বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

প্রদত্ত রাশিমালা,
f(x) = x³ - 7x - 6
∴ f(3) = 3³ - 7.3 - 6
= 27 - 21 - 6
= 0
∴ x - 3, f এর একটি উৎপাদক।

 p⁶ − q⁶
= (p³)² − (q³)²
= (p³ − q³) (p³ + q³)
= {(p − q) (p² + pq + q²)} (p³ + q³)
= (p − q)(p² + pq + q²) {(p + q) (p² − pq + q²)}
= (p − q) (p² + pq + q²) (p + q) (p² − pq + q²)

ধরি,
a-b = x
b-c = y
c-a = z

তাহলে, x + y + z = a - b -b - c + c - a = 0

আমরা জানি যদি, x + y + z = 0 হয় তাহলে,
x³ + y³ + z³ = 3xyz

অর্থাৎ, প্রদত্ত রাশি = 3 (a-b) (b-c) (c-a)
= -3 (c-b) (b-a) (a-c)

প্রশ্ন: x⁴ + 8x² - 9 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
x⁴ + 8x² - 9
= (x²)² + 2.x².4 + 4² - 16 - 9
= (x² + 4)² - 25
= (x² + 4)² - 5²
= (x² + 4 + 5)(x² + 4 - 5)
= (x² + 9)(x² - 1)
= (x² + 9)(x² - 1²)
= (x² + 9)(x + 1)(x - 1)

x³ - x -6
-6 এর উৎপাদক গুলো ±1, ±2, ±3, ±6
ƒ(2) হলে ƒ(x) = x³ - x -6 = 0 হবে।
x³ - x -6
= x²(x - 2) + 2x(x-2) + 3(x-2)
= (x-2)(x² + 2x + 3)

প্রশ্ন: 16P² + 8P - 48 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
16P² + 8P - 48
= 8(2P² + P - 6)
= 8(2P² + 4P - 3P - 6)
= 8{2P(P + 2) - 3(P + 2)}
= 8(P + 2)(2P - 3)

9x² + 9x - 4
= 9x² + 12x - 3x - 4
= 3x(3x + 4) - 1(3x + 4)
= (3x + 4)(3x - 1)

প্রশ্ন: a² - b² + 6bc - 9c² এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
a² - b² + 6bc - 9c²
= a² - {b² - 2.b.3c + (3c)²}
= a² - (b - 3c)²
= (a + b - 3c) (a - b + 3c)

প্রশ্ন: k এর মান কত হলে x² - 3x + 2 + k = 0 সমীকরণের একটি উৎপাদক (x- 3) হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x² - 3x + 2 + k = 0
যদি (x - 3), f(x) এর একটি উৎপাদক হয়, তবে f(3) = 0 হবে।

এখন,
f(3) = 0
 ⇒ (3)² - 3(3) + 2 + k = 0
 ⇒ 9 - 9 + 2 + k = 0
 ⇒ 2 + k = 0
 ⇒ k = - 2

প্রশ্ন: 2x³ - 3x² + x - 6 কে x + 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
ধরি, p(x) = 2x³ - 3x² + x - 6
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, p(x) কে (x + 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P(- 2)।
P(- 2) = 2(- 2)³ - 3(- 2)² + (- 2) - 6
= - 16 - 3(4) - 2 - 6
= - 16 - 12 - 2 - 6
= - 36

∴ নির্ণেয় ভাগশেষ হলো - 36

প্রশ্ন: 3a³ + 2a² - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদক বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি, f(a) = 3a³ + 2a² - 21a - 20

f(- 1) নির্ণয় করি,
f(- 1) = 3(-1)³ + 2(-1)² - 21(-1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20
= 0

∴ (a + 1) হলো f(a) এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: 3x² - 7x - 6 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন-

সমাধান: 
3x² - 7x - 6
= 3x² - 9x + 2x - 6
= 3x(x - 3) + 2(x - 3)
= (3x + 2)(x - 3)

x-1, f(x) = x³ - ax² + (a+5)x - a এর একটি উৎপাদক
∴ f(1) = 0,
বা, 1 - a + a + 5 - a = 0
বা, 6 - a = 0
∴ a = 6

4x⁴ + 1
= (2x²)² + 2. 2x². 1 + 1² - 4x²
= (2x² + 1)² - (2x)²
= (2x² + 2x + 1) (2x² - 2x + 1)

প্রশ্ন: f(x) = 6x² - ax - 3 এবং (3x - 1), f(x) এর একটি উৎপাদক হলে a এর মান কত?

সমাধান:
f(x) = 6x² - ax - 3
∴ ‍f(1/3) = 6(1/3)² - a(1/3) - 3 = 0
⇒ 6/9 - a/3 - 3 = 0
⇒ 6 - 3a - 27 = 0
⇒ - 3a = 21
∴ ‍a = - 7

a² - (x + 1/x)a + 1
= a² - ax - a/x + 1
= a (a - x) - 1/x (a - x)
= (a - x)(a - 1/x)

প্রশ্ন: 2x³ + 3x² - 3x - 2 রাশিটির একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি, f(x) = 2x³ + 3x² - 3x - 2
এখন, x এর মান এমনভাবে বসাতে হবে যেন f(x) = 0 হয়।
যদি x = 1 বসাই,
f(1) = 2(1)³ + 3(1)² - 3(1) - 2
= 2(1) + 3(1) - 3 - 2
= 2 + 3 - 3 - 2
= 0

যেহেতু f(1) = 0, সুতরাং উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, (x - 1) হলো প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2.y.1 + 1²)
= x² - (y-1)²
= (x+y-1) (x-y+1)

প্রশ্ন: a² + 13a + 36 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a² + 13a + 36
= a² + 9a + 4a + 36
= a(a + 9) + 4(a + 9)
= (a + 9)(a + 4)

প্রশ্ন: m³ - 21m - 20 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
এখানে,
m = 1 বসিয়ে পাই,
m³ - 21m - 20 = (- 1)³ - 21 (- 1) - 20
= - 1 + 21 - 20
= 0

∴ (m + 1) হবে রাশিটির একটি উৎপাদক। 
m³ - 21m - 20
= m³ + m² - m² - m - 20m - 20
= m²(m + 1) - m(m +1) - 20(m + 1)
= (m + 1) (m² - m - 20)

প্রশ্ন: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: 4x² - 4xy + y² - z²

সমাধান:
4x² - 4xy + y² - z²
= (2x)² - 2 × 2x × y + (y)² - z²
= (2x - y)² - z²
= (2x - y + z) (2x - y - z)

x² − y² + 4y − 4
= x² − (y² - 4y + 4)
= x² − (y − 2)²
= (x + y − 2) (x − y + 2)

1 - x² + 2ax -a²
= 1 - (x² - 2ax + a²)
= 1 - (x - a)²
= (1 + x -a)(1 - x + a)

প্রশ্ন: x² - 5ax - 66a² এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
x² - 5ax - 66a²
= x² - 11ax + 6ax - 66a²
= x(x - 11a) + 6a(x - 11a)
= (x - 11a)(x + 6a)
= (x + 6a)(x - 11a)

প্রশ্ন: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: x³ - 21x - 20

সমাধান: 
ধরি, 
f(x) = x³ - 21x - 20
এখন, x = - 1 হলে, 
f(- 1) = (- 1)3 - 21(- 1) - 20 = - 1 + 21 - 20 = 0

∴ (x + 1), f(x) এর একটি উৎপাদক। 
এখন, 
x³ - 21x - 20
= x³ + x² - x² - x - 20x - 20
= x²(x + 1) - x(x + 1) - 20(x + 1)
= (x + 1)(x² - x - 20)
= (x + 1)(x + 4)(x - 5)

এখানে, f(x) = x⁴ - 4x + 3
∴ f(1) = 1 - 4 + 3 = 0
∴ x - 1, f(x) এর একটি উৎপাদক

প্রশ্ন: নিচের কোনটি a² - 2ab + 2b - 1 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
a² - 2ab + 2b - 1 
= a² - 1 - 2ab + 2b
= (a + 1)(a - 1) - 2b(a - 1)
= (a - 1)(a + 1 - 2b)
= (a - 1)(a - 2b + 1)

প্রশ্ন: a⁴ + 64b⁴ এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
a⁴ + 64b⁴
= (a²)² + (8b²)²
= (a²)² + 2a² . 8b² + (8b²)² - 16a²b²
= (a² + 8b²)² - (4ab)²
= (a² + 8b² + 4ab)(a² + 8b² - 4ab)
= (a² + 4ab + 8b²)(a² - 4ab + 8b²)

x² - y² - 2y - 1
= x² - (y² + 2y + 1)
= x² - (y + 1)²
= (x + y + 1)(x - y - 1)

প্রশ্ন: x² - 5x + k রাশিটি (x - 2) দ্বারা বিভাজ্য হলে, k এর মান কত?

সমাধান: 
যদি কোনো দ্বিঘাত বহুপদী (x - 2) দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে x = 2 বসালে বহুপদীর মান শূন্য হবে।
এখন, x² - 5x + k = 0 যখন x = 2
অর্থাৎ, 
⇒ (2)² - 5(2) + k = 0
⇒ 4 - 10 + k = 0
⇒ - 6 + k = 0
∴ k = 6

সুতরাং, k এর মান 6

x + 6, f(x) = x² - kx - 48 এর একটি উৎপাদক
∴ f(-6) = 0
বা, (-6)² - k(-6) - 48 = 0
বা, 36 + 6k - 48 = 0
বা, 6k = 12
∴ k = 2

প্রশ্ন: (9k² + 6k - 24) এবং (3k² + 11k + 6) এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
প্রথম বহুপদীকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি,
9k² + 6k - 24
= 3(3k² + 2k - 8)
= 3(3k² + 6k - 4k - 8)
= 3{3k(k + 2) - 4(k + 2)}
= 3(3k - 4)(k + 2)

এবং দ্বিতীয় বহুপদীকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি,
3k² + 11k + 6
= 3k² + 9k + 2k + 6
= 3k(k + 3) + 2(k + 3)
= (3k + 2)(k + 3)

সুতরাং, কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। 
সঠিক উত্তর: ঘ) কোনটিই নয়