
= (20 × 21 × 41)/6
= 2870

প্রশ্ন: 2a, 4a + 1, 6a + 2, ..... একটি গুণোত্তর অনুক্রম হলে, a এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার ক্ষেত্রে অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ 
বা, (4a + 1)/2a = (6a + 2)/(4a + 1) 
বা, 16a² + 4a + 4a + 1 = 12a² + 4a
বা, 16a² + 4a + 4a + 1 - 12a² - 4a = 0
বা, 4a² + 4a + 1 = 0
বা, (2a)² + 2.2a.1 + 1² = 0
বা, (2a + 1)² = 0
বা, 2a + 1 = 0
বা, 2a = - 1
∴ a = - 1/2

প্রশ্ন: 0.1 + 0.01 + 0.001 +................ ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল:

সমাধান:

এখানে,
a = 0.1
r = 0.01/0.1 = 0.1 [0.1 <  1]

আমরা জানি,
অসীম পদের সমষ্টি S_∞ = a/(1 - r)
= ০.1/(1 - 0.1) 
= 1/9

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 এবং 9 হলে ধারাটির অষ্টম পদ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 27
ধারাটির দ্বিতীয় পদ, ar^{2 - 1} = ar = 9

অতএব সাধারণ অনুপাত, r = 1/3

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = ar^{n - 1} 
∴ অষ্টম পদ = ar^{8 - 1}
= 27 ×(1/3)⁷
= (3³ × 1)/(3³ × 3⁴)
= 1/3⁴
= 1/81

১ম পদ, a = 1/√3,
সাধারন অনুপাত, r = √3
∴ n তম পদ,
ar^{n - 1} = 27√3
বা, (1/√3) × (√3)^{n - 1} = 3³√3
বা, (√3)^n-2 = (√3)⁷
বা, n - 2 = 7
∴ n = 9

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদ 256 এবং পঞ্চম পদ 4096 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমের ১ম পদ a
সাধারণ অনুপাত r

তৃতীয় পদ = 256
ar²= 256 ...................(1)

পঞ্চম পদ = 4096
ar⁴ = 4096 ..................(2)

(2) নং কে (1) দ্বারা ভাগ করে পাই,
ar⁴/ar² = 4096/256
বা, r²= 16
∴ r = √16 = 4

∴ সাধারণ অনুপাত = 4

প্রশ্ন: 1 + (1/3) + (1/9) +............ ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে, এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (1/3) / 1 = 1/3

যেহেতু |r| < 1 ,
∴ ধারাটির সমষ্টি, S_n = a(1 - rⁿ)/(1 - r)
∴ S₅ = 1{1 - (1/3)⁵}/(1 - 1/3)
= {1 - (1/243)}/(2/3)
= {(243 - 1)/243}/(2/3)
= (242/243)/(2/3)
= (242/243) × (3/2)
= 121/81

১ম পদ a = ১
সাধারন অনুপাত r = (১/২)/১ = ১/২ < ১
পদ সংখ্যা = ৮
ধারাটির প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি = ‍a(1-rⁿ)/(1-r)
= 1(1-(1/2)⁸)/(1-1/2)
= (1-1/256)/(1/2)
= 255/128

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 16 এবং ষষ্ঠ পদ - 128 হলে, সাধারণ অনুপাত কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ = a
এবং সাধারণ অনুপাত = r

দেওয়া আছে, 
তৃতীয় পদ, ar² = 16 ......(1)
ষষ্ঠ পদ, ar⁵ = - 128 .......(2)

(2) নং কে (1)  নং দ্বারা ভাগ করে পাই, 
ar⁵/ar² = - 128/16
⇒ r³ = - 8 = - 2³
∴ r = - 2

সুতরাং, সাধারণ অনুপাত - 2। 

প্রশ্ন: 3 + 3/4 + 3/16 + 3/64 + ...... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = (3/4)/3 = 1/4 < 1

∴ অসীমতক সমষ্টি, S = a/(1 - r)
= 3/(1 - 1/4)
= 3/(3/4)
= 3 × (4/3)
= 4

প্রশ্ন: 10 + x + y + 640 +.......... গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, a = 10
ধরি, সাধারণ অনুপাত, r
ধারাটির চতুর্থ পদ = 640
আমরা জানি, n তম পদ = ar^{(n - 1)}
∴ চতুর্থ পদ = ar^{(4 - 1)} = ar³

প্রশ্নমতে,
ar³ = 640
বা, 10r³ = 640
বা, r³ = 640/10
বা, r³ = 64
বা, r³ = 4³
∴ r = 4

এখন, y হলো ধারাটির তৃতীয় পদ।
∴ y = ar^{(3 - 1)} = ar²
বা, y = 10 × 4²
বা, y = 10 × 16
∴ y = 160

প্রশ্ন: 3, 9, 27, 81 ,.................. অনুক্রমটির কততম পদ 6561 ?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 9/3 = 3
ধরি,
n-তম পদ = 6561

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 6561
⇒ 3 × 3^{n - 1}= 6561
⇒ 3^{n - 1} = 6561/3
⇒ 3^{n - 1} = 2187
⇒ 3^{n - 1} = 3⁷
⇒ n - 1 = 7
⇒ n = 7 + 1
⇒ n = 8

প্রশ্ন: 8 + 4√2 + 4 + 2√2 +...... ধারাটির কততম পদ √2 ? 

সমাধান: 
এটি একটি গুণোত্তর ধারা। 
যার ১ম পদ, a = 8
সাধারণ অনুপাত, r = 4√2/8 = √2/2 = √2/(√2 × √2) = 1/√2

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে, 
ar^{n - 1} = √2
⇒ 8 × (1/√2)^{n - 1} = √2
⇒ (1/√2)^{n - 1} = √2/8
⇒ (1/√2)^{n - 1} = (1/√2)⁵
⇒ n - 1 = 5
⇒ n = 5 + 1
∴ n = 6

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 16 এবং ষষ্ঠ পদটি 128 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ = a 
এবং
সাধারণ অনুপাত = r 

∴ তৃতীয় পদ =16
ar² = 16 ............ (1)
আবার, 
ষষ্ঠ পদ = 128 
ar⁵ = 128 ............ (2)

(2) ÷ (1) নং হতে পাই, 
ar⁵/ar² = 128/16 
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2

(1) নং সমীকরণে r -এর মান বসিয়ে পাই, 
a(2)² = 16
⇒ 4a = 16
∴ a = 4 

∴ গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ = 4  ।