বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

প্রশ্ন:  যদি 5x³ - 2x² + x + k = 0 এর একটি উৎপাদক (x - 3) হয়, তাহলে k এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 5x³ - 2x² + x + k
∴ f(3) = 5(3)³ - 2(3)² + 3 + k
= 5 × 27 - 2 × 9 + 3 + k
= 135 - 18 + 3 + k
= 120 + k

এখন, 
5x³ - 2x² + x + k এর একটি উৎপাদক x - 3 হলে, f(3) = 0 হবে,
এখন
f(3) = 0
⇒ 120 + k = 0
∴ k = - 120

প্রশ্ন: ​10x² - 27x + 18 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
​10x² - 27x + 18​
​= 10x² - 12x - 15x + 18
​= 2x(5x - 6) - 3(5x - 6)
​= (5x - 6)(2x - 3)

x - 5, f(x) = x² + 7x + p এর উৎপাদক হলে,
f(5) = 0
বা, 25 + 35 + p = 0
বা, p + 60 = 0
∴ p = -60

প্রশ্ন: x³ + 2x² - 5x + a বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 1 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ + 2x² - 5x + a

যেহেতু (x - 1) রাশিটির একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 1 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।

এখন, f(1) এর মান নির্ণয় করি,
f(1) = (1)³ + 2(1)² - 5(1) + a
= 1 + 2 - 5 + a
= - 2 + a

শর্তমতে,
f(1) = 0
বা, - 2 + a = 0
∴ a = 2

প্রশ্ন: x³ - 6x² + 11x - 6 রাশিটির একটি উৎপাদক কি?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6
f(1) = 1³ - 6(1)² + 11(1) - 6
= 1 - 6 + 11 - 6
= 0

সুতরাং, (x - 1) রাশি f(x) এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: x³ - x² কে x - 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত থাকবে?

সমাধান:
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, কোনো বহুপদী রাশি f(x) কে (x - a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় f(a)।

এখানে, ভাজ্য, f(x) = x³ - x²
ভাজক, g(x) = x - 2

এখন, x = 2 মানটি f(x)-এ বসিয়ে ভাগশেষ নির্ণয় করি,
f(2) = (2)³ - (2)²
 = 8 - 4
= 4

∴ নির্ণেয় ভাগশেষ হলো 4

প্রশ্ন: x² - 10x + P বহুপদী রাশিটি যদি x - 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে P এর মান কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x² - 10x + P
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী,
যদি x² - 10x + P বহুপদী রাশিটি x - 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে f(8) = 0 হবে।

∴ x² - 10x + P = 0
বা, (8)² - (10 × 8) + P = 0
বা, 64 - 80 + P = 0
বা, - 16 + P = 0
⇒ P = 16

সুতরাং, P এর মান 16।

প্রশ্ন: a⁶ - 64 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
= (a³)² - 8²
= (a³ + 8)(a³ - 8)
= (a³ + 2³)(a³ - 2³)
= (a + 2)(a² - 2a + 4)(a - 2)(a² + 2a + 4)
= (a + 2)(a - 2)(a² + 2a + 4)(a² - 2a + 4)

x² - y² + 2y - 1 = x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y-1)²
= (x+y-1) (x-y+1)

14(x+z)² - 29 (x+z) (x+1) - 15 (x+1)²

ধরি,
x+z = a
x+1 = b

প্রদত্ত রাশি,
14a² - 29ab - 15b²
= 14a² + 6ab - 35ab - 15b²
= 2a( 7a + 3b) - 5b(7a + 3b)
= (7a + 3b) (2a - 5b)
= (10x + 7z + 3) (2z - 3x - 5) [a ও b এর মান বসিয়ে]

6a² - a - 15
= 6a² - 10a + 9a - 15
= 2a(3a - 5) + 3(3a - 5)
= (3a - 5)(2a + 3)

প্রশ্ন: p² - 1 - q(q - 2) এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি,
p² - 1 - q(q - 2)
= p² - 1 - q² + 2q
= p² - (q² - 2q + 1)
= p² - (q - 1)²
= (p - q + 1)(p + q - 1)

x²-y²+2y-1
= x²-(y²-2y+1)
= x²-(y-1)²
= (x+y-1)(x-y+1)

 x² -x - (a+1)(a+2)= x² -x - (a+1)(a+1+1)
= x² -x - m(m+1) (let, a+1 = m)
= x²- m² -x -m
= (x+m)(x-m) -1(x+m)
= (x+m) (x-m-1)
= (x+a+1) (x-a-2)

x² - 2bx + (a + b)(b - a)
= x² - 2bx + (b + a)(b - a)
= x² - 2bx + b² - a²
= (x - b)² - a²
= (x + a - b)(x - a - b)

4x⁴ + 16
= 4(x⁴ + 4)
= 4{(x²)² + 2²}
= 4{(x² + 2)² - 2.x².2}
= 4{(x² + 2)² - (2x)²}
= 4[{(x² + 2) + 2x}{(x² +2) - 2x}]
= 4(x² + 2x + 2)(x² - 2x + 2)

প্রশ্ন: 3p³ + 2p² - 21p - 20 রাশির একটি উৎপাদক হচ্ছে:

সমাধান: 
ধরি,
f(p) = 3p³ + 2p² - 21p - 20
∴ f(- 1) = 3(- 1)³ + 2(- 1)² - 21(- 1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20
= 0

যেহেতু f(- 1) = 0 হয়,
সুতরাং,  p - (- 1) বা p + 1 হচ্ছে প্রদত্ত রাশির একটি উৎপাদক।

f(x) = 3x² - 7x - 16 কে 3x + 2 দ্বারা ভাগ করলে
ভাগশেষ f{-(2/3)} = 3{-(2/3)}² - 7{-(2/3)} - 16
= 4/3 + 14/3 - 16
= (4 + 14 - 48)/3
= -30/3
= -10

প্রশ্ন: x² - 1 - y (y - 2) এর উৎপাদক কত?

সমাধান: 
x² - 1 - y (y - 2)
= x² - 1 - y² + 2y
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1) (x - y + 1)

x² + 2ax - 2a - 1
= (x² - 1) + 2ax - 2a
= (x + 1)(x - 1) + 2a (x - 1)
= (x - 1)(x + 2a + 1)

প্রশ্ন: 2√2p³ + 125 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
2√2p³+ 125
= (√2 × √2 × √2) p³ + 125  [ কারণ, √2 × √2 = (√2)² = 2 ]
= (√2p)³ + 5³
= (√2p + 5 )(2p² - 5√2p + 25)

প্রশ্ন: যদি f(a) = a³ + ka² - 4a - 8 হয়, তাহলে k -এর কোন মানের জন্য f(- 1) = 0 হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
f(a) = a³ + ka² - 4a - 8
⇒ f(- 1) = (- 1)³ + k (- 1)² - 4(- 1) - 8
⇒ f(- 1) = - 1 + k + 4 - 8
∴ f(- 1) = k - 5 

যেহেতু, 
f(- 1) = 0
⇒ k - 5 = 0
∴ k = 5

(x² - 6x + 5)/(x² - 25)
= (x² - 5x - x + 5)/(x² - 25)
= {x(x-5) - 1(x-5)}/{(x-5)(x+5)}
= (x-5)(x-1)/(x-5)(x+5)
= (x−1)/(x+5)

প্রশ্ন: x² - (p + q)x + pq = 0 এর সমাধান সেট হবে:

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² - (p + q)x + pq = 0
⇒ x² - px - qx + pq = 0
⇒ x(x - p) - q(x - p) = 0
⇒ (x - p)(x - q) = 0

হয়,
x - p = 0
∴ x = p

অথবা,
x - q = 0
∴ x = q

∴ x = p, q

সুতরাং সমাধান সেট = {p, q}

যেহেতু,
f(5) = 0
বা, 5² + 7.5 + c = 0
বা, 25 + 35 + c = 0
বা, c + 60 = 0
∴ c = -60

a³ - 3a²b + 3ab² - 2b³
= a³ - 3a²b + 3ab² - b³ - b³
= ( a - b)³ - b³
= (a - 2b){(a - b)² + b(a -b) + b²}
= (a - 2b)(a² - ab + b²)

প্রশ্ন: 16a³ - 46a² + 15a কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন-

সমাধান: 
16a³ - 46a² + 15a
= a(16a² - 46a + 15)
= a(16a² - 40a - 6a + 15)
= a {8a(2a - 5) - 3(2a - 5)}
= a(2a - 5)(8a - 3)

প্রশ্ন: 9x² - (x - y)² = কত? 

সমাধান: 
9x2 - (x - y)2 
= (3x)2 - (x - y)2 
= {3x + (x - y)}{3x - (x - y)} 
= (3x + x - y)(3x - x + y) 
= (4x - y)(2x + y)

f(x) = x⁴ - 4x + 3
এখানে,
f(1) = 1 - 4 + 3 = 0
∴ x - 1, f(x) এর একটি উৎপাদক।

f(x) = 3x³ + 2x² - 21x – 20
f(-1) = 3(-1)³ + 2(-1)² - 21.-1 -20
= 0
সুতরাং রাশিটির একটি উৎপাদক হলো x – (-1) = x + 1

প্রশ্ন: p³ - 9 + (p + 1)³ রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
p³ - 9 + (p + 1)³
p³ - 9 + p³ + 3p² + 3p + 1
= 2p³ + 3p² + 3p - 8
= 2p³ - 2p² + 5p² - 5p + 8p - 8
= 2p²(p - 1) + 5p(p - 1) + 8(p - 1)
= (p - 1)(2p² + 5p + 8)

মনে করি, f(x) = 18x³ + 15x² - x - 2

x = - 1/2 এর জন্য f(x) = 0 হয়,

f(-1/2) = 18 × (-1/2)³ + 15 × (-1/2)² - (-1/2) - 2
= 18 × (-1/8) + 15 × (1/4) + (1/2) - 2
= - (9/4) + (15/4) + (1/2) - 2
= (- 9 +15 +2 - 8) / 4
= 0/4
= 0

∴ x - ( -1/2) = (1/2)(2x + 1), অর্থাৎ (2x + 1) হচ্ছে f(x) এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি q³ - 21q - 20 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
এখানে,
q = 1 বসিয়ে পাই,
q³ - 21q - 20 = (-1)³ - 21 (-1) - 20
= -1 + 21 - 20
= 0

∴ (q + 1) হবে রাশিটির একটি উৎপাদক। 
q³ - 21 - 20
= q³ + p² - q² - q - 20q - 20
= q²(q + 1) - q(q +1) - 20(q + 1)
= (q + 1) (q² - q - 20)

প্রশ্ন: x³ - 3xy² + 2y³ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন- 

সমাধান:
এখানে, x কে চলক এবং y কে ধ্রুবক হিসেবে বিবেচনা করি।
প্রদত্ত রাশিকে x-এর বহুপদী বিবেচনা করে
 ধরি, f(x) = x³ - 3xy² + 2y³
তাহলে, f(y) = y³ - 3y . y² + 2y³ = 3y³ - 3y³ = 0 
∴ (x - y), f(x) এর একটি উৎপাদক
এখন,
x³ - 3xy² + 2y³
= x³ - x²y + x²y - xy² - 2xy² + 2y³
 = x²(x - y) + xy(x - y) - 2y²(x - y)
= (x - y)(x² + xy - 2y²)

প্রশ্ন: a² - 4a, a² - 16 এবং a² - 7a + 12 বীজগণিতিক রাশির গ.সা.গু কত হবে?

সমাধান:
১ম রাশি = a² - 4a
= a(a - 4)

২য় রাশি = a² - 16
= a² - 4²
= (a + 4)(a - 4)

৩য় রাশি = a² - 7a + 12
= a² - 3a - 4a + 12
= a(a - 3) - 4(a - 3)
= (a - 3)(a - 4)

নির্ণেয় গ.সা.গু = a - 4

a⁴ + a²b² + b⁴
= (a²)² + (b²)² + 2.a².b² - (ab)²
= (a² + b²)² - (ab)²
= (a² + b² + ab)(a² + b² - ab)

১ম রাশি
x² + 13x + 36
= x² + 4x+ 9x + 36
= (x + 4)(x + 9) 
x² - 30x + 216
= x² - 18x - 12x + 216
= (x -18)(x - 12)
∴গ.সা.গু. = 1

a³ - 6a² + 12a - 9
= a³ - 6a² + 12a - 8 - 1
= (a - 2)³ - (1)³
= (a - 2 -1){(a - 2)² + (a - 2).1 + (1)²}
=(a - 3)(a² - 3a + 3)