বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

PrepBank · পাতা ১৮ / ১৮ · ১,৭০১–১,৭৩৩ / ১,৭৪৬

১,৭০১.

(x - 1)(x² + x + 1) কে x³ + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ = ?

ক
ক) -2
খ
খ) 0
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

(x - 1)(x² + x + 1) = x³ - 1
∴ x³ + 1)x³ - 1(1
x³ + 1
--------
-2(ভাগশেষ)

১,৭০২.

a² + 6a + 8 - m² + 2m এর উৎপাদক কত?

ক
ক) (a + m - 2) (a - m + 4)
খ
খ) (a - m + 2) (a + m + 4)
গ
গ) (a + m + 2) (a - m + 4)
ঘ
ঘ) (a + m + 4) (a - m + 6)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² + 6a + 8 - m² + 2m এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
a² + 6a + 8 - m² + 2m
= a² + 2 . a . 3 + 3² - 1 - m² + 2m
= (a + 3)² - (m² - 2m + 1)
= (a + 3)² - (m - 1)²
= (a + 3 + m - 1) (a + 3 - m + 1)
= (a + m + 2) (a - m + 4)

১,৭০৩.

y² - x² - 4y + 4 এর একটি উৎপাদক -

ক
ক) x + y + 2
খ
খ) x - y + 2
গ
গ) y - x + 2
ঘ
ঘ) y - x - 2

ব্যাখ্যা

y² - x² - 4y + 4
= y² - 4y + 4 - x²
= (y - 2)² - x²
= (x + y - 2)(y - x - 2)

১,৭০৪.

x² - 11x - 42 এর উৎপাদক কত?

ক
(x - 8)(x - 3)
খ
(x - 21)(x - 2)
গ
(x - 14)(x - 4)
ঘ
(x - 14)(x + 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 11x - 42 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
= x² - 11x - 42
= x² - 14x + 3x - 42
= x(x - 14) + 3(x - 14)
= (x - 14)(x + 3)

১,৭০৫.

(a - 1)x² + a²xy + (a + 1)y² এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

ক
(x - ay + y)
খ
(x - ay - y)
গ
(ax + x - y)
ঘ
(ax - x + y)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a - 1)x² + a²xy + (a + 1)y² এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
(a - 1)x² + a²xy + (a + 1)y²
ধরি,
a - 1 = m .........(i)
a + 1 = n..........(ii)

(i) নং এবং (ii) নং গুণ করে পাই,
a² = mn + 1

মূল সমীকরণ হতে পাই,
mx² + (mn + 1)xy + ny²
= mx² + mnxy + xy + ny²
= mx(x + ny) + y(x + ny)
= (x + ny)(mx + y)
= (x + ay + y)(ax - x + y)

১,৭০৬.

a² - 1 + 2b - b² এর একটি উৎপাদক -

ক
ক) a + b - 1
খ
খ) a - b + 1
গ
গ) b - a - 1
ঘ
ঘ) উপরের সবগুলো

ব্যাখ্যা

a² - 1 + 2b - b²
= a² - (1 - 2b + b²)
= a² - (1 -b)²= (a + b - 1)(a - b + 1)
= (1 - a - b)(b - a - 1)

১,৭০৭.

নিচের কোনটি 3p²- 16p - 12 একটি উৎপাদক?

ক
p - 2
খ
p + 3
গ
p + 4
ঘ
p - 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 3p²- 16p - 12 একটি উৎপাদক?

সমাধান:
3p² - 16p - 12
= 3p² - 18p + 2p - 12
= 3p(p - 6) + 2(p - 6)
= (p - 6)(3p + 2)

১,৭০৮.

নিচের কোনটি 2x⁴ + 16x এর একটি উৎপাদক?

ক
ক) 2
খ
খ) x
গ
গ) x + 2
ঘ
ঘ) সবগুলোই

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 2x⁴ + 16x এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
2x⁴ + 16x
= 2x(x³ + 8)
= 2x(x³ + 2³)
= 2x (x + 2) (x² - 2x + 4)

১,৭০৯.

6x² - 7x - 5 এর একটি উৎপাদক হলো-

ক
ক) (3x + 5)
খ
খ) (3x - 5)
গ
গ) (2x - 3)
ঘ
ঘ) (2x + 3)

ব্যাখ্যা

6x² - 7x - 5
= 6x² - 10x + 3x - 5
= 2x(3x - 5) + 1(3x - 5)
= (3x - 5)(2x + 1)

১,৭১০.

15a² + 8a - 16 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

ক
(3a + 5)(4a - 3)
খ
(4a + 5)(3a - 4)
গ
(3a - 6)(2a + 3)
ঘ
(5a - 4)(3a + 4)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 15a² + 8a - 16 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
15a² + 8a - 16
= 15a² + 20a - 12a - 16
= 5a(3a + 4) - 4(3a + 4)
= (5a - 4)(3a + 4)

১,৭১১.

x² - y² + 2y - 1 এর একটি উৎপাদক-

ক
x + y + 1
খ
x - y
গ
x + y - 1
ঘ
x - y -1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - y² + 2y - 1 এর একটি উৎপাদক-

সমাধান:
x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y +1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1)(x - y +1)

∴ x² - y² + 2y - 1 এর একটি উৎপাদক (x + y - 1).

১,৭১২.

x³+6x²y+11xy²+6y³ এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

ক
ক) (x+y)(x+3y)(x+5y)
খ
খ) (x+y)(x+2y)(x+3y)
গ
গ) (x+y)(x+4y)(x+3y)
ঘ
ঘ) (x-y)(x+y)(x+2y)

ব্যাখ্যা

x³+6x²y+11xy²+6y³
= x³+x²y+5x²y+5xy²+6xy²+6y³
= (x+y)(x+2y)(x+3y)

১,৭১৩.

2x² - 3x - 35 এর একটি উৎপাদক (2x + 7) হলে, অপরটি কত?

ক
ক) (x - 5)
খ
খ) (x - 7)
গ
গ) (x - 3)
ঘ
ঘ) (x - 9)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : 2x² - 3x - 35 এর একটি উৎপাদক (2x + 7) হলে, অপরটি কত?

সমাধান :

2x² - 3x - 35
= 2x² - 10x + 7x - 35
= 2x(x - 5) + 7(x - 5)
= (x - 5)(2x + 7)

১,৭১৪.

p³ - 7p - 6 এর উৎপাদকগুলো হলো-

ক
(p - 1)(p + 3)
খ
(p + 1)(p + 2)(p - 3)
গ
(p - 1)(p + 2)
ঘ
(p + 2)(p - 2)(p - 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p³ - 7p - 6 এর উৎপাদকগুলো হলো-

সমাধান:
p = - 1 হলে,
p³ - 7p - 6 = (- 1)³- 7(- 1) - 6
= 1 + 7 - 6
= 0

∴ (p + 1) প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

∴ p³ - 7p - 6 = p³ + p² - p² - p - 6p - 6
= p²(p +1) - p(p + 1) - 6(p + 1)
= (p + 1)(p² - p - 6)
= (p + 1)(p² - 3p + 2p - 6)
= (p + 1){p(p - 3) + 2(p - 3)}
= (p + 1)(p + 2)(p - 3)

১,৭১৫.

x³ - 7x - 6 এর উৎপাদক কত?

ক
(x + 1)(x - 2)(x + 3)
খ
(x + 1)(x + 2)(x - 3)
গ
(x - 1)(x + 2)(x - 3)
ঘ
(x - 1)(x - 2)(x - 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x³ - 7x - 6 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
= x³ - 7x - 6
= x³ + x² - x² - x -6x - 6
= x²(x + 1) - x(x + 1) - 6(x + 1)
= (x + 1)(x² - x - 6)
= (x + 1)(x² - 3x + 2x - 6)
= (x + 1){x(x - 3) + 2(x - 3)}
= (x + 1)(x + 2)(x - 3)

১,৭১৬.

6x² + 24x + 24 এবং x² + x - 2 এর একটি সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

ক
(x + 2)(x - 1)
খ
x - 1
গ
x + 2
ঘ
x + 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6x² + 24x + 24 এবং x² + x - 2 এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
১ম রাশি:
6x² + 24x + 24
= 6(x² + 4x + 4)
= 6(x² + 2x + 2x + 4)
= 6{x(x + 2) + 2(x + 2)}
= 6(x + 2)(x + 2)

২য় রাশি:
x² + x - 2
= x²+ 2x - x - 2
= x(x + 2) - 1(x + 2)
= (x + 2)(x - 1)

∴ প্রদত্ত রাশিদ্বয়ের সাধারণ উৎপাদক = x + 2

১,৭১৭.

নিচের কোনটি a² + 2a - 24 এর একটি উৎপাদক?

ক
(a + 4)
খ
(a + 6)
গ
(a + 2)
ঘ
(a + 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি a² + 2a - 24 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
a² + 2a - 24
= a² + 6a - 4a - 24
= a(a + 6) - 4(a + 6)
= (a + 6)(a - 4)

১,৭১৮.

হলে f(1) এর মান নিচের কোনটি ?

ক
ক) 0
খ
খ) - 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: হলে f(1) এর মান নিচের কোনটি ?

সমাধান:

১,৭১৯.

2pq - p² - q² + r² কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাওয়া যায়-

ক
r - p - q
খ
r + p + q
গ
r + p - q
ঘ
- r + p - q

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2pq - p² - q² + r² কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাওয়া যায়-

সমাধান:
2pq - p² - q² + r²
= r² - (p² - 2pq + q²)
= r² - (p - q)²
= (r + p - q) (r - p + q)

১,৭২০.

x² - 3x + Q যদি (x - 4) দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে Q এর মান কত?

ক
5
খ
- 6
গ
3
ঘ
- 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 3x + Q যদি (x - 4) দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে Q এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - 3x + Q রাশিটি (x - 4) দ্বারা বিভাজ্য।
অর্থাৎ, x = 4 হলে রাশিটির মান 0 হবে। ; [কারণ, (x - 4) একটি উৎপাদক হলে x = 4 হলো শূন্যমূল।]
সুতরাং, x = 4 বসিয়ে পাই,
⇒ (4)² - 3(4) + Q = 0
⇒ 16 - 12 + Q = 0
⇒ 4 + Q = 0
∴ Q = - 4

সুতরাং, Q এর মান - 4

১,৭২১.

x² + 7x - 60 এর একটি উৎপাদক-

ক
ক) x + 5
খ
খ) x - 5
গ
গ) x - 12
ঘ
ঘ) x - 3

ব্যাখ্যা

x² + 7x - 60 = x2 + 12x - 5x - 60
= x(x + 12) - 5(x + 12)
= (x + 12)(x - 5)

১,৭২২.

4x²- 23x + 33 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে হবে -

ক
ক) (3x - 11)(x - 4)
খ
খ) (4x + 3)(x - 11)
গ
গ) (4x - 11)(x - 3)
ঘ
ঘ) (4x - 3)(x + 11)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4x²- 23x + 33 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে হবে -

সমাধান :
4x²- 23x + 33
= 4x² - 11x - 12x + 33
= x(4x - 11) - 3(4x - 11)
= (4x - 11)(x - 3)

১,৭২৩.

x² - y² + 2y - 1 এর একটি উৎপাদক -

ক
ক) x + y + 1
খ
খ) x + y - 1
গ
গ) x - y
ঘ
ঘ) x - y - 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - y² + 2y - 1 এর একটি উৎপাদক -

সমাধান:
x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2.y.1 + 1²)
= x²- (y - 1)²
={ x + (y - 1)}{ x - (y - 1)}
= (x + y - 1)(x - y + 1)

১,৭২৪.

a⁴ + 64b⁴ এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

ক
(a² - 8b²)(a² + 8b²)
খ
(a² + 4ab - 8b²)(a² + 4ab + 8b²)
গ
(a² + 4ab + 8b²)(a² - 4ab + 8b²)
ঘ
(a² - 4ab - 8b²)(a² + 4ab + 8b²)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a⁴ + 64b⁴ এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
a⁴ + 64b⁴
= (a²)² + (8b²)²
= (a²)² + 2 × a² × 8b² + (8b²)² - 16a²b²
= (a² + 8b²)² - (4ab)²
= (a² + 8b² + 4ab)(a² + 8b² - 4ab)
= (a² + 4ab + 8b²)(a² - 4ab + 8b²)

১,৭২৫.

নিচের কোনটি a² - 11a - 80 এর একটি উৎপাদক?

ক
(a + 10)
খ
(a - 3)
গ
(a + 6)
ঘ
(a + 5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি a² - 11a - 80 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
a² - 11a - 80
= a²- 16a + 5a - 80
= a(a - 16) + 5(a - 16)
= (a - 16)(a + 5)

১,৭২৬.

x³ - x² - 10x - 8 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

ক
(x - 1)(x + 2)(x - 4)
খ
(x + 1)(x + 2)(x - 4)
গ
(x + 3)(x + 2)(x - 4)
ঘ
(x + 1)(x - 2)(x - 4)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x³ - x² - 10x - 8 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x³ - x² - 10x - 8
∴ f( - 1) = ( - 1)³ - ( - 1)² - 10 ( - 1) - 8
= - 1 - 1 + 10 - 8
= 10 - 10
= 0
∴ ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে (x + 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।

∴ প্রদত্ত রাশি = x³ - x² - 10x - 8
= x³ + x² - 2x² - 2x - 8x - 8
= x² (x + 1) - 2x (x + 1) - 8 (x +1)
= (x + 1) (x² - 2x - 8)
= (x + 1) (x² - 4x + 2x - 8)
= (x + 1) {x(x - 4) + 2(x - 4)}
= (x + 1) (x + 2) (x - 4)

১,৭২৭.

4x⁴ + 8a²x² + 9a⁴ রাশিটির উৎপাদক কোনটি?

ক
ক) (2x² + 2ax + 3a²)(2x² - 2ax + 3a²)
খ
খ) (3x² + 2ax + 2a²)(3x² - 2ax + 2a²)
গ
গ) (2x² + 4ax + 3a²)(2x² - 4ax + 3a²)
ঘ
ঘ) (3x² + 4ax + 2a²)(3x² - 4ax + 2a²)

ব্যাখ্যা

4x⁴ + 8a²x² + 9a⁴
= (2x²)² + 2.2x².3a² + (3a²)² - 4a²x²
= (2x² + 3a²)² - (2ax)²
= (2x² + 3a² + 2ax)(2x² + 3a² - 2ax)
= (2x² + 2ax + 3a²)(2x² - 2ax + 3a²)

১,৭২৮.

f(x) = 2x² + 7x + 5 হলে, f( -1/2) এর মান কত?

ক
ক) 4
খ
খ) 3
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

f(x) = 2x² + 7x + 5
∴ f( -1/2) = 2( -1/2)² + 7( -1/2) + 5
= 2/4 - 7/2 + 5
= 1/2 - 7/2 + 5
= 2

১,৭২৯.

a² - 2ab + 2b - 1 এর উৎপাদক কোনটি?

ক
a + b + 1
খ
a + 2b - 1
গ
a - b - 1
ঘ
a - 2b + 1

ব্যাখ্যা

a² - 2ab + 2b - 1
= a² - 1 - 2ab + 2b
= (a + 1)(a - 1) - 2b (a - 1)
= (a - 1)(a + 1 - 2b)
= (a - 1)(a - 2b + 1)

১,৭৩০.

a³- 9 + (a + 1)³ রাশিটির একটি উৎপাদক (a - 1) হলে, অপর একটি উৎপাদক হবে -

ক
2a²+ 5a + 8
খ
2a²- 5a + 8
গ
2a - 6a + 8
ঘ
2a + 5a - 8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a³-9 + (a + 1)³ রাশিটির একটি উৎপাদক (a - 1) হলে, অপর একটি উৎপাদক হবে -

সমাধান:

১,৭৩১.

p(p + 1)(p + 2)(p + 3) - 15 এর উৎপাদক কত?

ক
(p² + 3p - 3)(p² + 3p + 5)
খ
(p² - 3p - 3)(p² + 3p + 5)
গ
(p² + 3p + 3)(p² - 3p + 5)
ঘ
(p² + 3p - 3)(p² - 3p - 5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p(p +1)(p + 2)(p + 3) - 15 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
p(p +1)(p + 2)(p + 3) - 15
= p(p +3)(p + 1)(p + 2) - 15
= (p² + 3p)(p² + p + 2p + 2) - 15
= (p² + 3p) (p² + 3p + 2) - 15

এখন,
p² + 3p = a ধরলে প্রদত্ত রাশিমালা,
a(a + 2)
⇒ a(a + 2) - 15
= a² + 2a - 15
= a² - 3p + 5p - 15
= a(a - 3) + 5(a - 3)
= (a - 3)(a + 5)
= ( p² + 3p -3)(p² + 3p + 5) [a এর মান বসিয়ে]
∴ ( p² + 3p -3)(p² + 3p + 5)

১,৭৩২.

যদি 3x² + mx + 6 এর একটি উৎপাদক (x + 3) হয়, তাহলে m এর মান কত?

ক
ক) 9
খ
খ) 10
গ
গ) 11
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

(x + 3) রাশিটি 3x² + mx + 6 এর একটি উৎপাদক হলে x + 3 = 0 হবে।
x = - 3 হলে, 3x² + mx + 6 এর মান শূন্য হবে.

এখানে,
3x² + mx + 6 = 0
3(- 3)²+ ( - 3)m + 6=0
27 - 3m + 6= 0
33 - 3m=0
3m = 33
m = 11

১,৭৩৩.

যদি x² - 9x + 20 = 0 হয়, তবে x-এর মান কত?

ক
x = 2, 7
খ
x = 3, 6
গ
x = 1, 8
ঘ
x = 4, 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x² - 9x + 20 = 0 হয়, তবে x-এর মান কত?

সমাধান:
x² - 9x + 20 = 0
⇒ x² - 5x - 4x + 20 = 0
⇒ x(x - 5) - 4(x - 5) = 0
⇒ (x - 4)(x - 5) = 0

∴ (x - 4) = 0
⇒ x = 4

অথবা,
(x - 5) = 0
⇒ x = 5

∴ x = 4, 5