পরিসংখ্যান ও সম্ভাব্যতা

• কোনো উপাত্তে যে সংখ্যা সর্বাধিক বার উপস্থাপিত হয়, সেই সংখ্যাই উপাত্তের প্রচুরক।
• ৩, ৫, ৮, ৭, ৫, ৯, ১, ৯, ৫ উপাত্তগুলোর মধ্যে ৫ সর্বাধিক ৩ বার আছে।
• সুতরাং প্রদত্ত উপাত্তগুলোর প্রচুরক = ৫

প্রশ্ন: একটি বাক্সে লাল, সবুজ, এবং হলুদ বলের অনুপাত ৪ : ৩ : ২। দৈবভাবে একটি বল বাছাই করলে তা হলুদ বল না হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লাল, সবুজ এবং হলুদ বলের অনুপাত ৪ : ৩ : ২
মোট অনুপাত = (৪ + ৩ + ২) = ৯

মোট বলের মধ্যে হলুদ বলের আনুপাতিক ভাগ ২।
সুতরাং, হলুদ বল পাওয়ার সম্ভাবনা = ২/৯
হলুদ বল না পাওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (হলুদ বল পাওয়ার সম্ভাবনা)
= ১ - ২/৯
= ৭/৯

অতএব, বলটি হলুদ না হওয়ার সম্ভাবনা ৭/৯

সবুজ বল = ৪টি,
নীল বল = ৫টি,
বেগুনী বল = ৩টি
∴ মোট বল = ৪ + ৫ + ৩
= ১২ টি
∴ ৩টি বল একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা = ^৪c_৩/^১২c_৩ + ^৫c_৩/^১২c_৩ + ^৩c_৩/^১২c_৩
= ৪/২২০ + ১০/২২০ + ১/২২০
= ১৫/২২০
= ৩/৪৪

প্রশ্ন: ৫০৪ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক কত?

সমাধান:
৫০৪ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৭ = ২^৩ × ৩^২ × ৭^১

এখানে, 
 ২ তিনবার, ৩ দুইবার, ৭ একবার।
সবচেয়ে বেশি বার আসা মৌলিক সংখ্যা ২।
∴ প্রচুরক = ২

প্রশ্ন: 4, 9, 48 এর গুণোত্তর গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার জ্যামিতিক বা গুণোত্তর গড় (GM) = (x₁ . x₂ . x₃.........x_n)^1/n

সুতরাং, 4, 9, 48 এর গুণোত্তর গড় = (4 × 9 × 48)^1/3
= (1728)^1/3
= (12³)^1/3
= 12

এখানে B স্বাধীন ঘটনা এবং A, B এর সাপেক্ষ অধীন ঘটনা
∴ P(A ∩ B) = P(B) × P(A/B)
= B ঘটার সম্ভাবনা × B এর সাপেক্ষে A ঘটার সম্ভাবনা

২০০৪ লিপ ইয়ার তাই ফেব্রয়ারি মাস ২৯ দিনের
∴ ঐ মাসের মোট বৃষ্টিপাতের পরিমাণ = (২৯ × ০.৫৫) = ১৫.৯৫ সে.মি

ধরি,
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে, x - 1, x এবং x + 1
সুতরাং, সংখ্যা তিনটির গড় = (x - 1 + x + x + 1) / 3 = 3x/3 = x
প্রশ্নমতে,
(x - 1)(x)(x + 1) = 8(x - 1 + x + x + 1)
⇒ x(x² - 1) = 8 × 3x
⇒ x² - 1 = 24
⇒ x² = 25
∴ x = 5

একটি বাল্ব ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা
= (^৮c_১ × ^২c_১)/ ^১০c_২
= (৮ × ২)/৪৫
= ১৬/৪৫

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে ৪ টি লাল, ৫ টি সাদা ও ৬ টি নীল বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুলে নেওয়া হল। বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
থলেতে মোট বলের সংখ্যা = (৪ + ৫ + ৬) টি = ১৫ টি
সুতরাং সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল = ১৫
সাদা বলের সংখ্যা = ৫ টি
সুতরাং সাদা বলের অনুকুল ফলাফল = ৫

বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = সাদা বলের অনুকুল ফলাফল / সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল = ৫/১৫ = ১/৩
∴ বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/৩)
= (৩ - ১)/৩
= ২/৩

মোট বর্ণ = ২৬টি,
স্বরবর্ণ = ৫টি,
২টি স্বরবর্ণ পাওয়ার সম্ভাবনা = ^৫c_২/^২৬c_২ = ১০/৩২৫
= ২/৬৫

প্রশ্ন: দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলো। প্রথম মুদ্রায় T এবং ২য় মুদ্রায় H আসার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে যে ঘটনাগুলো ঘটে সেগুলো হলো = {HH, HT, TH, TT} 
এখানে,
মোট ঘটনা = 4 

∴ প্রথম মুদ্রায় T এবং ২য় মুদ্রায় H আসার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা 
= 1/4 

মোট বল = (6+8+10) = 24 টি
দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = 8/24 = ⅓
∴ দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - ⅓ = ⅔

প্রশ্ন: (1/x) + (1/y) = (1/z) এবং xy = z হলে, x এবং y এর গড় কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(1/x) + (1/y) = (1/z) এবং xy = z

এখন, 
(1/x) + (1/y) = (1/z)
⇒ (y + x)/xy = 1/z
⇒ (x + y)/xy = 1/z
⇒ (x + y)/z = 1/z  ; [ab = c] 
⇒ (x + y) = z/z = 1
∴ (x + y)/2 = 1/2

সুতরাং, x এবং y-এর গড় হবে 1/2। 

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে ৫টি আপেল, ৪টি কলা এবং ৩টি কমলা আছে। দৈবভাবে একটি ফল বাছাই করলে সেটি আপেল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আপেল = ৫টি
কলা = ৪টি
কমলা = ৩টি

∴ মোট ফল = ৫ + ৪ + ৩ = ১২টি

ফলটি আপেল হওয়ার সম্ভাবনা
= (আপেলের সংখ্যা)/(মোট ফলের সংখ্যা)
= ৫/১২

∴ ফলটি আপেল না হওয়ার সম্ভাবনা
= ১ - (ফলটি আপেল হওয়ার সম্ভাবনা)
= ১ - (৫/১২)
= (১২ - ৫)/১২
= ৭/১২

প্রশ্ন: একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে, সেটি ২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
ছক্কায় মোট সংখ্যা থাকে ৬টি: ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬
∴ ২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা: ২, ৪, ৬ = ৩ 
∴ সম্ভাবনা = ৩/৬
= ১/২ 

প্রশ্ন: 2, 4, 5 এবং 9 সংখ্যাগুলোর গড় বিচ্যুতি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
গড় = উপাত্তগুলোর সমষ্টি/ উপাত্তগুলোর সংখ্যা
= (2 + 4 + 5 + 9)/4 
= 20/4 
= 5

আমরা জানি,
গড় বিচ্যুতি, MD = ∑|Xi - X|/n 
অর্থাৎ, গড় বিচ্যুতি = বিচ্যুতিগুলোর সমষ্টি/সংখ্যার পরিমাণ 
=  (|2 - 5| + |4 - 5| + |5 - 5| + |9 - 5|)/4
= (3 + 1 + 0 + 4) / 4
 = 8/4
= 2

∴ গড় বিচ্যুতি = 2

প্রশ্ন: ২২, ৩৫, ৪৮, ১৮, ৫০, ২৫, ৫৯, ৪০, ১৬,  ৫৬  উপাত্ত গুলোর পরিসর নির্ণয় করুন।

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের সর্বনিম্ন সংখ্যা = ১৬ 
প্রদত্ত তথ্যের সর্বোচ্চ সংখ্যা = ৫৯

আমরা জানি, 
পরিসর = (সর্বোচ্চ সংখ্যা - সর্বনিম্ন সংখ্যা) + ১
= (৫৯ - ১৬) + ১
= ৪৩ + ১
= ৪৪ 

সুতরাং, উপাত্তগুলোর পরিসর ৪৪।

কালো বল = ৪ টি এবং সবুজ বল = ৬ টি।
মোট বল = ১০ টি
সুতরাং একটি বল তোলা হলে সেটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = ৬/১০
= ৩/৫

সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = 8/(6+8+10) = 1/3
সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - 1/3 = 2/3