পরিসংখ্যান ও সম্ভাব্যতা

PrepBank · পাতা ১১ / ২০ · ১,০০১–১,১০০ / ১,৯৮৫

১,০০১.

প্রদত্ত উপাত্তগুলোর মধ্যক কোনটি? ১২,৯,১৫,৫,২০, ৮, ২৫, ১৭, ২১, ২৩, ১১

ক
ক) ১৪
খ
খ) ১২
গ
গ) ১৫
ঘ
ঘ) ১৩

ব্যাখ্যা

উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধ্বক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই ৫, ৮, ৯, ১১, ১২, ১৫, ১৭, ২০, ২১, ২৩, ২৫। এখানে বিজোড় (১১ টি) সংখ্যক উপাত্ত থাকায় এর মধ্যবর্তী অর্থাৎ ৬ষ্ট পদের মান (১৫) হলো এর মধ্যক।

১,০০২.

A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(A) = 0.45, B ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(B) = k, A অথবা B ঘটার সম্ভাবনা P(A ∪ B) = 0.65। k এর মান কত হলে A ও B দুটি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হবে?

ক
0.1
খ
0.2
গ
0.3
ঘ
0.4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(A) = 0.45, B ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(B) = k, A অথবা B ঘটার সম্ভাবনা P(A ∪ B) = 0.65। k এর মান কত হলে A ও B দুটি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হবে?

সমাধান:
পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা: কোন পরীক্ষণে ঘটনা গুলিকে তখনই পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা বলা হবে যখস সম্ভাব্য একটি ঘটনা ঘটলে অন্যগুলি ঘটবে না। আবার দুই বা ততোধিক ঘটনার যদি কোন সাধারণ বিন্দু না থাকে তাহলে উহাদেরকে পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা বলে।

পরস্পর বর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
⇒ 0.65 = 0.45 + k
⇒ k = 0.65 - 0.45
∴ k = 0.2

১,০০৩.

তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে কমপক্ষে একটি টেল পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
1/8
খ
8/7
গ
7/8
ঘ
1/7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে কমপক্ষে একটি টেল পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একসাথে একবার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র হবে
(HHH), (HHT), (HTH), (HTT), (THH), (THT), (TTH), (TTT)
মোট নমুনা ক্ষেত্র = 8
কমপক্ষে একটি টেল পাওয়ার সম্ভাবনা = 7/8

১,০০৪.

একটি বাক্সে ৪টি লাল, ৫টি নীল এবং ৭টি সাদা রং এর বল আছে। দৈবচয়নে একটি বলের লাল বা সাদা হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

ক
ক) ১১/১৬
খ
খ) ৯/১৬
গ
গ) ৭/১৬
ঘ
ঘ) ৫/১৬

ব্যাখ্যা

বাক্সে মোট বলের সংখ্যা = ৪+৫+৭ = ১৬টি।
একটি বর লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা = ৪/১৬
একটি বল সাদা হওয়ার সম্ভাব্যতা = ৭/১৬
সুতরাং এলোমেলোভাবে তোলা বল লাল বা সাদা হওয়ার সম্ভাব্যতা = ৪/১৬ + ৭/১৬
= ১১/১৬

১,০০৫.

দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলে, মোট 4 পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

ক
1/12
খ
3/10
গ
1/36
ঘ
2/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলে, মোট 4 পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
লুডুর দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6²
= 36

দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলে মোট 4 পাওয়ার অনুকূল ঘটনা = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
= 3 টি

সুতরাং, মোট 3 পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 3/36
= 1/12

১,০০৬.

একটি ব্যাগে ৭টি লাল এবং ৫টি সাদা বল আছে। নিরপেক্ষভাবে ৩টি বল তোলা হলো। ৩টি বলই সাদা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১/২৪
খ
খ) ১/২৩
গ
গ) ১/২২
ঘ
ঘ) ১/২০

ব্যাখ্যা

এখানে,
লাল = ৭টি
সাদা = ৫টি

মোট বল = ৭ + ৫ = ১২টি

১২টি বল থেকে ৩টি বল বাছাইয়ের উপায় = ^১২C_৩ = ২২০
৫টি বল থেকে ৩টি বল বাছাইয়ের উপায় = ^৫C_৩ = ১০

৩টি বলই সাদা হওয়ার সম্ভাবনা =১০/২২০
=১/২২

১,০০৭.

P(A) = 1/3, P(B) = 3/4, A ও B স্বাধীন হলে P(A ∪ B) এর মান কত?

ক
1
খ
1/6
গ
5/7
ঘ
5/6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P(A) = 1/3, P(B) = 3/4, A ও B স্বাধীন হলে P(A ∪ B) এর মান কত?

সমাধান:
P(A) = 1/3, P(B) = 3/4

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
= P(A) + P(B) - P(A).P(B) [যেহেতু A ও B স্বাধীন]
= (1/3 + 3/4) - (1/3 × 3/4)
= 1/3 + 3/4 - 1/4
= (4 + 9 - 3)/12
= 10/12
= 5/6

১,০০৮.

৪টি সংখ্যার গড় ২৯। তিনটি সংখ্যা ২৪, ২৮ এবং ৩৫ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

ক
২৭
খ
২৮
গ
২৯
ঘ
৩১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪টি সংখ্যার গড় ২৯। তিনটি সংখ্যা ২৪, ২৮ এবং ৩৫ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
৪টি সংখ্যার গড় ২৯ হলে এদের সমষ্টি = ৪ × ২৯ = ১১৬
তিনটি সংখ্যা ২৪, ২৮ এবং ৩৫ হলে,

অপর সংখ্যাটি হবে = ১১৬ - (২৪ + ২৮ + ৩৫)
= ১১৬ - ৮৭
= ২৯

১,০০৯.

৫২ খানা তাসের প্যাকেটে ৪ টি টেক্কা আছে। নিরপেক্ষভাবে যেকোনো একখানা তাস টেনে টেক্কা না পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

ক
ক) ১/১৩
খ
খ) ২/১৩
গ
গ) ১২/১৩
ঘ
ঘ) ৮/১৩

ব্যাখ্যা

৫২ খানা তাসের প্যাকেটে ৪ টি টেক্কা আছে, সুতরাং নিরপেক্ষভাবে যেকোনো একখানা তাস টেনে টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ৪/৫২ = ১/১৩।
সুতরাং নিরপেক্ষভাবে একখানা তাস টেনে টেক্কা না পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ১-১/১৩
=১২/১৩.

১,০১০.

একজন লোকের কাজ করার সম্ভাবনা ৩/৫ এবং কাজে সফল হওয়ার সম্ভাবনা ৪/৭। তাহলে, সে কাজ না করার এবং সফল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/২
খ
৬/৩৫
গ
২/১৫
ঘ
৩/৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন লোকের কাজ করার সম্ভাবনা ৩/৫ এবং কাজে সফল হওয়ার সম্ভাবনা ৪/৭। তাহলে, সে কাজ না করার এবং সফল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
কাজ করার সম্ভাবনা ৩/৫
∴ কাজ না করার সম্ভাবনা = ১ - (৩/৫) = (৫ - ৩)/৫ = ২/৫

আবার,
কাজে সফল হওয়ার সম্ভাবনা ৪/৭
∴ সফল না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৪/৭) = (৭ - ৪)/৭ = ৩/৭

∴ কাজ না করার এবং সফল না হওয়ার সম্ভাবনা = (২/৫) × (৩/৭) = ৬/৩৫

১,০১১.

১৪, ১৬, ২১, ২৩, ২৬, ৩২
উপাত্তসমূহের মধ্যক কত?

ক
২০
খ
২২
গ
২৫
ঘ
৩০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৪, ১৬, ২১, ২৩, ২৬, ৩২
উপাত্তসমূহের মধ্যক কত?

সমাধান:
উপাত্তগুলোর মানের উর্ধবক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই,
১৪, ১৬, ২১, ২৩, ২৬, ৩২
যেহেতু এখানে জোড় সংখ্যক সংখ্যা রয়েছে। তাই মধ্যক হবে মাঝের দুইটি সংখ্যার গড়।

∴ মধ্যক = (২১ + ২৩)/২
= ৪৪/২
= ২২

অতএব, ১৪, ১৬, ২১, ২৩, ২৬, ৩২ উপাত্তগুলোর মধ্যক হলো ২২।

১,০১২.

1থেকে 17 পর্যন্ত (সংখ্যা 2টি সহ) সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত?

ক
2/5
খ
7/15
গ
3/5
ঘ
7/17

ব্যাখ্যা

1 থেকে 17 পর্যন্ত মোট সংখ্যা 17টি
1 থেকে 17 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা 6টি। যথা- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17
নির্নেয় সম্ভব্যতা = মৌলিক সংখ্যা / সর্বমোট সংখ্যা =7/17

১,০১৩.

চারটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে একটি হেড ও তিনটি টেল পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
2/7
খ
1/3
গ
1/6
ঘ
1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চারটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে একটি হেড ও তিনটি টেল পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
চারটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা বিন্দু হবে = {HHHH, HHHT, HHTH, HHTT, HTHH, HTHT, HTTH, HTTT, THHH, THHT, THTH, THTT, TTHH, TTHT, TTTH, TTTT}
= 16 টি

তিনটি টেল ও একটি হেড পাওয়ার অনুকূল ঘটনাগুলো = {HTTT, THTT, TTHT, TTTH}
= 4 টি।

∴ একটি হেড ও তিনটি টেল পাওয়ার সম্ভাবনা = 4/16 = 1/4

১,০১৪.

একজন লোকের কুমিল্লা হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭ এবং ঢাকা থেকে রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৫/৮। লোকটি ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
৩/৫
খ
৫/২৮
গ
১/২
ঘ
৫/১৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন লোকের কুমিল্লা হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭ এবং ঢাকা থেকে রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৫/৮। লোকটি ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
কুমিল্লা হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭
কুমিল্লা হতে ঢাকায় বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা ১ - (৫/৭) = ২/৭

ঢাকা থেকে রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৫/৮

∴ ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা (২/৭) × (৫/৮)
= ১০/৫৬
= ৫/২৮

১,০১৫.

আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী-2025 সালের জানুয়ারি মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট 3 দিন। ঐ সপ্তাহে শনিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
3/7
খ
4/7
গ
1/3
ঘ
1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী-2025 সালের জানুয়ারি মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট 3 দিন। ঐ সপ্তাহে শনিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
20২5 সালের জানুয়ারি মাসের ২য় সপ্তাহে মোট 7 দিন।
যার মধ্যে বৃষ্টি হয়েছিল 3 দিন।

শনিবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 3/7
শনিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (3/7)
=(7 - 3)/7
= 4/7

১,০১৬.

একটি মুদ্রা ৩ বার নিক্ষেপ করা হলে তিনবারই একই পিঠ পড়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১/৪
খ
খ) ১/৮
গ
গ) ৩/৮
ঘ
ঘ) উত্তর নাই

ব্যাখ্যা

একটি মুদ্রা ৩ বার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র হবে
(HHH), (HHT), (HTH), (HTT), (THH), (THT), (TTH), (TTT)
মোট নমুনা ক্ষেত্র = ৮
একই পিঠ ২টি (HHH)(TTT)
নির্নেয় সম্ভাবনা ২/৮ = ১/৪

১,০১৭.

52টি তাস থেকে একটি তাস টানা হলে তা টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
1/13
খ
1/2
গ
12/13
ঘ
3/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 52টি তাস থেকে একটি তাস টানা হলে তা টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
52টি তাসের মধ্যে টেক্কা থাকে 4টি।
টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = 4/52 = 1/13

∴ টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (1/13) = (13 - 1)/13 = 12/13

১,০১৮.

কোন একটি নির্দিষ্ট এলাকায় দেখা গেল ৫৫ জন ইত্তেফাক, ৬০ জন ডেইলি স্টার এবং ৬৫ জন প্রথম আলো পত্রিকা পড়ে। এদের মধ্য হতে একজনকে দৈবভাবে নির্বাচন করলে তার ডেইলি স্টার পড়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/৭
খ
১/৩
গ
১/৫
ঘ
১/৬

ব্যাখ্যা

এখানে মোট পত্রিকা পড়েন = ৫৫+৬০+৬৫ = ১৮০ জন।
ডেইলি স্টার পত্রিকা পড়েন = ৬০ জন।
সুতরাং ঐ ব্যক্তির ডেইলি স্টার পত্রিকা পড়ার সম্ভাবনা = ৬০/১৮০ = ১/৩।

১,০১৯.

৪, ১৩, ৭, ৮, ৯, ১২, ১১, ৩, ১৪, ১৫, ১০, ৫, ১৭ উপাত্তগুলোর মধ্যক কত?

ক
১২
খ
১০
গ
১১
ঘ
১৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪, ১৩, ৭, ৮, ৯, ১২, ১১, ৩, ১৪, ১৫, ১০, ৫, ১৭ উপাত্তগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই,
৩, ৪, ৫, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩, ১৪, ১৫, ১৭

যদি উপাত্তের সংখ্যা n হয় এবং n যদি বিজোড় সংখ্যা হয়
আমরা জানি,
মধ্যক = (n + 1)/2 তম পদের মান।

এখানে উপাত্তের সংখ্যা ১৩টি, যা বিজোড়।

∴ মধ্যক = (১৩ + ১)/২ তম পদ = ৭ তম পদের মান = ১০

∴ উপাত্তগুলোর মধ্যক হবে = ১০

১,০২০.

রনি বাংলায় ৭০, ইংরেজিতে ৭৫ নম্বর পেল। সে গণিতে কত পেলে তার গড় নম্বর ৭৪ হবে?

ক
ক) ৭০
খ
খ) ৭৪
গ
গ) ৭৬
ঘ
ঘ) ৭৭

ব্যাখ্যা

ধরি,
গণিতে প্রাপ্ত নম্বর a
∴ (a + ৭০ + ৭৫)/৩ = ৭৪
বা, a + ১৪৫ = ২২২
∴ a = ৭৭

১,০২১.

একটি থলেতে 5 টি নীল বল 4 টি সাদা বল এবং 3 টি কালো বল আছে। দৈবভাবে দু’টি বল তুললে বলদ্বয় একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
19/65
খ
17/66
গ
19/66
ঘ
21/66

ব্যাখ্যা

থলেতে,
নীল বল আছে 5 টি
সাদা বল আছে 4 টি
কালো বল আছে 3 টি
মোট বল আছে = 12 টি
∴ বল দু'টি একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা = (⁵c₂ + ⁴c₂ + ³c₂)/¹²c₂
= (10 + 6 + 3)/66
= 19/66

১,০২২.

পরিসর ১২০ এবং শ্রেণিসংখা ১০ হলে, শ্রেণি ব্যবধান কত?

ক
১০
খ
১১
গ
১২
ঘ
১৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পরিসর ১২০ এবং শ্রেণিসংখা ১০ হলে, শ্রেণি ব্যবধান কত?

সমাধান:
শ্রেণি সংখ্যা = পরিসর/শ্রেণি ব্যবধান
⇒ শ্রেণি ব্যবধান = পরিসর/শ্রেণি সংখ্যা
= ১২০/১০
= ১২

১,০২৩.

আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী জুন মাসে ঢাকা শহরে ২৫ দিন বৃষ্টি হয়েছে। তাহলে ৮ জুন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ৬/৭
খ
খ) ৫/৩১
গ
গ) ৫/৬
ঘ
ঘ) ৩/৫

ব্যাখ্যা

যেহেতু জুন মাস ৩০ দিন এবং জুন মাসে ২৫ দিন বৃষ্টি হয়েছে।
তাহলে যেকোনো একদিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ২৫/৩০
= ৫/৬
অতএব ৮ জুন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ৫/৬

১,০২৪.

১ থেকে ১০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত?

ক
১/৫
খ
১/১০
গ
২/৫
ঘ
২/৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
১ থেকে ১০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা ১০ টি।
১ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৪টি।
যথা- ২, ৩, ৫, ৭

মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভব্যতা
= মৌলিক সংখ্যা / সর্বমোট সংখ্যা
= ৪/১০
= ২/৫

১,০২৫.

১ থেকে ২০ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা গুলোর মধ্যক কত?

ক
ক) ৯
খ
খ) ১০.৭৫
গ
গ) ১০.৫
ঘ
ঘ) ১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ থেকে ২০ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা গুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
১ থেকে ২০ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা গুলো : ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮
এখানে ৬ টি উপাত্ত আছে, অর্থাৎ জোড় সংখ্যক উপাত্ত রয়েছে।

মধ্যক = {(৬/২)তম পদ + (৬/২ + ১) তম পদ}/২
= {৩ তম পদ + ৪ তম পদ}/২
= (৯ + ১২)/২
= ২১/২
= ১০.৫

১,০২৬.

৬টি সংখ্যার গড় ৮.৫। একটি সংখ্যা বাদ দিলে গড় হ্রাস পেয়ে ৭.২ হয়। বাদ দেয়া সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ৭
খ
খ) ১৫
গ
গ) ১০
ঘ
ঘ) ১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৬টি সংখ্যার গড় ৮.৫। একটি সংখ্যা বাদ দিলে গড় হ্রাস পেয়ে ৭.২ হয়। বাদ দেয়া সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
৬ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৮.৫ × ৬ = ৫১
এবং ১ টি বাদে বাকি ৫ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৭.২ × ৫ = ৩৬
বাদ দেয়া সংখ্যাটি = ৫১ - ৩৬
= ১৫

১,০২৭.

নিচের কোনটি দ্বারা শ্রেণি ব্যাপ্তি বুঝায়?

ক
প্রত্যেক শ্রেণীর অন্তর্ভুক্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার ব্যবধান
খ
উপাত্তসমূহের মধ্যে ১ম ও শেষ উপাত্তের ব্যবধান
গ
উপাত্তসমূহের মধ্যে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম উপাত্তের ব্যবধান
ঘ
সবগুলোই

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি দ্বারা শ্রেণি ব্যাপ্তি বুঝায়?

সমাধান:
শ্রেণি ব্যাপ্তি = প্রত্যেক শ্রেণীর অন্তর্ভুক্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার ব্যবধান।

১,০২৮.

একজন লোকের ঢাকা হতে রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা ২/৯, বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৩/৭, প্লেনে যাওয়ার সম্ভাবনা ১/৯। লোকটি রাজশাহী হতে খুলনা বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ২/৫ এবং ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা ৩/৭। এখন লোকটির রাজশাহী ট্রেনে এবং খুলনায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ৪/৪৫
খ
খ) ২/৫
গ
গ) ১/২
ঘ
ঘ) কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

লোকটির রাজশাহী ট্রেনে এবং খুলনায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা = (২/৯)×(২/৫) = ৪/৪৫

১,০২৯.

A ও B এর একটি অংক সমাধান করতে পারার সম্ভাব্যতা যথাক্রমে ১/৪ ও ১/৬। তারা একত্রে অঙ্কটি সমাধান করার চেষ্টা করলে অঙ্কটির সমাধান নির্ণয়ের সম্ভাব্যতা কত?

ক
৫/৮
খ
৩/৪
গ
৩/৮
ঘ
৫/৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A ও B এর একটি অংক সমাধান করতে পারার সম্ভাব্যতা যথাক্রমে ১/৪ ও ১/৬। তারা একত্রে অঙ্কটি সমাধান করার চেষ্টা করলে অঙ্কটির সমাধান নির্ণয়ের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
A এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা= ১ - (১/৪) = ৩/৪
B এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা= ১ - (১/৬)= ৫/৬

A ও B এর একত্রে অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা= (৩/৪) × (৫/৬)
= ৫/৮

A ও B এর একত্রে অঙ্কটি করতে পারার সম্ভাব্যতা= ১ - (৫/৮)
= ৩/৮

১,০৩০.

৫, ৯, ১১, ৮, ৯, ৭, ৩ , ১, ৭, ৯, ৫ ও ৯, ১০ উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?

ক
ক) ৯
খ
খ) ৭
গ
গ) ৫
ঘ
ঘ) কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

উপাত্তগুলোতে ৯ সংখ্যাটি সর্বাধিক ৪ বার আছে। তাই ৯ হচ্ছে উপাত্তগুলোর প্রচুরক।

১,০৩১.

৪ দ্বারা বিভাজ্য প্রথম ১০টি সংখ্যার মধ্যক কত?

ক
ক) ২০
খ
খ) ২২
গ
গ) ২৪
ঘ
ঘ) ২৬

ব্যাখ্যা

পরিসংখ্যান প্রশ্নঃ ৪ দ্বারা বিভাজ্য প্রথম ১০টি সংখ্যার মধ্যক কত?

সমাধানঃ
৪ দ্বারা বিভাজ্য প্রথম ১০টি সংখ্যা
৪, ৮, ১২, ১৬, ২০, ২৪, ২৮, ৩২, ৩৬, ৪০
এখানে,
n = ১০

মধ্যক = {(১০/২) তম পদ ও (১০/২) + ১ তম পদের যোগফল}/২
= { ৫তম পদ ও ৬ তম পদের যোগফল}/২
=(২০ + ২৪)/২
= ৪৪/২
= ২২

১,০৩২.

PROBABILITY শব্দটি থেকে যেকোন একটি বর্ণ নিলে, বর্ণটি vowel হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
৩/১১
খ
৪/১১
গ
৩/১০
ঘ
৪/৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: PROBABILITY শব্দটি থেকে যেকোন একটি বর্ণ নিলে, বর্ণটি vowel হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
PROBABILITY শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ১১ টি
Vowel আছে (O, A, I, I) ৪টি

বর্ণটি vowel হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/১১

১,০৩৩.

কালামের বাড়ি থেকে অফিসে যাওয়ার পাঁচটি পথ আছে সে কতভাবে বাড়ি থেকে অফিসে গিয়ে আবার বাড়ির ফিরে আসতে পারে?

ক
ক) ৫
খ
খ) ১০
গ
গ) ২০
ঘ
ঘ) ২৫

ব্যাখ্যা

অফিসে যাওয়ার উপায় = ৫
অফিস থেকে ফেরার উপায় = ৫
∴ গণনার গুণন বিধি অনুসারে অফিসে গিয়ে আবার ফিরে আসার উপায় = ৫×৫ = ২৫

১,০৩৪.

প্রদত্ত উপাত্তগুলোর মধ্যক: ১২,৯,১৫,৫,২০,৮,২৫,১৭,২১,২৩,১১

ক
ক) ১৫
খ
খ) ১৩
গ
গ) ১৪
ঘ
ঘ) ১২

ব্যাখ্যা

উপাত্তগুলোকে ঊর্ধ্ব ক্রম অনুসারে সাজালে পাওয়া যায় - ৫, ৮, ৯, ১১, ১২, ১৫, ১৭, ২০, ২১, ২৩, ২৫

আমরা জানি,
উপাত্তের সংখ্যা n হয় এবং n যদি বিজোড় সংখ্যা হয় তবে মধ্যক হবে (n + 1)/2 তম পদের মান।

এখানে
n = ১১
মধ্যক = (১১ + ১)/২ তম পদের মান
= ৬ তম পদের মান
= ১৫

১,০৩৫.

নিচের গণসংখ্যা নিবেশন সারণির প্রচুরক কত?

ক
ক) 49.33
খ
খ) 29.33
গ
গ) 39.33
ঘ
ঘ) 54.33

ব্যাখ্যা

নিচের গণসংখ্যা নিবেশন সারণির প্রচুরক
= L + f₁/(f₁ + f₂) × h
= 41 + (25 - 0)/{(25 - 0) + (25 - 20)} × 10
= 49.33

১,০৩৬.

A, B পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হলে, P(A ∪ B) = ?

ক
ক) P(A) + p(B)
খ
খ) P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
গ
গ) A(A ∩ B)
ঘ
ঘ) P(A) × P(B)

ব্যাখ্যা

A, B পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হলে,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

১,০৩৭.

৫, ৭, ৮, ১৯, ১৫, ১৭, ৯, ১২, ২, ২০, ১৩, ৪ ও ১৮ উপাত্ত সমূহের মধ্যক কোনটি?

ক
ক) ১৫
খ
খ) ১২
গ
গ) ১৩
ঘ
ঘ) ১৮

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
যদি উপাত্তের সংখ্যা n হয় আর n যদি বিজোড় হয় তবে মধ্যক হবে {(n + 1)/2} তম পদের মান

উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই-
২,৪,৫,৭,৮,৯,১২,১৩,১৫,১৭,১৮,১৯,২০
উপাত্ত সংখ্যা = ১৩

মধ্যক = {(n + 1)/2} তম পদের মান
= {(১৩ + ১)/২} তম পদের মান
= (১৪/২) তম পদের মান
= ৭ তম পদের মান

নির্ণেয় মধ্যক = ১২

১,০৩৮.

দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলো। প্রথম মুদ্রায় H এবং ২য় মুদ্রায় T না আসার সম্ভাবনা কত?

ক
1/4
খ
3/4
গ
1/3
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলো। প্রথম মুদ্রায় H এবং ২য় মুদ্রায় T না আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে যে ঘটনাগুলো ঘটে সেগুলো হলো = {HH, HT, TH, TT}
এখানে মোট ঘটনা = 4

∴ প্রথম মুদ্রায় H এবং ২য় মুদ্রায় T আসার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা
= 1/4

∴ প্রথম মুদ্রায় H এবং ২য় মুদ্রায় T না আসার সম্ভাবনা = 1 - (1/4)
= 3/4

১,০৩৯.

আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী ২০২০ সালের সেপ্টেম্বর মাসের ৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট ৪ দিন। ঐ সপ্তাহে মঙ্গলবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
২/৭
খ
৩/৭
গ
৪/৭
ঘ
৫/৭

ব্যাখ্যা

সেপ্টেম্বর মাসের ৩য় সপ্তাহে মোট ৭ দিনে বৃষ্টি হয়েছিল ৪ দিন
মঙ্গলবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা ৪/৭

মঙ্গলবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ৪/৭
= (৭ - ৪)/৭
= ৩/৭

১,০৪০.

একটি তাসের প্যাকেট থেকে দৈবভাবে একটি তাস নিলে তা হরতন বা রানী হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

ক
1/3
খ
4/13
গ
2/17
ঘ
3/17

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি তাসের প্যাকেট থেকে দৈবভাবে একটি তাস নিলে তা হরতন বা রানী হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
একটি প্যাকেটে মোট তাসের সংখ্যা = 52 টি
হরতন তাসের সংখ্যা = 13 টি
রানী সংখ্যা = 4 টি
অনুকূল ঘটনা = 13 + (4 - 1) টি [1টি রানী হরতনে গণনা করা হয়েছে তাই]
= 16

∴ তাসটি হরতন বা রানী হওয়ার সম্ভাব্যতা = 16/52 = 4/13

১,০৪১.

একটি থলিতে 3 টি সবুজ এবং 2 টি লাল বল আছে। অপর একটি থলিতে 2 টি সবুজ এবং 5 টি লাল বল আছে। নিরপেক্ষভাবে প্রত্যেক থলি থেকে একটি করে বল তোলা হল। দুইটি বলের মধ্যে অন্তত একটি সবুজ হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

ক
5/7
খ
2/7
গ
5/12
ঘ
1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি থলিতে 3 টি সবুজ এবং 2 টি লাল বল আছে। অপর একটি থলিতে 2 টি সবুজ এবং 5 টি লাল বল আছে। নিরপেক্ষভাবে প্রত্যেক থলি থেকে একটি করে বল তোলা হল। দুইটি বলের মধ্যে অন্তত একটি সবুজ হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
প্রথম থলিতে, 3 টি সবুজ বল, 2 টি লাল বল
দ্বিতীয় থলিতে, 2 টি সবুজ বল, 5 টি লাল বল

অন্তত একটি সবুজ হওয়ার সম্ভাব্যতা = 1 - দুইটি বলই লাল
প্রথম থলি থেকে লাল বলের সম্ভাবনা = 2/5
দ্বিতীয় থলি থেকে লাল বলের সম্ভাবনা = 5/7

দুইটি লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা = (2/5) × (5/7) = 2/7
অন্তত একটি সবুজ হওয়ার সম্ভাব্যতা = 1 - (2/7) = 5/7

∴ সঠিক উত্তর: ক) 5/7

১,০৪২.

দু’টি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে প্রথম মুদ্রায় Head আসার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 1/4
খ
খ) 3/4
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 1/2

ব্যাখ্যা

মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = {HH, HT, TH, T,T} = 4
১ম মুদ্রায় Head এর অনুকূলে নমুনা বিন্দু = {HH, HT} = 2
∴ সম্ভাবনা = 2/4 = 1/2

১,০৪৩.

ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে 3, 4, 5, বা 6 না আসার সম্ভাবনা কত?

ক
1/2
খ
1/3
গ
2/5
ঘ
5/6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে 3, 4, 5, বা 6 না আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে মোট নমুনা ক্ষেত্র হবে = 6¹ = 6 টি

নমুনা ক্ষেত্র গুলো হবে = 1, 2, 3, 4, 5, 6

এখন, সংখ্যা গুলোর মধ্যে 2 থেকে বড় সংখ্যা গুলো হলো = 3, 4, 5, 6 অর্থাৎ 4 টি ।

∴ ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে 2 থেকে বড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনার সংখ্যা/মোট ঘটনা সংখ্যা = 4/6 = 2/3

∴ ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে 3, 4, 5, বা 6 না আসার সম্ভাবনা = 1 - (2/3) = (3 - 2)/3 = 1/3

বিকল্প:
ছক্কায় 2 থেকে বড় নয় এমন সংখ্যা হলো- 1, 2 অর্থাৎ 2 টি।

∴ ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে 3, 4, 5, বা 6 না আসার সম্ভাবনা = 2/6 = 1/3

১,০৪৪.

১৫, ৫, ৭, ১২, ১৩, ৭, ২ সংখ্যাগুলোর প্রচুরক কত?

ক
ক) ১
খ
খ) ৫
গ
গ) ৭
ঘ
ঘ) ২

ব্যাখ্যা

এখানে ৭ সংখ্যাটি একাধিকবার আছে।
সুতরাং প্রচুরক = ৭

১,০৪৫.

একটি তাসের প্যাকেটে ৫২ খানা তাস আছে। দৈব ভাবে একটি তাস টানা হলে তা হরতনের রাজা হবার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১/২
খ
খ) ১/২৬
গ
গ) ১/৫২
ঘ
ঘ) ১৩/৫২

ব্যাখ্যা

মোট তাস ৫২ টি
হরতনের রাজা ১ টি
∴ নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = ১/৫২

১,০৪৬.

৩০ এবং ৫০ সংখ্যা দু’টির গড় ব্যবধান কত?

ক
৫০
খ
৩০
গ
১৬
ঘ
১০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩০ এবং ৫০ সংখ্যা দু’টির গড় ব্যবধান কত?

সমাধান:
৩০, ৫০ এর গড় = (৩০ + ৫০)/২
= ৪০

∴ গড় ব্যবধান = {।৩০ - ৪০। + ।৫০ - ৪০।}/২
= (১০ + ১০)/২
= ২০/২
= ১০

১,০৪৭.

একটি বিশ্রাম রুমে ৫ জন মহিলা এবং ৫ জন পুরুষ আছেন। দৈবভাবে ২ জন প্রার্থী নির্বাচন করলে ২ জনই মহিলা হবার সম্ভাবনা কত?

ক
২/৫
খ
২/৯
গ
১/৫
ঘ
১/২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বিশ্রাম রুমে ৫ জন মহিলা এবং ৫ জন পুরুষ আছেন। দৈবভাবে ২ জন প্রার্থী নির্বাচন করলে ২ জনই মহিলা হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
৫ জন মহিলা থেকে ২ জন নির্বাচন করার উপায় = ^৫C_২ = ৫!/(৩! × ২!) = ১০
১০ জন লোক থেকে ২ জন নির্বাচন করার উপায় = ^১০C_২ = ১০!/(২! × ৮!) = ৪৫

∴ সম্ভাবনা = ১০/৪৫ = ২/৯

১,০৪৮.

৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩, ১৪, ১৫, ১৬ উপাত্তগুলোর গড় কত?

ক
১১.৫
খ
১২.৫
গ
৯.৫
ঘ
১৪.৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩, ১৪, ১৫, ১৬ উপাত্তগুলোর গড় কত?

সমাধান:
উপাত্তগুলোর সমষ্টি = ৭ + ৮ + ৯ + ১০ + ১১ + ১২ + ১৩ + ১৪ + ১৫ + ১৬ = ১১৫

গড় = ১১৫/১০ = ১১.৫

১,০৪৯.

একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে 2 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা কত?

ক
2/3
খ
1/2
গ
3/4
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে 2 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কার নমুনাক্ষেত্র = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2 এর গুণিতক নমুনা = {2, 4, 6}

∴ 2 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা= 3/6
= 1/2

১,০৫০.

একটি ছক্কা ও একটি মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হলো। ছক্কায় 4 এবং মুদ্রায় টেল সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

ক
1/12
খ
1/6
গ
1/2
ঘ
3/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলো। ছক্কায় 4 এবং মুদ্রায় টেল সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র গুলো
{1H, 1T, 2H, 2T, 3H, 3T, 4H, 4T, 5H, 5T, 6H, 6T} = 12টি

মুদ্রায় টেল এবং ছক্কায় 4 আসার অনুকূল ফলাফল = 4T = 1টি

∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = 1/12

১,০৫১.

১ টি মুদ্রাকে দুইবার নিক্ষেপ করলে যেকোন একটি হেড পাওয়ার সম্ভবনা কত?

ক
ক) ১/২
খ
খ) ১/৪
গ
গ) ১/৩
ঘ
ঘ) ১/৫

ব্যাখ্যা

১ টি মুদ্রাকে দুইবার নিক্ষেপ করলে মোট ফলাফল চারটি = HH, HT, TH, TT
যেকোন একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = কাঙ্ক্ষিত ফলাফল/ মোট ফলাফল
= ২/৪ = ১/২

১,০৫২.

একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে ছক্কার বিজোড় সংখ্যা এবং মুদ্রায় T আসার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 1/3
গ
গ) 1/4
ঘ
ঘ) 1/12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে ছক্কার বিজোড় সংখ্যা এবং মুদ্রায় T আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
নমুনা বিন্দু = {1H, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 1T, 2T, 3T, 4T, 5T, 6T}
মোট নমুনা বিন্দু = 12টি।

ছক্কার বিজোড় সংখ্যা এবং মুদ্রায় T আসার অনুকূলে নমুনা বিন্দু {1T, 3T, 5T} = 3টি.
∴ সম্ভাবনা = 3/12
= 1/4

১,০৫৩.

নিচের উপাত্তগুলো মানের উর্ধ্বক্রমে সাজানো আছে। যদি উপাত্তগুলোর মধ্যক 26 হয় তাহলে x এর মান নির্ণয় করুন। 15,17, x, 24, x + 6, 35, 36, 46, 52

ক
18
খ
22
গ
20
ঘ
26

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের উপাত্তগুলো মানের উর্ধ্বক্রমে সাজানো আছে। যদি উপাত্তগুলোর মধ্যক 26 হয় তাহলে x এর মান নির্ণয় করুন।
15,17, x, 24, x + 6, 35, 36, 46, 52

সমাধান:
15,17, x, 24, x + 6, 35, 36, 46, 52
এখানে মোট ৯টি উপাত্ত রয়েছে যা বিজোড় সংখ্যক।
∴ মধ্যক হবে (৯ + ১)/২ = ৫ তম পদ

∴ মধ্যক = x + 6

প্রশ্নমতে,
x + 6 = 26
∴ x = 20

১,০৫৪.

১১ থেকে ৪০ পর্যন্ত একটি সংখ্যা নির্বাচন করলে তা মৌলিক না হবার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ৪/১৫
খ
খ) ৫/২২
গ
গ) ১১/১৫
ঘ
ঘ) ১৩/২২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১১ থেকে ৪০ পর্যন্ত একটি সংখ্যা নির্বাচন করলে তা মৌলিক না হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১১ থেকে ৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ৩০ টি।
১১ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা গুলো হলো ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭।
অর্থাৎ ১১ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৮ টি

১১ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা নয় = (৩০ - ৮) টি
= ২২ টি

∴ মৌলিক সংখ্যা না হবার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা
= ২২/৩০
= ১১/১৫

১,০৫৫.

একটি বক্সে ২০টি নীল ও ৩০ টি লাল মার্বেল আছে। দৈবভাবে ২টি মার্বেল উঠালে ২টি একই রংয়ের হওয়ার সম্ভবনা কত?

ক
১/২
খ
২৫/৪৯
গ
২/৫
ঘ
২৩/৪৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বক্সে ২০টি নীল ও ৩০ টি লাল মার্বেল আছে। দৈবভাবে ২টি মার্বেল উঠালে ২টি একই রংয়ের হওয়ার সম্ভবনা কত?

সমাধান:
নীল মার্বেল = ২০টি
লাল মার্বেল = ৩০টি
মোট মার্বেল = ২০ + ৩০ = ৫০ টি

২টি মার্বেলই নীল হওয়ার সম্ভাবনা = (২০/৫০) × (১৯/৪৯)
= ৩৮/২৪৫

২টি মার্বেলই লাল হওয়ার সম্ভাবনা = (৩০/৫০) × (২৯/৪৯)
= ৮৭/২৪৫

∴ মোট সম্ভাবনা = (৩৮/২৪৫) + (৮৭/২৪৫)
= ১২৫/২৪৫
= ২৫/৪৯

১,০৫৬.

একটা বাক্সে ৪টা লাল, ৩টা নীল, ২টা হলুদ ও ১টা সবুজ বল আছে। কমপক্ষে কয়টা বল উঠালে সেখানে অন্তত একটা লাল বল থাকবেই?

ক
৭
খ
৬
গ
৫
ঘ
৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটা বাক্সে ৪টা লাল, ৩টা নীল, ২টা হলুদ ও ১টা সবুজ বল আছে। কমপক্ষে কয়টা বল উঠালে সেখানে অন্তত একটা লাল বল থাকবেই?

সমাধান:
লাল বল = ৪
নীল বল = ৩
হলুদ বল = ২
সবুজ বল = ১
মোট = ৪ + ৩ + ২ + ১ = ১০ বল

সমাধান করতে হবে: কমপক্ষে কয়টা বল তুললে অন্তত একটি লাল বল উঠবেই।

- কমপক্ষে লাল বল বের করার জন্য worst case বিবেচনা করতে হবে।
worst case = প্রথমে সব লাল না তুলে বাকি সব রঙের বল তুলতে হবে।

লাল নয় এমন বলের সংখ্যা = ৩ + ২ + ১ = ৬
অতএব, ৬টা বল তোলার পরও আমরা কোনো লাল বল নাও পেতে পারি।

এখন,
৬টা লাল নয় এমন বলের পর আরও ১টা বল তুললে লাল বল আসবেই।
অতএব, ৭টা বল তুলতে হবে।

সঠিক উত্তর: (গ) ৭

১,০৫৭.

২০২৪ সালের ফেব্রুয়ারি মাসে কোনো শহরে ১৯ দিন বৃষ্টিপাত হয়েছে। ৪ ফেব্রুয়ারি বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১০/২৯
খ
৯/১৯
গ
১১/২৯
ঘ
১৯/২৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২০২৪ সালের ফেব্রুয়ারি মাসে কোনো শহরে ১৯ দিন বৃষ্টিপাত হয়েছে। ৪ ফেব্রুয়ারি বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
২০২৪ সাল অধিবর্ষ হওয়ায় ফেব্রুয়ারী মাস = ২৯ দিন

বৃষ্টিপাত হয়েছে = ১৯ দিন
∴ বৃষ্টিপাত হয়নি = ২৯ - ১৯ = ১০ দিন

∴ ৪ ফেব্রুয়ারী বৃষ্টিপাত না হওয়ার সম্ভাবনা = ১০/২৯

১,০৫৮.

৩০ টাকা দরের ২ সের সয়াবিন তেলের সাথে ১৮ টাকা দরের ১ সের পামওয়েল মিশালে মিশ্রিত তেলের প্রতি সেরের দাম কত?

ক
ক) ২৩ টাকা
খ
খ) ২৪ টাকা
গ
গ) ২৬ টাকা
ঘ
ঘ) ২৮ টাকা

ব্যাখ্যা

২ সের সয়াবিন তেলের দাম = ৩০×২ = ৬০ টাকা
মিশ্রণের পর (২+১) বা ৩ সেরের মোট দাম = (৬০+১৮) = ৭৮ টাকা।
সুতরাং মিশ্রিত তেলের প্রতি সেরের গড় মূল্য = ৭৮/৩
= ২৬ টাকা

১,০৫৯.

যদি A সংখ্যক সংখ্যার গড় m এবং B সংখ্যক সংখ্যার গড় n হয় তবে সবগুলো সংখ্যার মোট গড় কত?

ক
(Am + Bn)/2
খ
(A + B)
গ
(Am + Bn)/A
ঘ
(Am + Bn)/(A + B)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি A সংখ্যক সংখ্যার গড় m এবং B সংখ্যক সংখ্যার গড় n হয় তবে সবগুলো সংখ্যার মোট গড় কত?

সমাধান:
A সংখ্যক সংখ্যার গড় m
A সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = Am

B সংখ্যক সংখ্যার গড় n
B সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = Bn

∴ সবগুলো সংখ্যার মোট গড় = (Am + Bn)/(A + B)

১,০৬০.

১১টি সংখ্যার যোগফল ৬৬০। প্রথম ৬টি সংখ্যার গড় ৫৫ এবং শেষ ৬টি সংখ্যার গড় ৬৫ হলে, ষষ্ঠ সংখ্যাটি কত?

ক
৫৬
খ
৫৯
গ
৬০
ঘ
৬৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১১টি সংখ্যার যোগফল ৬৬০। প্রথম ৬টি সংখ্যার গড় ৫৫ এবং শেষ ৬টি সংখ্যার গড় ৬৫ হলে, ষষ্ঠ সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
প্রথম ৬ টি সংখ্যার গড় = ৫৫
∴ প্রথম ৬ টি সংখ্যার যোগফল = ৫৫ × ৬ = ৩৩০

শেষ ৬ টি সংখ্যার গড় ৬৫
∴ শেষ ৬ টি সংখ্যার যোগফল = ৬৫ × ৬ = ৩৯০

(৬ + ৬) = ১২টি সংখ্যার যোগফল = ৩৩০ + ৩৯০ = ৭২০

∴ ষষ্ঠ সংখ্যাটি = ৭২০ - ৬৬০= ৬০

১,০৬১.

যদি P(B) = 0 হয়, তাহলে B ঘটনাটি কী ঘটনা?

ক
নিশ্চিত
খ
অসম্ভব
গ
স্বাধীন
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি P(B) = 0 হয়, তাহলে B ঘটনাটি কী ঘটনা?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = ঘটনাটির অনুকূল ফলাফল/সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল

কোনো ঘটনা ঘটার সর্বোচ্চ মান ১ এবং সর্বনিম্ন মান ০।
অর্থাৎ কোনো ঘটনা যখন অবশ্যই ঘটবে তার মান ১
এবং যখন অবশ্যই ঘটবেনা অর্থাৎ অসম্ভব ঘটনা তার মান ০।

∴ B ঘটনাটি একটি অসম্ভব ঘটনা।

১,০৬২.

১ থেকে ৩১ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার সমষ্টির গড় কত?

ক
ক) ১৬
খ
খ) ৩১
গ
গ) ১৮
ঘ
ঘ) ২১

ব্যাখ্যা

১ হতে ৩১ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি ={৩১(৩১ + ১)}/২
= (৩১ × ৩২)/২
= ৩১ × ১৬
১ থেকে ৩১ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় = (৩১ × ১৬)/৩১ = ১৬

১,০৬৩.

একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে ছক্কার জোড় সংখ্যা এবং মুদ্রার T আসার সম্ভাবনা কত?

ক
1/2
খ
1/3
গ
1/4
ঘ
1/6
ঙ
2/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে ছক্কার জোড় সংখ্যা এবং মুদ্রার T আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
নমুনা বিন্দু = {1H, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 1T, 2T, 3T, 4T, 5T, 6T}
মোট নমুনা বিন্দু = 12 টি।

জোড় সংখ্যা এবং মুদ্রায় T আসার অনুকূলে নমুনা বিন্দু {2T, 4T, 6T} = 3 টি

∴ সম্ভাবনা = 3/12 = 1/4

১,০৬৪.

৫, ৭, ৮, ১৯, ১৫, ১৭, ৯, ১২, ২, ২০, ১৩, ৪ ও ১৮ সংখ্যাগুলোর মধ্যক নির্ণয় করুন-

ক
১৫
খ
৭
গ
১২
ঘ
১৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫, ৭, ৮, ১৯, ১৫, ১৭, ৯, ১২, ২, ২০, ১৩, ৪ ও ১৮ সংখ্যাগুলোর মধ্যক নির্ণয় করুন-

সমাধান:
নিচে সংখ্যাগুলোকে মানের উর্ধ্বক্রমে সাজানো হলো,
২, ৪, ৫, ৭, ৮, ৯, ১২, ১৩, ১৫, ১৭, ১৮, ১৯, ও ২০।

এখানে, n = ১৩ (যা বিজোড় সংখ্যা)

আমরা জানি,
মধ্যক = {(n + ১)/২} তম পদ
= (১৩ + ১)/২
= ১৪/২
= ৭ তম পদ

∴ ৭ তম পদ ১২

নির্ণয় মধ্যক = ১২

১,০৬৫.

একটি ছক্কাকে একবার নিক্ষেপ করা হলে, 2 এর গুণিতক পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
1/3
খ
1/6
গ
2/3
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ছক্কাকে একবার নিক্ষেপ করা হলে, 2 এর গুণিতক পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কায় মোট সংখ্যা আছে = 6 টি
ছক্কায় 2 এর গুণিতকগুলো হলো = {2, 4, 6}
2 এর গুণিতক আছে = 3 টি

∴ 2 এর গুণিতক পাওয়ার সম্ভাবনা = 3/6
= 1/2

১,০৬৬.

১০০ থেকে ২৪৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
২/২৭
খ
১/২৫
গ
৪/৩৭
ঘ
৬/১৪৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০০ থেকে ২৪৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১০০ থেকে ২৪৯ পর্যন্ত মোট নমুনাবিন্দু = ১৫০
পূর্ণ বর্গসংখ্যার অনুকূলে নমুনাবিন্দু = ১০০, ১২১, ১৪৪, ১৬৯, ১৯৬, ২২৫
= ৬টি

∴ সম্ভাবনা = ৬/১৫০
= ১/২৫

১,০৬৭.

এই সময়ে ভারত পাকিস্তানের মধ্যে ক্রিকেট টেস্ট ম্যাচ অনুষ্ঠিত হলে ভারতের জয় পাওয়ার সম্ভাবনা-

ক
ক) 0
খ
খ) 1/2
গ
গ) 1/3
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

মোট নমুনা বিন্দু বা ফল = {জয়, পরাজয়, ড্র}
= 3টি
জয়ের অনূকুলে নমুনা বিন্দু = 1টি
∴ সম্ভাবনা = 1/3

১,০৬৮.

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোকে ১০ টি শ্রেণিতে ভাগ করা হলে ৮ নম্বর শ্রেণিটি কোনটি হবে?

ক
৭০ - ৭৯
খ
৭১ - ৭৫
গ
৭১ - ৮০
ঘ
৬১ - ৭০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোকে ১০ টি শ্রেণিতে ভাগ করা হলে ৮ নম্বর শ্রেণিটি কোনটি হবে?

সমাধান:
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোকে ১০ টি শ্রেণিতে ভাগ করা হলে,
শ্রেণিগুলো হবে,
১ - ১০
১১- ২০
২১ - ৩০
৩১ - ৪০
৪১ - ৫০
৫১ - ৬০
৬১ - ৭০
৭১ - ৮০
৮১ - ৯০
৯১ - ১০০

∴ ৮ নম্বর শ্রেণিটি হবে = ৭১ - ৮০

১,০৬৯.

তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একসাথে একবার নিক্ষেপ করা হল। তিনটাই হেড পাবার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 1/4
খ
খ) 1/12
গ
গ) 1/3
ঘ
ঘ) 1/8

ব্যাখ্যা

Probability tree নিম্নরূপঃ

নমুনা ক্ষেত্রটি = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
মোট নমুনা বিন্দু 8 টি।
নমুনা ক্ষেত্রে, HHH নমুনা বিন্দু মাত্র 1 টি
তিনটাই হেড পাবার সম্ভাবনা = 1/8

১,০৭০.

একটা মুদ্রা চারবার নিক্ষেপ করা হলো। ঠিক দুইবার টেল আসার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১১/১৬
খ
খ) ১/৮
গ
গ) ১/২
ঘ
ঘ) ৩/৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটা মুদ্রা চারবার নিক্ষেপ করা হলো। ঠিক দুইবার টেল আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি মুদ্রা চারবার নিক্ষেপ করলে পাই,

নমুনাক্ষেত্র = {HHHH, HHHT, HHTH, HHTT, HTHH, HTHT, HTTH, HTTT, THHH, THHT, THTH, THTT, TTHH, TTHT, TTTH, TTTT}
মোট নমুনা বিন্দু = ১৬টি

ঠিক দুইবার টেল আছে ৬টি নমুনা বিন্দুতে।

ঠিক দুইবার টেল আসার সম্ভাবনা = ৬/১৬ = ৩/৮

১,০৭১.

একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপে ১২ এর গুণনীয়ক পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/৬
খ
৫/৬
গ
২/৫
ঘ
১/৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপে ১২ এর গুণনীয়ক পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা নিক্ষেপ মোট নমুনা বিন্দু = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬} = মোট ৬ টি
১২ এর গুণনীয়ক = {১, ২, ৩, ৪, ৬, ১২}
১২ এর গুণনীয়ক যা ছক্কায় বিদ্যমান = {১, ২, ৩, ৪, ৬} = ৫ টি [ছক্কায় সর্বোচ্চ সংখ্যা ৬, তাই ১২ বাদ যাবে]

∴ সম্ভাবনা = ৫/৬

১,০৭২.

প্রদত্ত উপাত্তগুলোর মধ্যক নির্ণয় করুন
১২, ৯, ১৫, ৫, ২০, ৮, ২৫, ১৭, ২১, ২৩, ১১

ক
১২
খ
১৩
গ
১৪
ঘ
১৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রদত্ত উপাত্তগুলোর মধ্যক নির্ণয় করুন
১২, ৯, ১৫, ৫, ২০, ৮, ২৫, ১৭, ২১, ২৩, ১১

সমাধান:
প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে ঊর্ধ্বক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই- ৫, ৮, ৯, ১১, ১২, ১৫, ১৭, ২০, ২১, ২৩, ২৫
আমরা জানি,
উপাত্তের সংখ্যা n হলে এবং n যদি বিজোড় সংখ্যা হয় তবে মধ্যক হবে (n + 1)/2 তম পদের মান।

এখানে,
n = ১১ যা একটি বিজোড় সংখ্যা
∴ মধ্যক = (১১ + ১)/২ তম পদের মান
= ৬ তম পদের মান
= ১৫

১,০৭৩.

যদি P(y) = 1 হয়, তাহলে y ঘটনাটি হলো-

ক
নিশ্চিত ঘটনা
খ
অসম্ভব ঘটনা
গ
স্বাধীন ঘটনা
ঘ
অনিশ্চিত ঘটনা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি P(y) = 1 হয়, তাহলে y ঘটনাটি হলো-

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = ঘটনাটির অনুকূল ফলাফল/সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল

∴ কোনো ঘটনা ঘটার সর্বোচ্চ মান ১ এবং সর্বনিম্ন মান ০

অর্থাৎ কোনো ঘটনা যখন অবশ্যই ঘটবে তার মান ১
এবং যখন অবশ্যই ঘটবেনা অর্থাৎ অসম্ভব ঘটনা তার মান ০

১,০৭৪.

একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে 3 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা কত?

ক
1/6
খ
1/2
গ
1/3
ঘ
2/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে 3 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কার নমুনাক্ষেত্র = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
3 এর গুণিতক নমুনা = {3, 6}
∴ 3 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা= 2/6
= 1/3 ।

১,০৭৫.

১-২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো থেকে একটি সংখ্যা নির্বাচন করলে তা মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১/৫
খ
খ) ২/৫
গ
গ) ৩/৫
ঘ
ঘ) ৪/৫

ব্যাখ্যা

১-২০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ২০টি
মৌলিক সংখ্যা = {২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭ ,১৯}
মোট = ৮টি
∴ সম্ভাবনা = ৮/২০
= ২/৫

১,০৭৬.

২৫, ১৭, ৩২, ২১, ২৮, ১৫, ২০ উপাত্তগুলোর মধ্যক কত?

ক
১৯
খ
২০
গ
২১
ঘ
২২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৫, ১৭, ৩২, ২১, ২৮, ১৫, ২০ উপাত্তগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
উপাত্তগুলোর মানের উর্ধবক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই,
১৫, ১৭, ২০, ২১, ২৫, ২৮, ৩২
যেহেতু এখানে বিজোড় সংখ্যক সংখ্যা রয়েছে। তাই মধ্যক হবে মাঝের সংখ্যাটি।
মাঝের সংখ্যাটির অবস্থান = (n+1)/2 = (7 + 1)/2 = 4 তম সংখ্যা
∴ মধ্যক = ২১
অতএব, ২৫, ১৭, ৩২, ২১, ২৮, ১৫, ২০ উপাত্তগুলোর মধ্যক হলো ২১।

১,০৭৭.

'ক', 'খ' ও 'গ' এর মানের গড় 20 ' এবং 'গ' এর মান ২২ হলে, ক' ও 'খ' এর মানের গড় কত?

ক
ক) ১৭
খ
খ) ১৮
গ
গ) ১৯
ঘ
ঘ) ২১

ব্যাখ্যা

'ক', 'খ' ও 'গ' এর মানের গড় ২০
'ক', 'খ' ও 'গ' এর মানের সমষ্টি = ২০ × ৩ = ৬০
'গ' এর মান ২২

ক', ও 'খ' এর মানের সমষ্টি =৬০ - ২২ = ৩৮
'ক' ও 'খ' এর মানের গড় = ৩৮/২ = ১৯

১,০৭৮.

১ থেকে ২১০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে, সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
৭/২১০
খ
১/১৪
গ
১/১৫
ঘ
১৩/২১০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ থেকে ২১০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে, সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ থেকে ২২০ পর্যন্ত মোট নমুনাবিন্দু = ২১০
পূর্ণ বর্গসংখ্যার অনুকূলে নমুনাবিন্দু - {১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১, ১০০, ১২১, ১৪৪, ১৬৯, ১৯৬} = মোট ১৪টি

∴ এক্ষেত্রে সম্ভাবনা = ১৪/২১০
= ১/১৫

১,০৭৯.

একটি অধিবর্ষে (Leap Year) বছরে 52 রবিবার থাকার সম্ভাবনা কত?

ক
5/7
খ
4/7
গ
3/7
ঘ
4/9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অধিবর্ষে (Leap Year) বছরে 52 রবিবার থাকার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি লিপ ইয়ারে 52 টি রবিবার হওয়ার সম্ভাবনা বের করুন।

একটি লিপ ইয়ারে 52 টি রবিবার বা 53 টি রবিবার থাকতে পারে।

একটি লিপ ইয়ারে মোট 366 দিন থাকে, যার মধ্যে 52 টি পূর্ণ সপ্তাহ এবং অবশিষ্ট 2 দিন থাকে।

এখন এই দুইটি দিন হতে পারে:
(Sat, Sun)
(Sun, Mon)
(Mon, Tue)
(Tue, Wed)
(Wed, Thu)
(Thu, Fri)
(Fri, Sat)

সুতরাং মোট 7টি সম্ভাব্য কেস রয়েছে, যেগুলোর মধ্যে (Sat, Sun) এবং (Sun, Mon) দুটি অনুকূল কেস।

P(53 রবিবার) = 2/7

এখন,
P(52 রবিবার) + P(53 রবিবার) = 1
∴ P(52 রবিবার) = 1 - P(53 রবিবার) = 1 - 2/7 = 5/7

সুতরাং 52টি রবিবারের সম্ভাবনা = 5/7

১,০৮০.

একটি তাসের প্যাকেট হতে একটি তাস নিলে তা বিবি হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/১৩
খ
১/৪
গ
১২/১৩
ঘ
১/১৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি তাসের প্যাকেট হতে একটি তাস নিলে তা বিবি হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
তাসের সংখ্যা = ৫২ টি

এখন,
একটি তাসের প্যাকেটে,
সাহেবের সংখ্যা = ৪ টি
বিবির সংখ্যা = ৪ টি
টেক্কার সংখ্যা = ৪ টি

∴ তাসটি বিবি হওয়ার সম্ভাবনা = (৪/৫২)
= ৪/৫২
= ১/১৩ ।

১,০৮১.

দুটি ছক্কা নিক্ষেপ করা হলে যোগফল ৯ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/১২
খ
১/৮
গ
১/৬
ঘ
১/৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি ছক্কা নিক্ষেপ করা হলে যোগফল ৯ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট নমুনাক্ষেত্রে ৬ × ৬ = ৩৬
প্রত্যাশিত ঘটনা = {(৩, ৬), (৪, ৫), (৫, ৪), (৬, ৩)}

∴ সম্ভাবনা = ৪/৩৬ = ১/৯

১,০৮২.

একটি বক্সে 5 টি সবুজ মার্বেল, 12 টি লাল মার্বেল এবং 13 টি কালো মার্বেল আছে। বক্স থেকে দৈবভাবে একটি মার্বেল নেওয়া হলে মার্বেলটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
2/3
খ
1/3
গ
5/6
ঘ
1/6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বক্সে 5 টি সবুজ মার্বেল, 12 টি লাল মার্বেল এবং 13 টি কালো মার্বেল আছে। বক্স থেকে দৈবভাবে একটি মার্বেল নেওয়া হলে মার্বেলটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট মার্বেল আছে = (5 + 12 + 13) টি = 30 টি
সবুজ মার্বেল আছে = 5 টি

মার্বেলটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = 5/30
= 1/6

∴ মার্বেলটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (1/6)
= 5/6

১,০৮৩.

চাকরি না পাওয়ার সম্ভাবনা ১/৭ হলে, চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১/৩
খ
খ) ৩/৭
গ
গ) ১/৫
ঘ
ঘ) ৬/৭

ব্যাখ্যা

চাকরি না পাওয়ার সম্ভাবনা ১/৭
∴ চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা
= ১ - ১/৭
= ৬/৭

১,০৮৪.

৫, ১২, ৯, ১৫, ৮, ২০, ১৭, ২৫, ২১, ২৩, ২৬ উপাত্তগুলোর মধ্যক -

ক
ক) ১৫
খ
খ) ১৭
গ
গ) ২০
ঘ
ঘ) ১৬

ব্যাখ্যা

উপাত্তগুলো, ৫, ১২, ৯, ১৫, ৮, ২০, ১৭, ২৫, ২১, ২৩, ২৬
= ৫, ৮, ৯, ১২, ১৫, ১৭, ২০, ২১, ২৩, ২৫, ২৬
মোট n = ১১ টি
∴ মধ্যক = (১১+১)/২
= ৬ষ্ঠ পদ
= ১৭

১,০৮৫.

একটি মুদ্রাকে তিনবার নিক্ষেপ করা হলো। H অপেক্ষা T বেশি আসার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ৩/৪
খ
খ) ৫/৮
গ
গ) ৩/৮
ঘ
ঘ) ১/২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মুদ্রাকে তিনবার নিক্ষেপ করা হলো। H অপেক্ষা T বেশি আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হলে নমুনাক্ষেত্র = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
মোট নমুনা বিন্দু = ৮টি

H অপেক্ষা T বেশি আসে = {HTT, THT, TTH, TTT}
অনুকূলে নমুনা বিন্দু = ৪টি

H অপেক্ষা T বেশি আসার সম্ভাবনা = ৪/৮ = ১/২

১,০৮৬.

৩, ৯, এবং ২৭ এর জ্যামিতিক গড় কত?

ক
৯
খ
১৩
গ
৮
ঘ
২১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩, ৯, এবং ২৭ এর জ্যামিতিক গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার গুণোত্তর গড় বা জ্যামিতিক গড়

= (৩ × ৯ × ২৭)^১/৩
= (৩ × ৩^২ × ৩^৩)^১/৩
= (৩^৬)^১/৩
= ৩^২
= ৯

১,০৮৭.

একজন লোকের চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৪/৭ এবং ঢাকা থেকে খুলনা ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ২/৫। লোকটি ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং খুলনা ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
৫/৭
খ
৪/৫
গ
৬/৩৫
ঘ
৪/২৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন লোকের চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৪/৭ এবং ঢাকা থেকে খুলনা ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ২/৫। লোকটি ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং খুলনা ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা = ৪/৭
চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৪/৭) = ৩/৭

ঢাকা থেকে খুলনা ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা = ২/৫

∴ ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং খুলনা ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা = (৩/৭) × (২/৫)
= ৬/৩৫

১,০৮৮.

২০২০ সালের ফেব্রুয়ারি মাসে মোট তিন দিন বৃষ্টি হয়েছিল। ঐ মাসের ১৫ তারিখে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
15/28
খ
1/28
গ
15/29
ঘ
26/29

ব্যাখ্যা

২০২০ সালের ফেব্রুয়ারি মাস = 29 দিন
তাহলে, ঐ মাসের ১৫ তারিখে বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 3/29
ঐ মাসের ১৫ তারিখে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = (1 - 3/29) = 26/29

১,০৮৯.

১০টি বলের মধ্যে ৬টি লাল। একটি বল বের করে ফেরত না দিয়ে দ্বিতীয়টি বের করলে প্রথমটি লাল এবং দ্বিতীয়টি লাল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
৪/১৫
খ
৩/১৪
গ
৩/৫
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০টি বলের মধ্যে ৬টি লাল। একটি বল বের করে ফেরত না দিয়ে দ্বিতীয়টি বের করলে প্রথমটি লাল এবং দ্বিতীয়টি লাল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল = ১০টি
লাল বল = ৬টি
লাল না (অর্থাৎ অন্য রঙ) = ১০ - ৬ = ৪টি

∴ P(প্রথম লাল এবং দ্বিতীয় লাল না) = P(প্রথম লাল) × P(দ্বিতীয় লাল না)
= (৬/১০) × (৪/৯)
= ২৪/৯০
= ৪/১৫

১,০৯০.

একটি ঝুড়িতে ৮টি লাল বল, ৭টি নীল বল এবং ৬টি সবুজ বল আছে। একটি বল দৈবভাবে তোলা হলে, বলটি লাল অথবা সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১/৩
খ
খ) ২/৩
গ
গ) ৫/৭
ঘ
ঘ) ১/২১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে ৮টি লাল বল, ৭টি নীল বল এবং ৬টি সবুজ বল আছে। একটি বল দৈবভাবে তোলা হলে, বলটি লাল অথবা সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল আছে = (৮ + ৭ + ৬)টি
= ২১টি

বলটি লাল অথবা সবুজ না হওয়ার অর্থ হলো বলটি নীল হবে।

এখানে নীল বল আছে ৭টি

∴ বলটি লাল অথবা সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা = ৭/২১ = ১/৩

১,০৯১.

5, 6, 7, 6 তথ্যসারির ভেদাঙ্ক কত?

ক
1
খ
0.5
গ
2
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5, 6, 7, 6 তথ্যসারির ভেদাঙ্ক কত?

সমাধান:
এখানে, তথ্য সংখ্যা, n = 4
গাণিতিক গড় = (5 + 6 + 7 + 6)/4
= 24/4
= 6

ভেদাঙ্ক = {(5 - 6)² + (6 - 6)² + (7 - 6)² + (6 - 6)²}/4
= (1 + 0 + 1 + 0)/4
= 2/4
= 1/2
= 0.5

১,০৯২.

ঢাকা আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী জুলাই মাসে ১ম সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে ৫ দিন। ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১/৭
খ
খ) ২/৭
গ
গ) ৫/৭
ঘ
ঘ) ১/৫

ব্যাখ্যা

যেকোনো একদিন বৃষ্টি হবার সম্ভাবনা ৫/৭
তাহলে, বুধবার বা যেকোনো দিন বৃষ্টি না হবার সভাবনা = (১ - ৫/৭) = ২/৭

১,০৯৩.

১২ থেকে ৩০ পর্যন্ত সংখ্যা থেকে যেকোন একটিকে ইচ্ছা মতো নিলে সে সংখ্যা টি মৌলিক অথবা ৫ এর গুনিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ৯/১৮
খ
খ) ১/১৮
গ
গ) ৯/১৯
ঘ
ঘ) ৫/১৯

ব্যাখ্যা

মোট সংখ্যা ১৯
১০ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা (১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯) = ৫টি
এবং ৫ এর গুনিতক (১৫, ২০, ২৫, ৩০) = ৪ টি
সংখ্যা টি মৌলিক অথবা ৫ এর গুনিতক হওয়ার সম্ভাবনা = ৯/১৯

১,০৯৪.

আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী-২০১৯ সালের সেপ্টেম্বর মাসের ৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট ৫ দিন। ঐ সপ্তাহে মঙ্গলবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১/৭
খ
খ) ৫/৭
গ
গ) ২/৭
ঘ
ঘ) ২/৫

ব্যাখ্যা

একটি সপ্তাহে দিন আছে 7 টি
বৃষ্টি হয়েছে 5 দিন
∴ যেকোনো একদিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা 5/7
অর্থাৎ, মঙ্গলবারে বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 5/7
∴ মঙ্গলবারে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা= 1 - 5/7 = 2/7

১,০৯৫.

A = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং x² ≤ 16} হলে P(A) এর উপাদান সংখ্যা কত?

ক
ক) 10
খ
খ) 12
গ
গ) 16
ঘ
ঘ) 18

ব্যাখ্যা

এখানে,
A = {-1, -2, -3, -4}
∴ P(A) এর উপাদান সংখ্যা = 2⁴
= 16

১,০৯৬.

রাজুর ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা 3/7, ইংরেজি ও বিজ্ঞান দুইটি বিষয়ে পাসের সম্ভাব্যতা 2/7 এবং দুইটির যে কোন একটিতে পাশের সম্ভাব্যতা 5/7 হলে, বিজ্ঞানে পাসের সম্ভাব্যতা কত?

ক
3/7
খ
4/7
গ
5/14
ঘ
9/14

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রাজুর ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা 3/7, ইংরেজি ও বিজ্ঞান দুইটি বিষয়ে পাসের সম্ভাব্যতা 2/7 এবং দুইটির যে কোন একটিতে পাশের সম্ভাব্যতা 5/7 হলে, বিজ্ঞানে পাসের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
এখানে,
P(E) = 3/7
P(E ∩ S) = 2/7
P(E ∪ S) = 5/7
P(S) = ?

আমরা জানি,
P(E ∪ S) = P(E) + P(S) - P(E ∩ S)
⇒ 5/7 = (3/7) + P(S) - (2/7)
⇒ (5/7) - (3/7) + (2/7) = P(S)
⇒ (35 - 21 + 14)/49 = P(S)
⇒ 28/49 = P(S)
⇒ P(S) = 28/49 = 4/7

১,০৯৭.

৫২টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে একটি তাস নেয়া হলো। তাসটি হরতন বা রুইতন হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/২
খ
১/১৫
গ
১/৪
ঘ
১/১৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫২টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে একটি তাস নেয়া হলো। তাসটি হরতন বা রুইতন হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট তাস = ৫২
হরতন আছে = ১৩ টি
রুইতন আছে = ১৩ টি

∴ হরতন বা রুইতন = ১৩ + ১৩ = ২৬টি

P(হরতন বা রুইতন) = অনুকূল ফলাফল/মোট ফলাফল
= ২৬/৫২
= ১/২

১,০৯৮.

6, 1, 9, 2, 3, 9, 8, 9, 10, 16 উপাত্তগুলোর মধ্যক ও প্রচূরকের যোগফল নির্ণয় করুন।

ক
0
খ
18
গ
18.5
ঘ
17.5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6, 1, 9, 2, 3, 9, 8, 9, 10, 16 উপাত্তগুলোর মধ্যক ও প্রচূরকের যোগফল নির্ণয় করুন।

সমাধান:
মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজালে পাওয়া যায় 1, 2, 3, 6, 8, 9, 9, 9, 10, 16.
এখানে পদের সংখ্যা 10.
সুতরাং 10/2 তম এবং এবং (10/2 + 1) তম অর্থাৎ, পঞ্চম ও ষষ্ঠ পদ দুইটি মধ্যম পদ যাদের মান যথাক্রমে 8 ও 9.
এ দুইটির গাণিতিক গড় হল (8 + 9)/2 = 8.5
সুতরাং মধ্যক হল 8.5

সবচেয়ে বেশি উপাত্ত আছে 9। তাই প্রচূরক 9.

∴ মধ্যক ও প্রচূরকের যোগফল = 8.5 + 9 = 17.5

১,০৯৯.

একটা মুদ্রা চারবার নিক্ষেপ করা হলো। সবগুলো হেড বা টেল না আসার সম্ভাবনা কত?

ক
১/৮
খ
১/৪
গ
৭/৮
ঘ
৩/৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটা মুদ্রা চারবার নিক্ষেপ করা হলো। সবগুলো হেড বা টেল না আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি মুদ্রা চারবার নিক্ষেপ করলে পাই,
নমুনাক্ষেত্র = {HHHH, HHHT, HHTH, HHTT, HTHH, HTHT, HTTH, HTTT, THHH, THHT, THTH, THTT, TTHH, TTHT, TTTH, TTTT}
মোট নমুনা বিন্দু = ১৬টি

সবগুলো হেড বা টেল আসার আছে ২টি নমুনা বিন্দুতে। [HHHH, TTTT]
∴ সবগুলো হেড বা টেল আসার সম্ভাবনা = ২/১৬ = ১/৮
∴ সবগুলো হেড বা টেল না আসার সম্ভাবনা = ১ - (১/৮) = ৭/৮

১,১০০.

একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হল। উপরের পিঠে ২ এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাব্যতা কত?

ক
ক) ৬
খ
খ) ১
গ
গ) ১/২
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্র, S ={১,২,৩,৪,৫,৬}
মোট নমুনাবিন্দু n(S) = ৬
২ এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যার অনুকূল ফলাফল একটি। এটি হল {৬} ∴ n(S) = ১
সুতরাং নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = ১/৬