বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

প্রশ্ন: 6x² - 17xy + 12y² এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
6x² - 17xy + 12y²
= 6x² - 9xy - 8xy + 12y²
= 3x(2x - 3y) - 4y(2x - 3y)
= (2x - 3y)(3x - 4y)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি (q - 1)² - 36 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
 (q - 1)² - 36 
= (q - 1)² - 6²
= (q - 1 + 6)(q - 1 - 6)
= (q + 5)(q - 7)

প্রশ্ন: a³ - ৪a - 8 কে a + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

সমাধান: 

রিমাইন্ডার থিওরেম অনুসারে, যদি কোনো পলিনোমিয়াল f(a) কে a - c দ্বারা ভাগ করা হয়, ভাগশেষ হয় f(c)

এখানে a + 1 = a - (- 1), তাই c = - 1

a = - 1 বসাই

⇒ f(a) = a³ - 8a - 8
⇒  f(- 1) = (- 1)³ - 8(- 1) - 8
= - 1 + 8 - 8
= - 1

তাই ভাগশেষ = - 1

উত্তর: ক) - 1

প্রশ্ন: 12x³ - 38x² + 20x কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।

সমাধান:
12x³ - 38x² + 20x
= 2x(6x² - 19x + 10)
= 2x(6x² - 15x - 4x + 10)
= 2x {3x(2x - 5) - 2(2x - 5)}
= 2x(2x - 5)(3x - 2)

x² - 7x + 10 < 0
⇒ x² - 5x - 2x + 10 < 0
⇒ x(x - 5) - 2 (x - 5) < 0
∴ (x - 2)(x - 5) < 0

x² - 7x + 10 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 5 > 0 হয়।
এখন, x - 2 < 0 এবং x - 5 > 0
অর্থাৎ,  x < 2 এবং x > 5
2 এর চেয়ে ছোট এবং 5 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 7x + 10 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 5 < 0 হয়।
এখন,  x - 2 > 0 এবং x - 5 < 0
অর্থাৎ x > 2 এবং x <5
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 5 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধান: 2 < x < 5

প্রশ্ন: f(x) = x³ - 8x² + 6x + 60 বহুপদীকে x + 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে,
যদি কোনো বহুপদী f(x) কে (x - a) দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে f(a)
এখানে (x + 2) দ্বারা ভাগ করা হচ্ছে, তাই a = - 2

দেওয়া আছে,
f(x) = x³ - 8x² + 6x + 60
∴ f(- 2)= (- 2)³ - 8(- 2)² + 6(- 2) + 60
= - 8 - 8(4) - 12 + 60
= - 8 - 32 - 12 + 60
= - 52 + 60
= 8

সুতরাং, নির্ণেয় ভাগশেষ = 8

প্রশ্ন: b³ - 21b - 20 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
b³ - 21b - 20
= b³ + b² - b² - b - 20b - 20
= b²(b + 1) - b(b + 1) - 20(b + 1)
= (b + 1)(b² - b - 20)
= (b + 1)(b² - 5b + 4b - 20)
= (b + 1){b(b - 5) + 4(b - 5)}
= (b + 1)(b + 4)(b - 5)

প্রশ্ন: x² - y² - 2y - 1 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² - y² - 2y - 1
= x² - (y² + 2y + 1)
= x² - (y + 1)²
= {x + (y + 1)}{x - (y + 1)}
= (x + y + 1)(x - y - 1)

সুতরাং, অপর উৎপাদকটি হলো (x + y + 1) অথবা (x - y - 1) ।

প্রশ্ন: x³ - 7x - 6 এর উৎপাদক কত?

সমাধান: 
x³ - 7x - 6
= x³ + x² - x² - x - 6x - 6
= x² (x + 1) -x (x + 1) -6 (x + 1)
= (x + 1) (x² - x - 6)
= (x + 1) (x² - 3x + 2x - 6)
= (x + 1) {x (x - 3) + 2 (x -3)}
= (x + 1) (x - 3) (x + 2)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x + 1) (x + 2) (x - 3) ।

54x⁴ + 24x³a - 16x - 8a এর একটি উৎপাদক (x-2) হলে x = 2
∴ 54×(2)⁴ + 24×(2)³a - 16×2 -8a = 0
⇒ 832 + 184a = 0 
⇒ a = - 832/184 = -4.52

প্রশ্ন: 2x³ - 5x² - 4x + 3 রাশির একটি উৎপাদক হচ্ছে-

সমাধান: 
ধরি, 
P(x) = 2x3 - 5x2 - 4x + 3 

এখানে,
P(- 1) = 2(- 1)³ - 5(- 1)² - 4 (- 1) + 3
= - 2 - 5 + 4 + 3 
= - 7 + 7 
= 0

∴ (x + 1), P(x) এর একটি উৎপাদক।

x⁶ - 6x³ + 7x - a এর একটি উৎপাদক যদি (x - 2) হয় তাহলে
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে ƒ(2) = 0
∴ ƒ(2) = 64 - 48 + 14 - a =0
∴a = 30

প্রশ্ন: x² - x - (a² + 5a + 6) রাশির একটি উৎপাদক নিচের কোনটি? 

সমাধান:
x² - x - (a² + 5a + 6)
= x² - x - (a² + 3a + 2a + 6)
= x² - x - {a(a + 3) + 2(a + 3)}
= x² - x - (a + 3)( a + 2)
= x² - (a + 3)x + (a + 2)x - (a + 3)(a + 2)
= x{x - (a + 3)} + (a + 2){x - (a + 3)
= {x - (a + 3)} {x + (a + 2)}
= (x - a - 3)(x + a + 2)

প্রশ্ন: 4a⁴ + 1 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে কোনটি পাওয়া যায়?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
4a⁴ + 1
= (2a²)² + 1
= (2a²)² + 2 . 2a² . 1 + (1)² - 4a²
= (2a² + 1 )² - (2a)²
= (2a² + 2a + 1)(2a² - 2a + 1)

প্রশ্ন: (p + 10)(p + 12) - 63 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
(p + 10)(p + 12) - 63
= p² + 12p + 10p + 120 - 63
= p² + 22p + 57
= p² + 19p + 3p + 57
= p(p + 19) + 3(p + 19)
= (p + 19)(p + 3)

প্রশ্ন: a² + 6a + 8 − y² + 2y এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
a² + 6a + 8 − y² + 2y
= a² + 2. a .3 + 3² − 1 − y² + 2y
= (a + 3)² − (y² − 2y + 1) 
= (a + 3)² − (y − 1)² 
= (a + 3 + y − 1) (a + 3 − y + 1) 
= (a + y + 2) (a − y + 4)

প্রশ্ন: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন। 
√3x² + 11x + 6√3

সমাধান:

√3x² + 11x + 6√3
 এখানে, 
√3 x 6√3 = 18
আবার, 9 + 2 = 11

√3x² + 11x + 6√3
= √3x² + 9x + 2x + 6√3
= √3x (x + 3√3) + 2(x + 3√3)
= (x + 3√3)(√3x + 2)

প্রশ্ন: f(x) = x³ - 4x² + x + 6 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি? 

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ - 4x² + x + 6
∴ f(- 1) = (- 1)³ - 4(- 1)² + (- 1) + 6
= - 1 - 4 - 1 + 6
= - 6 + 6
= 0 

যেহেতু f(-1) = 0, সুতরাং উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, x - (-1), অর্থাৎ (x + 1) হলো প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

ax + b, a ≠ 0 হলে, রাশিটি কখন কোনো বহুপদী ƒ(x) এর উৎপাদক হবে যদি এবং কেবল যদি ƒ(-b/a) = 0 হয়। অনুসিদ্ধান্ত ১৩; ৯-১০ম শ্রেণি।

প্রশ্ন: x³ - 6x² + 11x - 6 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6
∴ ‍f(1) = (1)³ - 6.(1)² + 11.(1) - 6
= 1 - 6 + 11 - 6
= 12 - 12
= 0

∴ ‍(x - 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।

এখন,
x³ - 6x² + 11x - 6
= x³ - x² - 5x² + 5x + 6x - 6
= x²(x - 1) - 5x(x - 1) + 6(x - 1)
= (x - 1) (x² - 5x + 6)

f(x) = ax⁴ - 25x² + 9a এর একটি উৎপাদক x - 2
∴ f(2) = 0
বা, a.2⁴ - 25.2² + 9a = 0
বা, 16a + 9a = 100
বা, 25a = 100
∴ a = 4

কোন একটি রাশি যদি অন্য দুই বা ততোধিক রাশির গুণফলের সমান হয় তাহলে শেষোক্ত রাশি সমূহকে  উৎপাদক/গুণনীয়ক/ ফেক্টর বলে। 

x⁴ + x² + 1
= (x²)² + 2.x².1 + 1² - x²
= (x² + 1)² - x²
= (x² + x + 1)(x² - x + 1)

প্রশ্ন: x² - 2ax + (a + b) (a - b) এর উৎপাদক বিশ্লেষণ কোনটি? 

সমাধান: 
x² - 2ax + (a + b) (a - b)
= x² - 2ax + a² - b²
= (x - a)² - b²
= (x - a - b) (x - a + b)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x - a - b) (x - a + b) ।

x⁶ - 1
= (x³ + 1)(x³ - 1)
= (x + 1)(x² - x + 1)(x - 1)(x² + x + 1)

যেহেতু, x - 2, f(x) = x³ - x - p এর একটি উৎপাদক
∴ f(2) = 0
বা, 2³ - 2 - p = 0
বা, 6 - p = 0
∴ p = 6

প্রশ্ন: x³ - 7x² + 14x - 8 রাশিটির একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x³ - 7x² + 14x - 8
x = 2 বসিয়ে দেখি,
f(2) = 2³ - (7 × 2²) + (14 × 2) - 8
= 8 - 28 + 28 - 8
= 0

অতএব, (x - 2) রাশিটির একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: 6x² - 7x - 20 এর উৎপাদক হচ্ছে - 

সমাধান:
6x² - 15x + 8x - 20
= (6x² - 15x) + (8x - 20)
= 3x(2x - 5) + 4(2x - 5)
= (3x + 4)(2x - 5)

x² - 1 - y(y-2)
= x² -1 -y² +2y
= x² -(1+y²-2y)
= x² -(1-y)²
= (x+1-y)(x-1+y)
= (x-y+1) (x+y-1)

এখানে,
f(x) = x³ - 2x² - x + 2 এর ক্ষেত্রে,
f(2) = 0
∴ (x - 2) উৎপাদক